曲線上的預(yù)制梁橋相鄰墩臺軸線與中心連線夾角的計算研究

劉和平 徐詠梅

（河南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計院有限責(zé)任公司，河南 鄭州 450052）

位于曲線上的預(yù)制梁橋，在平面設(shè)計時，通常采用二種方式布設(shè)橋墩臺，即各墩臺軸線與墩中心的法線呈相等角度(簡稱法線法，后同)和各墩臺軸線間皆相互平行(簡稱平行法，后同)的方法。設(shè)計時，通常是提供出墩臺軸線上的2點坐標，施工時根據(jù)坐標進行找點，放線出墩臺軸線。本文通過計算，給出墩臺軸線與后視墩臺中心點連線的夾角，施工時利用已放好線的中樁，將經(jīng)緯儀或全站儀放在所在墩臺中心，后視(或前視)相鄰墩臺的中心，通過撥偏角的方法直接找出所在墩臺的軸線。

如上圖，以曲線起點為坐標原點，以起點的切線方向為X軸，以起點的法線方向為Y軸建立坐標系，以此來進行分析、計算：

一法線法布墩臺時（圖一）

圖一中，A、B分別為相鄰墩臺的中心點，C點為A、B連線與X 軸交點，θ1 為AB 與X 軸的夾角；D 點為B 點的切線與X 軸交點，θ2為BD與X軸的夾角；β為墩臺軸線與法線的夾角（每墩臺相同且為已知）；φ即為本文所要求出的、墩臺軸線與后視相鄰墩臺中心連線的夾角。

A、B點的坐標計算

A、B 兩點的樁號是已知的，即A、B 兩點至原點的曲線長度La、Lb 是已知的，假設(shè)A、B 兩點的坐標分別為（x1，y1）和（x2，y2），則：

1）當位于圓曲線上時：

A點：

ε=La/R(ε：A點切線與X軸的夾角；R：圓曲線半徑，R為已知)

L0=2Rsin(ε/2)(L0：A點至原點的直線距離)

X1=L0cos(ε/2)=2Rsin(ε/2)cos(ε/2)=Rsinε

y1=L0sin(ε/2)=2Rsin2(ε/2)

B點：

θ2=Lb/R

L0=2Rsin(θ2/2)

X2=L0cos(θ2/2)=2Rsin(θ2/2)cos(θ2/2)=Rsinθ2

Y2=L0sin(θ2/2)=2Rsin2(θ2/2)

2）當位于緩和曲線上時：

A點：

RA=A2/La(RA：A點的曲率半徑；A：緩和曲線的參數(shù)，A為已知)

X1=La-La3/(40RA2)＋La5/(3456RA4)

y1=La2/(6RA)-La4/(336RA3)＋La6/(4224RA5)

B點：

RB=A2/La(RB：B點的曲率半徑)

X1=Lb-Lb3/(40RB2)＋Lb5/(3456RB4)

y1=La2/(6RB)-Lb4/(336RB3)＋Lb6/(4224RB5)

2.墩臺軸線與后視墩臺中心點連線夾角的計算

在前一題的影響下，學(xué)生在做左圖時會進行有序思考，在追問中教師整理△的個數(shù)如右圖，學(xué)生體會到△既可以是標準量，也可以是比較量，再次內(nèi)化“標準量”的聚焦地位，從這“一題”演繹成“一類”題，再次突破“倍”的本質(zhì)。最后，通過分類“△少于○的，△與○相同的，△大于○的”，深刻體會“△與○相同”1倍關(guān)系的特殊性；從而滲透“因數(shù)和倍數(shù)”的概念，理解6的因數(shù)是有限的、6的倍數(shù)是無限的等相關(guān)知識，以探尋概念之間關(guān)聯(lián)性的思維路徑。

計算出A、B兩點的坐標后，就可以計算出各夾角了

圖一：

θ1=-arctg()

θ2=Lb2/(2A2)(A：緩和曲線的參數(shù)，A為已知)

θ=90°-（θ2-θ1）

φ=θ＋β

二平行法布墩臺時（圖二）

圖二中，A、B分別為相鄰墩臺的中心點，C點為A、B連線與X軸交點，θ1為AB與X軸的夾角；E點為橋中心線上某點，此點用來確定路水交角，亦即全橋墩臺軸線的基準線，全橋墩臺軸線與此平行；D 點為E 點的切線與X 軸交點，θ0 為BE 與X 軸的夾角；θ2為B點的切線與X軸的夾角（圖中未示）；θ3為墩臺軸線與X 軸夾角（全橋相同）；β為墩臺軸線與E 點法線的夾角（為已知）；φ即為本文所要求出的、墩臺軸線與后視相鄰墩臺中心連線的夾角。

E點切線與X軸的夾角θ0的計算

當位于圓曲線上時：

θ0=Le/R(Le：E 點至原點的曲線長度，Le 為已知；R：圓曲線半徑，R為已知)

當位于緩和曲線上時：

θ0=Le2/(2A2)(A：緩和曲線的參數(shù)，A為已知)

墩臺軸線與后視墩臺中心點連線夾角的計算

圖二：

90°＋β=θ0＋θ3

θ3=90°＋β-θ0

φ=θ1＋θ3

本計算可在橋梁墩臺平面設(shè)計時作為參考，也可供施工放線時使用，是橋梁墩臺平面設(shè)計的方法之一，也可以用來對使用其它方法的設(shè)計或施工放線的結(jié)果進行校核，而且簡單易行。

孫家駟，道路勘測設(shè)計.人民交通出版社.2005