一種基于BFGS算法的二次規(guī)劃控制分配算法

張寧, 章衛(wèi)國(guó), 李廣文

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710129)

一種基于BFGS算法的二次規(guī)劃控制分配算法

張寧, 章衛(wèi)國(guó), 李廣文

(西北工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院, 陜西 西安 710129)

針對(duì)多操縱面飛行器的控制分配問題,提出了一種基于BFGS算法的控制分配策略。該分配策略克服了不動(dòng)點(diǎn)迭代算法分配時(shí)舵面容易飽和的缺點(diǎn)。為驗(yàn)證BFGS分配策略的可行性和有效性,以某型戰(zhàn)斗機(jī)為研究對(duì)象,進(jìn)行了控制分配和重構(gòu)仿真。仿真結(jié)果表明,該分配策略能將飛行指令在舵面飽和范圍內(nèi)合理地分配在各個(gè)舵面上。

飛行控制; 控制分配; 不動(dòng)點(diǎn)迭代法; BFGS算法

0 引言

隨著現(xiàn)代航空技術(shù)的發(fā)展,第四代戰(zhàn)斗機(jī)對(duì)隱身性、超聲速巡航、高機(jī)動(dòng)性和敏捷性等多方面性能提出了更高的要求。在這種背景下,采用先進(jìn)高效的多操縱面氣動(dòng)布局已經(jīng)成為未來戰(zhàn)斗機(jī)和其他飛行器的發(fā)展方向,因此現(xiàn)代戰(zhàn)斗機(jī)普遍采用了多操縱面氣動(dòng)布局。這導(dǎo)致飛機(jī)操縱面的控制和組合方式不再唯一,從而產(chǎn)生了控制分配問題。

近年來,為了將飛行指令合理、有效地分配到各個(gè)操縱面上,科研人員提出了多種控制分配方法[1],如直接幾何法、偽逆法、串接鏈法[2]、規(guī)劃型算法等。直接幾何法意義明確,可以實(shí)現(xiàn)在整個(gè)轉(zhuǎn)矩可達(dá)集內(nèi)求解,但是算法復(fù)雜,實(shí)時(shí)性差;偽逆法和串接鏈法運(yùn)用得最為廣泛,但是它們沒有考慮操縱面的飽和限制,容易引起舵面飽和,并且分配效率低下,無法充分發(fā)揮多操縱面飛機(jī)的先進(jìn)氣動(dòng)布局優(yōu)勢(shì)；規(guī)劃型算法可以在整個(gè)轉(zhuǎn)矩可達(dá)集內(nèi)搜索最優(yōu)解,能充分發(fā)揮飛機(jī)的氣動(dòng)潛能。

BFGS 算法[2]是一種基于牛頓迭代法的改進(jìn)算法,它具有二階收斂速度、自適應(yīng)度高、收斂性好以及計(jì)算量小的特點(diǎn),適合解決控制分配問題。本文將控制分配問題轉(zhuǎn)化為二次規(guī)劃問題加以求解[3],二次規(guī)劃問題常用不動(dòng)點(diǎn)法進(jìn)行求解,雖然不動(dòng)點(diǎn)法可以通過簡(jiǎn)單迭代來求解二次規(guī)劃,但是不動(dòng)點(diǎn)法迭代結(jié)果對(duì)初值敏感,并且所得到的結(jié)果容易使舵面飽和。舵面飽和是控制分配中一個(gè)必須重視的問題,它會(huì)導(dǎo)致飛機(jī)在飛行中自身狀態(tài)調(diào)節(jié)能力變差,舵面輸入能量大,還容易導(dǎo)致舵面卡死等,所以必須予以重視。針對(duì)偽逆法分配效率低和不動(dòng)點(diǎn)迭代容易舵面飽和的缺點(diǎn),本文提出了一種基于Armijo搜索準(zhǔn)則和BFGS算法相結(jié)合的控制分配策略,在整個(gè)轉(zhuǎn)矩可達(dá)集內(nèi)搜索最優(yōu)舵面組合來提高分配效率。

1 控制分配問題描述

假設(shè)飛機(jī)機(jī)動(dòng)所需的力矩為v(t)∈Rm,舵面輸入為u(t)∈Rn,給定控制輸入為u(t)。實(shí)際輸入與期望控制力矩的映射可以表示為f:Rn→Rm(n>m)。操縱面與期望力矩之間的線性關(guān)系可以表示為[4]:

