由不同生成元而形成的Cantor集的多重分形譜比較

左 飛 (鹽城師范學院數學科學學院，江蘇 鹽城 224002)

由不同生成元而形成的Cantor集的多重分形譜比較

左 飛 (鹽城師范學院數學科學學院，江蘇 鹽城 224002)

為了研究在不同生成元下，Cantor集的多重分形譜的變化規律及比較它們之間的差別。選擇了Cantor集的一種質量分布，當賦予質量以不同的概率比時，用多重分形譜的方法加以分析，并用Matlab軟件畫出多重分形譜隨奇異指數變化的函數圖，能夠直觀的比較多重分形譜之間的差別和廣義分形維數之間的差別。通過比較，當生成元之間的差別越來越小時，多重分形譜的寬度則越來越窄，且廣義分形維數的縱向高度也越來越窄。所有多重分形譜的最大值均為Cantor集的Hausdoff維數,也即0.631。

分形幾何；多重分形測度；多重分形譜；廣義分形維數；Cantor集

多重分形測度理論為近年來分形幾何研究的一個重要而活躍的分支，特別是對于統計物理學而言，因為單一的分形維數只能反映不規則對象的總體特征，不能對分形對象作更細微的分析，因此對于刻畫客觀事物的形貌顯得越來越‘粗糙’。而多重分形理論對不規則研究對象內部之間賦予概率的成分，充分考慮到不規則對象內部各區域之間的分布的不均勻性，從而更細致的刻畫了分形幾何對象的特征。下面，筆者從多重分形測度理論的角度來分析典型的分形集Cantor集的多重分形譜與廣義分形維數。

1 主要概念與結論

定義1[1-2](多重分形測度) 設μ為定義在Rn上的測度，且0<μ(Rn)<∞，若滿足冪律關系式：

μ(Br(x))∝rα

(1)

式中，Br(x)為以x為中心、r為半徑的閉球；α為冪指數(也稱奇異指數)，則稱具有這種性質的分布或測度稱之為多重分形測度。

定義2[1-3](配分函數、質量指數) 對于尺度為δ的盒子，其第i個盒子的質量分布概率為Pi(δ)，稱表達式：

(2)

為配分函數。由式(2)兩邊取對數，再取極限得到：

(3)

τ(q)稱為質量指數。

定義3[1-3](廣義分形維數) 定義廣義分形維數Dq為：

(4)

定義4[1-3](多重分形譜) 設F是一個分形集，用尺度為δ的盒子對F進行劃分，把全部概率分布為Pi(δ)組成的集劃分為一系列子集，即按Pi(δ)的大小劃分為滿足下面的冪函數的子集：

Pi(δ)∝δα

(5)

這里α為奇異指數(它是反映分形上各個小集合的奇異程度的一個量，所以α的數值必定與所在的子集有關。特別地，如果分形集F分布是均勻的，則α必然只有一個值。若不均勻，可以用α值的大小區分為許多小子集)。將子集內的單元數N(δ)和δ的關系定義為：

N(δ)∝δ-f(α)

(6)

這里的f(α)就表示具有相同奇異指數α的子集的分形維數。稱f(α)為多重分形譜。它是奇異指數α的函數。

經過證明[1-2]，q(-∞

(7)

如果已知質量指數τ(q)，則可以求出奇異指數α(q)，式(7)給出了多重分形譜f(α)的參數表達式，參數為q。另一方面，如果能測得廣義分形維數Dq，可以計算奇異指數α(q)，然后計算出τ(q)，從而由式(7)計算出f(α)。相反如果已知f(α)，由此得到q，再求出τ(q)，最后由式(4)求出Dq。它們之間都是隱函數和參量方程的關系，對于一般的分形集，以上多重分形理論是嚴格的，但在實際應用上計算非常困難，因此從應用角度出發，只能用近似的計算來逼近以上的理論。

