關于混合ARMA（1,1）過程的研究

楊明潔 訾雪旻 段美華

（天津職業技術師范大學 理學院，中國 天津 300222）

0 引言

時間序列是根據時間順序得到的一系列觀測值，它的典型特征是相鄰觀測值之間存在一定的依賴性。許多理論或實際生活中的數據就是以這種時間序列的形式呈現的。

1 一階自回歸——一階移動平均模型ARMA(1,1)[1]

對于自相關過程，如果在t時刻的過程值zt，不僅與過程先前值有關，而且與先前時刻的隨機擾動也存在一定的關系時，就應用自回歸——移動平均混合模型來模擬自相關數據，混合模型為：

不失一般性，本文將應用一階自回歸——一階移動平均過程，即混合ARMA(1,1)過程來描述自相關的觀測值，并假設均值μ=0，模型為：

2 控制圖的應用

應用EWMA、REWMA、T2和RT2四個控制圖來監測混合 ARMA(1,1)模型，這些控制圖在很多論文及相關書籍中都有介紹，在這里就不加以贅述。

表1 EWMA、REWMA、T2和RT2控制圖在θ=0.2時的ARL對比值

Apley和Tsung(2002)[2]詳細給出了如何選擇最優窗寬以及如何規定第一類錯誤概率α的方法，此處不再贅述。在本文中選擇的最佳移動窗寬為p=2，第一類錯誤概率為α=0.002。λ為EWMA和REWMA的光滑系數。以0＜θ＜1為代表，下表表1、表2分別給出EWMA、REWMA、、T2和RT2控制圖在 θ=0.2和θ=0.8時的ARL值。

結果顯示，在 λ 極小（0.02）且 ?=-0.2、δ=0.2 時，79.7<86.0<201.4<376.8（分別為 EWMA、REWMA、、T2和 RT2的 ARL 值），因此在此時最優的為REWMA控制圖。同理，我們可以得到規律見表3。

當 λ 極大（0.8）且 ?=-0.8、δ=0.2 時，173.2<191.8<350.1<421.5（分別為RT2、REWMA、T2和EWMA的 ARL值），因此在此時最優的為RT2控制圖。同理，我們也可以得到規律見表3。

表3 當0＜θ＜1時，監測中小漂移的最優控制圖的選擇

表4 當-1＜θ＜0時，監測中小漂移的最優控制圖的選擇

應用同樣的方法，可以得到當-1＜θ＜0時的控制圖的選擇情況，見表4

3 結果分析

結果表明，對于混合 ARMA(1，1)模型來說，當 0＜θ＜1 時，從整體來看，殘差控制圖要比原控制圖相對有優勢，當光滑系數λ極小時，可以選擇使用REWMA控制圖；當λ極大時，可以考慮應用RT2控制圖；當-1＜θ＜0 且－1＜?＜0 時，殘差控制圖要占主導，當－1＜?＜-0.5（不考慮λ的影響）和-0.5＜?＜0且λ極小時，可以考慮使用REWMA控制圖；當-0.5＜?＜0 且 λ 極大時，應用 RT2控制圖；當-1＜θ＜00＜?＜1 且時，應用EWMA控制圖為最優。

[1]喬治 E.P.博克斯.時間序列分析[M].機械工業出版社,2002.

[2]王兆軍,鄒長亮,李忠華.統計質量控制圖理論與方法[M].科學出版社,2013.