2 基于BFGS算法的控制

針對(duì)偽逆法分配效率低下以及不動(dòng)點(diǎn)迭代法求解二次規(guī)劃初值敏感和迭代精度問題,本文采用基于Armijo 搜索準(zhǔn)則和BFGS 算法相結(jié)合的方法進(jìn)行二次規(guī)劃問題求解。BFGS算法的基本思想是用迭代點(diǎn)uk處的一階導(dǎo)數(shù)(梯度) 和二階導(dǎo)數(shù)(Hesse陣)對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行二次函數(shù)近似, 然后將二次函數(shù)的極小點(diǎn)作為新的迭代點(diǎn), 并不斷重復(fù)這一過程, 直至求得滿足精度的近似極小點(diǎn)。

設(shè)f(u)的Hesse 陣G(u)=2f(u)連續(xù), 截取其在uk處的泰勒展開的前三項(xiàng)得到:

式中，fk=f(uk),gk=f(uk),Gk=2f(uk)。

求二次函數(shù)fk(u)的穩(wěn)定點(diǎn),得fk(u)=gk+Gk(u-uk)=0,若Gk非奇異,那么解上面的線性方程組(記其解為uk+1) 即得牛頓法的迭代公式

雖然牛頓迭代公式最突出的優(yōu)點(diǎn)是具有不低于二階的收斂速度,但是該算法要求目標(biāo)函數(shù)的Hesse陣Gk=2f(uk)在每個(gè)迭代點(diǎn)xk處是正定的,否則難以保證牛頓方向dk=-Gk-1gk是f在uk處的下降方向。特別地,當(dāng)Gk=2f(uk)奇異時(shí), 算法就無法繼續(xù)進(jìn)行下去。此外,每一步迭代都需要目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù), 即Hesee陣, 對(duì)于大規(guī)模問題,其計(jì)算量是驚人的。所以BFGS算法用近似矩陣Bk取代基本牛頓法中的Hesee陣Gk。

本文采用Armijo搜索最優(yōu)解,但Armijo搜索一般不能保證矩陣序列{Bk}的對(duì)稱正定,因此為了保證{Bk}正定,本算法采用的Bk校正公式如下:

式中,yk=gk+1-gk為梯度差;sk=uk+1-uk為位移。

有如下定義:

Sat(u)=

采用Armijo搜索準(zhǔn)則和BFGS算法相結(jié)合的控制分配算法步驟如下:

Step1:給定參數(shù)δ∈[0,1],σ∈[0,0.5], 終止誤差0≤ξ≤1,初始對(duì)稱正定陣B0(通常取為單位陣En)。 令k=0。

Step2:對(duì)于迭代初值的選擇采用偽逆法求出,初始點(diǎn)u0=B+v必然為控制分配問題的一個(gè)可行解,減少了計(jì)算量。

Step3:計(jì)算gk=f(uk)。若‖gk‖≤ξ, 停止計(jì)算, 輸出u*≈uk為近似極小點(diǎn);否則繼續(xù)下一步。

Step4:解線性方程組得解dk:Gkdk=-gk。

Step6: 由校正公式確定Bk+1。

Step7: 令k=k+1, 轉(zhuǎn)Step3。

3 仿真結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證上文提出的Armijo搜索準(zhǔn)則和BFGS算法相結(jié)合的控制分配算法的有效性,采用本方法對(duì)某多操縱面飛機(jī)的線性化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了故障情況下的仿真,飛機(jī)模型如下:

Bu=BvG

式中,狀態(tài)變量為:x=[ΔV,Δα,Δβ,Δp,Δq,Δr,Δψ,Δθ,Δφ]T,分別為速度、迎角、側(cè)滑角、滾轉(zhuǎn)角速率、俯仰角速率、偏航角速率、偏航角、俯仰角及滾轉(zhuǎn)角增量;控制量為:u=[Δδcl,Δδcr,Δδel,Δδfl,Δδfr,Δδer,Δδr]T,分別為左鴨翼、右鴨翼、左副翼、左后緣襟翼、右后緣襟翼、右副翼、方向舵偏量；虛擬控制量為:v=Gu=[Cl,Cm,Cn]T,虛擬向量由滾轉(zhuǎn)力矩、俯仰力矩、偏航力矩組成,G為舵面的效率矩陣[5]。

在高度為3 000 m,Ma=0.3時(shí),舵面的效率矩陣為:

各個(gè)執(zhí)行器的位置限制如下:

-30°,-30°,-25°]T

為了便于故障診斷和重構(gòu),將控制律和分配律分開設(shè)計(jì),這樣做的優(yōu)點(diǎn)是如果某一操縱舵面產(chǎn)生故障,那么只需要對(duì)故障進(jìn)行分析,通過調(diào)整分配律或者修改控制效率矩陣，而不需要對(duì)控制律作出大的修改。多操縱面飛機(jī)飛行控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 多操縱面飛機(jī)飛控系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Flight control system structure of aircraft with multiple effectors

