盤繞式伸展臂展開模式的力學原理

韓建斌 王新升 馬海波

(北京航空航天大學 宇航學院，北京100191)

盤繞式伸展臂是一種空間伸展臂，靠縱桿的螺旋變形來實現展開和收攏的，可用于太陽電池陣、太陽帆、探測臂等空間伸展機構［1-3］.在中心繩索控制下，伸展臂有2種展開模式［4］:螺旋展開和逐層展開.處于螺旋狀態的伸展臂極不穩定，其側向彎曲剛度很差.形成逐層展開模式后，剛度較好［5］，是盤繞式伸展臂展開的理想狀態.

對于盤繞式伸展臂已經有一些分析研究［5-6］.但由于縱桿的大變形及整個系統的復雜性，對其進行變形分析仍然是一個難點.普通的有限元分析和微分方程并不適用于盤繞式伸展臂的展開特性研究［7］.Kirchhoff動力學比擬理論是研究細長彈性桿超大變形的有效工具，利用Kirchhoff動力學研究圓柱面約束的彈性桿問題已有很多研究［8-11］，因此利用Kirchhoff動力學可以分析縱桿的變形.此外，為了簡化問題，可以假設伸展臂伸展過程足夠緩慢，因此可以忽略伸展過程的動力學效應［10］.本文針對三角形橫框鉸接盤繞式伸展臂進行了研究，提出了伸展臂展開模式的判據，最終得到伸展臂構型和展開模式之間的關系.

1 盤繞式伸展臂變形的幾何分析

盤繞式伸展臂的兩種展開模式見圖1.將小范圍內縱桿的變形分為螺旋(螺旋角在0～90°之間)和伸直(螺旋角接近0°，且保持穩定)2種狀態，如圖1所示.

圖1 盤繞式伸展臂的2種展開模式

為方便后文描述，定義如下:每兩個橫框之間的縱桿為一節，向上依次標記為第 1，2，3，…，n節;第1節縱桿上部的橫桿標記為第2層橫桿，向上依次標記為第 3，4，5，…，n 層.

認為盤繞式伸展臂變形過程中斜拉索長度不變，而橫桿可以彎曲.假設一節伸展臂以均勻螺旋方式盤繞，其幾何變形如圖2所示.

圖2 盤繞式伸展臂幾何關系示意圖

圖2中，α為伸展臂相鄰兩個橫框間的相對扭轉角;t為伸展臂節距;R為盤繞半徑;θ為縱桿螺旋角，是縱桿軸向切線與伸展臂軸向的夾角;l為斜拉索長度.其中t，l為恒值.

在直角三角形ABC中有

圓柱面上的區域CED部分是直角三角形CED沿圓柱面彎曲后的形狀.因此有

設螺旋角為0時伸展臂半徑為 R0.得到t/R0=1.5時，R/R0隨螺旋角θ變化的曲線見圖3.

圖3 在斜拉索限制下伸展臂半徑隨螺旋角變化

設螺旋角等于θmin時，盤繞半徑的最小值為Rmin.此時橫桿兩端距離

可見盤繞式伸展臂伸展時，縱桿壓縮橫桿至其兩端距離為dmin，之后橫桿釋放能量，推動縱桿伸展.文獻［6］將這一現象叫做“snap through”.因此橫桿的彎曲剛度對伸展臂的展開有一定影響.

2 盤繞式伸展臂展開模式的判據

2.1 橫桿彎曲剛度的影響

以表1所示NASA的ST8(Space Technology 8)任務中使用的盤繞式伸展臂(簡稱ST8伸展臂［12-13］)為對象，在Adams中建立仿真模型，如圖4所示.

根據第1節所述，單節縱桿在伸展到一定長度時，需要壓縮橫桿，因此展開速度會變慢.此時上面一節縱桿開始伸展.即盤繞式伸展臂展開初期以螺旋狀態逐節伸展，如圖5所示.

圖5 盤繞式伸展臂以螺旋狀態逐節伸展

為得到橫桿剛度對伸展臂展開過程的影響，以表1所示盤繞式伸展臂為準，取橫桿半徑為0.5 mm，0.6 mm，0.65 mm，0.7 mm，按圖5 所示進行展開過程仿真計算.其中頂板伸展速度為1mm/s.在第2層橫桿處發生“snap through”現象時，截取伸展臂的變形狀態進行比較.

圖6a～圖6c的第1幅圖都是在第2層橫桿彎曲程度最大時的狀態.由圖6可以得到以下結論.

1)第2層橫桿發生“snap through”現象后，盤繞式伸展臂開始以逐層展開模式伸展(橫桿的彎曲狀態反映了盤繞半徑的變化).

圖6 不同橫桿半徑的盤繞式伸展臂展開

2)隨著橫桿半徑的增加，第2層橫桿發生“snap through”現象時伸展臂的長度逐漸增大.從半徑為0.5mm的4節到0.65mm的6節.極端情況下縱桿無法伸直而逐級螺旋伸展(圖6d).

3)當橫桿半徑足夠大時，縱桿能量不足以壓彎橫桿，使得伸展臂以螺旋展開模式伸展(圖6d).