這里定義多重分形譜的寬度[3]為:

Δα=αmax-αmin

(8)

它在圖中的寬、窄程度定量的表征了分形曲線的各小區間中最大、最小概率間的差別。

2 應用舉例

(9)

(10)

從而由式(7)可得多重分形譜為：

(11)

下面取生成元為不同的值比較其差別:

(1)當p1=1/8,p2=7/8，其多重分形譜與廣義分形維數的圖如圖1、圖2所示：

D-∞=1.893D∞=0.122D1=f(α(1))=0.343=f(α(-1))

(2)當p1=1/6,p2=5/6,多重分形譜與廣義分形維數的圖如圖3、圖4所示：

D-∞=1.631D∞=0.166D1=f(α(1))=0.410=f(α(-1))

(3)當p1=1/4,p2=3/4,多重分形譜與廣義分形維數的圖如圖5、圖6所示：

D-∞=1.262D∞=0.262D1=f(α(1))=0.512=f(α(-1))

(4)當p1=1/3,p2=2/3,多重分形譜與廣義分形維的圖如圖7、圖8所示：

D-∞=1D∞=0.369D1=f(α(1))=0.579=f(α(-1))

圖1 p1=1/8,p2=7/8的多重分形譜 圖2 p1=1/8,p2=7/8的廣義分形維數

圖3 p1=1/6,p2=5/6的多次分形譜 圖4 p1=1/6,p2=5/6 的廣義分形維數

圖5 p1=1/4,p2=3/4的多重分形譜 圖6 p1=1/4,p2=3/4的廣義分形維數

(5)當p1=2/5,p2=3/5,多重分形譜與廣義分形維數的圖如圖9、圖10所示：

D-∞=0.834D∞=0.465D1=f(α(1))=0.613=f(α(-1))

(6)當p1=1/2,p2=1/2,多重分形譜與廣義分形維數的圖如圖11、圖12所示：

D-∞=D∞=0.631

圖7 p1=1/3,p2=2/3的多重分形譜 圖8 p1=1/3,p2=2/3的廣義分形維數

圖9 p1=2/5,p2=3/5的多重分形譜 圖10 p1=2/5,p2=3/5的廣義分形維數

圖11 p1=1/2,p2=1/2的多重分形譜 圖12 p1=1/2,p2=1/2的廣義分形維數

3 結 語

綜上所述，簡單分形維數(如盒維數)，僅僅是對分形曲線形貌的總體表征，而并沒有考慮曲線內部分布的不均勻性，因此對于刻畫分形曲線顯得比較“單一”，而多重分形理論以概率分布的方式，考慮了在分形曲線內部分布的不均勻性。多重分形譜的寬度Δα可以定量的說明分形曲線的起伏程度。

[1]Kenneth Falconer.分形幾何的數學基礎及其應用[M]. 第2版.曾文曲譯.北京:人民郵電出版社,2007.

[2]文志英.分形幾何的數學基礎及應用[M].上海：上海科技出版社，1999.

[3]孫霞，吳自勤，黃畇.分形原理及其應用[M].合肥:中國科學技術大學出版社，2006.

[4]Sha Zhen, Luan Huojun.Fractal and Fitting[M].Hangzhou:Zhejiang University Press，2005.

[5]Chhabra A,Jensen R V.Direct dimension of thef(α) singularity spectrum[J]. Phys Rev Lett,1989，62(12):1237-1330.

[6]Xie Heping, Wang Jin-an, Kwa niewski M A.Multifratacl characterization of rock fracture surfaces[J]. Int J of Rock Mechanics & Mining Sciences,1999,36: 19-27.

[7]孫洪泉.分形幾何與分形插值[M].北京:科學出版社，2011.

[編輯] 洪云飛

O189

A

1673-1409(2013)25-0001-04

2013-06-24

左飛(1981-)，男，碩士，講師，現主要從事應用數學方面的教學與研究工作。