反例在《線性代數》教學中的運用

潘大勇 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

反例在《線性代數》教學中的運用

潘大勇 (長江大學信息與數學學院，湖北 荊州 434023)

《線性代數》中的概念十分抽象。為了加深對《線性代數》的概念理解，結合反例，從不同角度闡明概念的實質，呈現概念的正反例證讓學生進行辨別判斷。教學中適當引入反例，既能增強學生理解概念的準確性、深刻性、靈活性和批判性，又能培養學生的探究精神、提高抽象思維能力和創新意識。

《線性代數》；反例；概念

《線性代數》是一門理工農、經濟、管理等專業廣泛開設的公共基礎課。學生普遍感覺《線性代數》概念眾多而且相當抽象，富有挑戰性。如何把學術形態的知識轉化為教學形態的知識，“化冰冷的知識為火熱的思考”，教學中必須遵循教學規律和原則[1]。為了加深對《線性代數》的概念理解，結合反例，從不同角度闡明概念的實質，呈現概念的正反例證讓學生進行辮別判斷，從而避免出現一些似是而非的錯誤，對培養學生的抽象思維能力和創新意識大有裨益。通過反例，學生也會培養和增強學習的反思能力?長江大學精品課程建設項目(2012年)。。

1 構造反例，加深學生理解概念的準確性和深刻性

數學概念的抽象性往往會影響學生的準確理解和把握，如果只是死記硬背，就不能很好地抓住概念的本質，由此還會產生模糊的認識。矩陣是線性代數的核心概念之一，盡管矩陣的運算和性質與數的運算和性質有很多相似之處，但是它們也有很多不同的性質，并不能簡單的類比。矩陣本質是一個數表。零矩陣是所有元素都是0的矩陣，記為O，但必須注意零矩陣和數0是完全不同意義的2個概念。在實數中，0是一個數，是介于正數和負數之間的一個中性數。零矩陣嚴格說，在一般情況下并不是一個確定的矩陣，而是代表一類矩陣，是一類矩陣的統稱。對數而言，0就是0，0=0，但對2個零矩陣，如果不是同型矩陣，則當O代表矩陣時O=O未必成立，這里筆者可以給出以下反例：

顯然，OA≠OB。這對加深理解矩陣的加、減運算要求矩陣是同型矩陣這個條件是有幫助的，同時也能說明在矩陣運算中，一般而言，A-A=O是不對的，除非這里O是與A同型的矩陣。

2 構造反例，加強學生思維的縝密性和培養學生的批判能力

對于任意2個數a,b，乘法交換律成立，即ab=ba。對于矩陣乘法而言，與數的乘法有著截然不同的性質，這是因為矩陣乘法的意義和數的乘法的意義不同。因此，數的乘法交換律成立，但不意味矩陣乘法的交換律AB=BA總成立。這里有2方面的原因，一是矩陣A與矩陣B相乘，AB可能有意義，AB也可能無意義。若矩陣Am×l的列數l和矩陣Bl×n的行數l相同，則矩陣A的每一行的元素和B的每一列的元素正好能搭配相乘，此時Am×lBl×n有意義。另一方面，AB有意義，BA是否有意義并不能保證，只有當m=n時Bl×nAm×l才有意義，而且AB,BA都有意義，也不一定能保證AB=BA。這些性質通過反例闡述，學生理解得更加縝密和深刻[2]。

此時AB,BA都有意義，但AB≠BA。實際上，絕大部分矩陣乘法都不滿足交換律。矩陣乘法從初等變換的角度來說，左乘一個矩陣本質上是矩陣的初等行變換，右乘一個矩陣是矩陣的初等列變換，當且僅當A,B是對稱矩陣時乘法才是可交換的。這些不同常規的性質也正是線性代數的魅力所在，它在量子力學和愛因斯坦的相對論中得到了重要的應用。

在數的乘法中，若ab=0，則a=0或b=0，但在矩陣乘法中，AB=O，未必有A=O或B=O。上面的反例3中，BA=O，顯然B≠O，A≠O，即矩陣乘法的消去律一般不成立。更進一步，若A≠O,A(X-Y)=O，也不能得出X=Y的結論。因此，矩陣乘法公式(A+B)2=A2+2AB+B2一般也不能成立，當且僅當A,B是可交換時才能成立。

3 構造反例，培養學生的探究能力和思辨能力

幾何中相似的幾何圖形有許多重要性質。類似地，對于n階矩陣A與B，如果相似，它們有很多好的性質。例如矩陣A,B相似，則A,B有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，證明這個結論也不困難。如果2個n階方陣有相同的特征值，那么這2個方陣是否相似呢？即命題的逆命題是否成立呢？在教學中，對條件與結論之間的“充分”和“必要”性的探索往往是問題的焦點所在，無疑對提高學生探究能力和思辨能力是大有幫助的。通過恰當地構造反例，立刻說明逆命題是不能成立的。

4 構造反例，培養學生思維的靈活性和發散性

向量的線性相關性是《線性代數》的一個重要概念，準確理解尤為重要。命題“若α1可由α2，α3，…，αn線性表示，則α1,α2,…,αn線性相關”不難判斷其正確性，但逆命題“若α1，α2，…，αn線性相關，則α1可由α2,α3,…,αn線性表示”是否正確呢？可以通過構造反例來否定。

5 結 語

在《線性代數》教學中，通過構造反例，對于學生理解基本概念和重要結論有著無可替代的作用，可以幫助學生澄清對某些概論和性質的模糊認識，消除對所學知識的某些偏差，構建準確、完整的知識體系，提升思維能力和科學素養。當然，構造反例，有時也不是件容易的事情，有時甚至比給出證明還要困難。教學中，要恰當地利用反例，突破某一種數學方法和手段的局限性，培養學生的思辨能力和創新思維能力，提高教學效果的同時提升學生的能力。

[1]張奠宙，柴俊.關于大學數學教學的一些基本原理[J].高等數學研究，2012(3)：37-38.

[2]同濟大學數學系.線性代數 [M].第5版.北京：高等教育出版社，2007：35-36.

[3]胡紅萍，胡紅莉，楊正民.線性代數教學方法探討[J].華北工學院學報(社科版)，2004(1)：77-78.

[編輯] 洪云飛

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A

1673-1409(2013)25-0132-02

2013-06-08

潘大勇(1963-)，男，副教授，現主要從事數學方面的教學與研究工作。