考慮到盤繞式伸展臂以中心繩索控制方式展開時，其收納筒一般較短.當螺旋狀態的節數較多時，會發生較大的晃動.因此在本文中只認為伸展臂發生“snap through”效應時，伸展節數為5節以下的情況為逐層展開，5節以上定義為螺旋展開.其中第n節縱桿開始伸展以第n層鉸鏈和收攏段縱桿脫離接觸為準，如圖7所示.

圖7 第n節縱桿開始伸展

2.2 展開模式的判據

從上述分析可知:第2層橫桿抗彎能力和縱桿對其壓縮能力決定了盤繞式伸展臂的展開模式.若第2層橫桿可以被壓縮至兩端距離為dmin，且此時展開節數小于5，伸展臂就可以逐層展開.

若盤繞式伸展臂緩慢伸展，則可以忽略動力學效應［10］.取第2層橫桿張力最大時(兩端距離為dmin)伸展臂的狀態進行分析.設此時第2層橫桿的張力為Fdm，用Fdm反映橫桿的抗彎能力.

反映縱桿壓縮能力的參數按下述方法定義:

1)調整橫桿半徑至某一個值rl，使得第2層橫桿剛好可以彎曲至兩端距離為dmin，且此時第6層鉸鏈恰好與收攏段鉸鏈脫離接觸.定義此時盤繞式伸展臂的構型參數為臨界參數.

2)定義在上述變形下，縱桿作用在第2層橫桿上的壓力為Fdl.用Fdl來表示縱桿的壓縮能力.

3)Fdm＜Fdl，說明縱桿壓縮能力較大，盤繞式伸展臂可以逐層展開

4)Fdm＞Fdl，說明橫桿抗彎能力較大，盤繞式伸展臂無法逐層展開(包括形成逐層展開模式時伸展節數為6節的情況).

上述判據的前提條件為伸展臂緩慢伸展，為靜力平衡.實際上在伸展臂展開過程中會有沖擊、干擾等因素，因此會有一定誤差.

2.3 判據的驗證

與2.1節相同，用圖4所示ST8伸展臂模型進行仿真計算.調整橫桿半徑約為0.63 mm，此時伸展臂可以形成逐層展開模式，且滿足上節臨界參數定義.觀察第2層橫桿受力與距離變化曲線，以及第2層橫桿發生“snap through”前后的變形如圖8所示(壓力的負值表示橫桿受拉).

圖8 臨界參數下橫桿受壓及伸展臂snap through變形

當兩端距離最小時(虛線)，橫桿所受壓力即為Fdm.由于伸展臂緩慢展開，可以認為橫桿彎曲最大時處于平衡狀態.因此取臨界參數(圖8)的Fdm為Fdl.由圖8得到Fdl約為1.04 N.

另外分別研究橫桿半徑為0.62mm，0.64mm時的情況，得到仿真結果見圖9.

圖9 第2層橫桿受壓及伸展臂snap through變形

圖9a得到橫桿半徑為0.62 mm時，Fdm約等于0.97 N;圖9b得到橫桿半徑為0.64 mm時，Fdm約等于1.11 N.即

橫桿半徑為0.64 mm:Fdm＞Fdl，縱桿在發生snap through現象時已有6層開始伸展;

橫桿半徑為0.62 mm:Fdm＜Fdl，縱桿在發生snap through現象時展開層數為5層.

仿真結果說明了判據的正確性，但判據所需要的Fdm，Fdl不能直接得到.下文研究利用伸展臂設計參數推導Fdm，Fdl，從而得到展開模式.

3 判據參數的求解

3.1 Fdm求解

橫桿端部與鉸鏈連接如圖10所示，在受壓時會發生類似于平面簡支梁的變形.

圖10 橫桿端部連接及變形

文獻［14］利用彈性細桿的Kirchhoff動力學給出了簡支梁兩端受壓情況下壓力與距離的公式:

式中，EI為橫桿彎曲剛度;L為橫桿長度.k為隨壓桿彎曲程度增大而變大的量;K(k)，E(k)，F(k)為關于 k的橢圓積分［14］.

根據圖4所示ST8伸展臂模型(橫桿半徑為0.5 mm)的仿真結果，取橫桿兩端壓力及距離，與式(3)對比見圖11.

圖11 橫桿受壓及兩端距離變化

橫桿原長207.8 mm，由圖中可見，橫桿變形較小時，仿真結果和式(3)有較大差別.但變形較大時，二者較為吻合.因此，可以用式(3)近似反映Fdm.

3.2 Fdl求解

Fdl是縱桿展開5節且第2層橫桿彎曲至兩端距離為dmin的條件下，縱桿對第2層橫桿的壓力.假設此時縱桿變形如下:

1)縱桿的第1，2節保持純螺旋狀態(螺旋角不變)，螺旋角為θmin(圖3);

2)從第3節開始，經過3節縱桿，螺旋角逐漸增大到收攏段(接近90°).

在圖8所示伸展臂發生“snap through”現象時，將縱桿在圓柱面上投影可描述縱桿變形.與上述定義的縱桿變形進行比較，如圖12所示.

