Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)定理及其證明

熊 駿 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

桑洪新 (仙挑市第八中學(xué)，湖北 仙挑 433000)

Banach空間的不動(dòng)點(diǎn)定理及其證明

熊 駿 (長江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

桑洪新 (仙挑市第八中學(xué)，湖北 仙挑 433000)

中閉球到自身的連續(xù)映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(BROWER不動(dòng)點(diǎn)定理)。給出了Banach空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理及其證明，該定理可以作為BROWER不動(dòng)點(diǎn)定理的推廣。

不動(dòng)點(diǎn)定理；Banach空間；連續(xù)映射

定理1 設(shè)M是Banach空間B中的緊凸集，T是M到自身的連續(xù)映射，則T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即至少存在x∈M,使得Tx=x。

(1)

(2)

這樣當(dāng)限制在Mk上時(shí)，映射Tk°T是Mk到自身的連續(xù)映射。注意到Mk同胚于Rn中的單位球，其中n=rank{x1,x2,…,xn}，由BROWER不動(dòng)點(diǎn)定理[1-2]知，映射Tk°T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，記為xk∈Mk。再由M的緊性，對于k∈Z+，序列{xk}包含一個(gè)收斂的子列，不妨就設(shè)xk→x∈M,(k→∞)，下證x就是T的不動(dòng)點(diǎn)。

事實(shí)上，把式(2)應(yīng)用于Txk得：

令k→∞，由T的連續(xù)性得到Tx=x。

定理2 設(shè)M是Banach空間B中的閉凸集，T是M到自身的連續(xù)映射，若T(M)予緊，則T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。即至少存在x∈M,使得Tx=x。

定理3 設(shè)T是Banach空間B中到自身的緊映射，并假設(shè)存在正常數(shù)Q使得，對?x∈B及σ∈[0,1]，只要有x=σTx，就有：

‖x‖

(3)

則T至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

證明設(shè)常數(shù)Q=1，定義映射T*為：

證明定義映射T*為:

[1]張恭慶，林源渠.泛函分析講義(上冊)[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[2]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M]. 第3版.北京：高等教育出版社，2004.

[編輯] 洪云飛

O177.2

A

1673-1409(2013)25-0014-02

2013-06-16

熊駿(1968-)，男，碩士，副教授，現(xiàn)主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方面的教學(xué)與研究工作。