在使用相同的控制律參數(shù)和優(yōu)化函數(shù)f(u)=min[(1-λ)(Bu-v)TQ1(Bu-v)+λuQ2u]的前提下,對(duì)舵面損傷[6]情況下分別采用不動(dòng)點(diǎn)迭代法和BFGS算法進(jìn)行重構(gòu)仿真。

在左副翼?yè)p失70%控制效能的情況下,采用BFGS算法、不動(dòng)點(diǎn)迭代法重構(gòu),姿態(tài)角和各個(gè)舵面偏轉(zhuǎn)情況如圖2～圖11所示。

從仿真結(jié)果可以看出,在飛機(jī)左副翼發(fā)生故障的情況下,采用BFGS算法和不動(dòng)點(diǎn)迭代算法進(jìn)行控制分配重構(gòu)時(shí),在指令跟蹤曲線過程中俯仰角的過渡時(shí)間為1 s,滾轉(zhuǎn)角的過渡時(shí)間為1 s,偏航角的過渡時(shí)間為0.8 s,都很好地跟蹤上了指令,但不動(dòng)點(diǎn)迭代法的舵面出現(xiàn)了飽和,舵面偏轉(zhuǎn)總和較BFGS算法大,而BFGS通過其他舵面重構(gòu)跟蹤了指令,舵面很少出現(xiàn)飽和;另外，采用不動(dòng)點(diǎn)迭代法時(shí)俯仰角指令跟蹤過程中出現(xiàn)較大超調(diào)。因此BFGS算法比不動(dòng)點(diǎn)迭代法解決控制分配問題更有效，采用BFGS分配策略可以提高飛機(jī)的重構(gòu)能力、安全性和機(jī)動(dòng)性能。

圖2 俯仰角曲線Fig.2 Pitching angle curves

圖3 滾轉(zhuǎn)角曲線Fig.3 Rolling angle curves

圖4 偏航角曲線Fig.4 Yaning angle curves

圖5 左鴨翼曲線Fig.5 Left canard wing curves

圖6 右鴨翼曲線Fig.6 Right canard wing contrast

圖7 左副翼曲線Fig.7 Left aileron curves

圖8 左后緣襟翼曲線Fig.8 Left trailing edge flap curves

圖9 右后緣襟翼曲線Fig.9 Right trailing edge flap curves

圖10 右副翼曲線Fig.10 Right aileron curves

圖11 方向舵曲線Fig.11 Rudder curves

4 結(jié)束語(yǔ)

本文基于BFGS算法控制分配策略在整個(gè)轉(zhuǎn)矩可達(dá)集內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu),減少了舵面的飽和。因此BFGS算法能很好地解決控制分配問題,但缺點(diǎn)是Armijo搜索運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng),采用更為有效的搜索策略是本算法的一個(gè)改進(jìn)方向。

[1] 占正勇,劉林.多操縱面先進(jìn)布局飛機(jī)控制分配技術(shù)研究[J].飛行力學(xué),2006,24(1):13-16.

[2] 劉建國(guó),葛仁東,夏尊銓,等.非凸函數(shù)極小問題的BFGS算法[J].運(yùn)籌與決策,2004,13(2):62-65.

[3] Jiyeon Kim,Inseok Yang,Dongik Lee.Accommodation of actuator faults using control allocation with modified daisy chaining[C]//Control,Automation and Systems (ICCAS),11th International Conference.Gyeonggi-do,2011:717-720.

[4] 馬建軍.過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)控制分配理論及其應(yīng)用[D].長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2009.

[5] 史靜平.先進(jìn)飛機(jī)多操縱面控制分配方法研究[D].西安:西北工業(yè)大學(xué),2009.

[6] 崔玉偉,章衛(wèi)國(guó),李廣文,等.基于線性規(guī)劃的多操縱面重構(gòu)控制研究[J].飛行力學(xué),2011,29(2):41-44.

AmethodofquadraticprogrammingcontrolallocationbasedonBFGSalgorithm

ZHANG Ning, ZHANG Wei-guo, LI Guang-wen

(College of Automation, NWPU, Xi’an 710129, China)

This paper presents a method based on Boyden Fletcher Goldfarb Shanno(BFGS)algorithm to solve the control allocation problem of multi-effector aircraft. This control allocation strategy can reduce the saturation of effectors calculated by fixed-point method. In order to demonstrate the feasibility and validity of BFGS control allocation strategy, the control allocation and reconstruction simulation are conducted with a fighter as the research object. The results show that the allocation command can be properly distributed on each surface within the saturation range.

flight control; control allocation; fixed-point method; BFGS algorithm

V249.1

A

1002-0853(2013)06-0508-04

2013-03-21;

2013-06-16; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間:2013-10-22 14:14

航空科學(xué)基金資助(20125853035)

張寧(1987-)，男，陜西韓城人，碩士研究生，研究方向?yàn)轱w行控制和控制分配。

(編輯：姚妙慧)