圖12 縱桿變形

由圖12可知，假設的縱桿變形較為合理.以此假設縱桿變形為前提，分析縱桿對橫桿的壓力.

盤繞半徑在伸展時會減小，但變化幅值相對較小，圖3盤繞半徑最大變化約7%.因此可以認為縱桿沿圓柱面發生變形，圓柱面半徑為R0.

3.2.1 上層縱桿變形分析

圖12b所示縱桿，上層3～5節與1，2節變形不同，其螺旋角是連續變化的.對3～5節縱桿應用圓柱面約束假設，根據彈性細桿的Kirchhoff動力學理論，滿足下述平衡方程［14］.

式中，θ為縱桿某一截面處的螺旋角;s為縱桿弧坐標;p，l0，m 是與縱桿受力有關的量［14］.其中，p與縱桿豎直方向壓力Fz成正比，m與縱桿扭轉變形相關，l0與縱桿所受豎直方向上扭矩成正比.

利用式(5)求解圖12b中第3～5節縱桿螺旋角的變化.積分初值為第5節縱桿頂端的螺旋角及其變化率:θ0=89°，dθ0=0.

調整Fz大小，使得第3節縱桿下端的螺旋角為θmin.即在確定縱桿變形的條件下可以得到縱桿所受豎直方向壓力Fz，且Fz沿縱桿不變［14］.

3.2.2 螺旋段縱桿

圖12所示第1，2節縱桿的螺旋角恒定為θmin.第2層橫桿受兩節縱桿對應的斜拉索作用，對鉸鏈進行受力分析如圖13所示.

圖13 第2層橫桿受力分析

圖13中Fl為斜拉索拉力，沿豎直、徑向、周向分解為Fr，Fh，Fv.Fd為橫桿對鉸鏈的張力.

由于第1，2節均為純螺旋桿，因此式(5)中 Q(θ)=0［14］.即

式中，θ取θmin;Fz0由3.2.1節上層縱桿變形計算得到;Fh，Fv均為斜拉索分力，可以通過幾何條件得到.這樣就可以得到Fh或Fv的值，從而得到斜拉索拉力沿徑向的分量Frhelix.

圖13中沿鉸鏈徑向受力平衡，因此可以得到

式(7)即為第2.2節判據所定義的Fdl.

4 盤繞式伸展臂構型與展開模式

根據圖12定義的縱桿變形，采用第3節的方法，可以求得多組構型參數對應的Fdl和Fdm.利用第2.2節的判據，就可以判斷不同構型參數的盤繞式伸展臂對應的展開模式.

參照文獻［15］取節距與盤繞半徑比值t/R為橫軸，縱、橫桿剛度比值為縱軸，列出盤繞式伸展臂展開模式與構型參數的關系，如圖14所示.其中點 D，C，E分別對應圖8，圖9a，圖9b的情況.ST8點為ST8伸展臂，可逐層展開.

圖14 盤繞式伸展臂伸展模式圖

圖14坐標平面中的每個點代表一組伸展臂的構型參數，其中斜線對應在圖12所定義縱桿變形情況下的臨界參數(此時Fdm=Fdl)，斜線上方滿足Fdm＜Fdl，斜線下方滿足 Fdm＞Fdl.根據第2.2節判據，可以得到對應的展開模式.

選取圖14中5個點，取第2層橫桿處發生“snap through”現象前后伸展臂變形進行比較.

其中D點對應圖8所示盤繞式伸展臂，較為靠近臨界點.C，E對應圖9a，圖9b所示盤繞式伸展臂，在D點基礎上改變橫桿半徑.

A點在C點基礎上增大節距為150 mm.展開圖形見圖15a.和圖9b相似，伸展臂雖然可以發生“snap through”效應形成逐層展開，但此時長度為6節，根據2.1節定義認為A點螺旋伸展.

B點在E點基礎上減小節距為126 mm，伸展臂以逐層展開.展開圖形見圖15b，長度5節.

上述5個盤繞式伸展臂的仿真結果說明:

1)圖14可以判斷盤繞式伸展臂的展開模式.

2)通過增大縱、橫桿剛度比或減小節距、盤繞半徑比值，可以調整盤繞式伸展臂的展開模式.

圖15 伸展臂展開過程變形狀態

5 結論

盤繞式伸展臂能否以逐層展開模式伸展，關鍵在于第2層橫桿的變形.當作用在第2層橫桿上的壓力能使其彎曲到一個最大值時，會發生“snap through”效應而形成逐層展開模式.

橫桿剛度越小，盤繞式伸展臂可以在展開節數越小的情況下形成逐層展開模式，反之展開節數越長.當橫桿剛度足夠大時，伸展臂最終只能形成整體的螺旋形狀，而無法自行伸展.

考慮到實際盤繞式伸展臂展開過程中的沖擊和干擾，圖14與實際結果會有一定的誤差.較穩妥的方法是選擇離圖14中斜線較遠的點來設計伸展臂，在通過試驗及仿真計算來調整參數，可以準確的控制伸展臂的展開模式.

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