具有變號非線性項的脈沖微分方程邊值問題的正解

江衛華， 張 強， 郭巍巍

(河北科技大學理學院，河北石家莊 050018)

脈沖微分方程在經濟、生物、生態學等領域有著廣泛的應用[1-3]，考慮到其影響，很多學者常將微分方程邊值問題推廣到脈沖微分方程上去，通過運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理、Leray-Schauder不動點定理、不動點指數理論等方法，得到了脈沖微分方程邊值問題解的存在性[4-21]。

在文獻[4]中，AGARWAL等利用非線性的Leray-Schauder不動點定理和Krasnoselskii's不動點定理得到了二階脈沖微分方程邊值問題：

至少存在1個解和2個解的充分條件。

在文獻[5]中，AGARWAL等又利用Legget-Williams不動點定理得出了脈沖微分方程邊值問題

至少存在3個正解的充分條件。

在文獻[6]中，李高山等運用錐拉伸與錐壓縮不動點定理，得到了帶有變號非線性項的二階三點微分方程邊值問題：

其中α,η∈(0,1)，至少1個正解的充分條件。

對于具有變號非線性項一階導帶脈沖的微分方程邊值問題還沒有人研究，應用文獻[28]中的方法，筆者考慮下面脈沖微分方程邊值問題：

(1)

定義空間：PC[0,1]={u:[0,1]→R,u(0)=u(0+0),存在uj∈C[tj,tj+1],使得在(tj,tj+1]有u=uj,j=0,1,…m)}。范數為‖u‖=sup{|u(t)|:t∈[0,1]{t1,t2,…,tm}},其中t0=0，tm=1。

定義1u∈PC[0,1]是邊值問題(1)的正解，當且僅當u>0且滿足邊值問題(1)。

在本文中，總是假設以下條件是成立的：

C1)f∈C([0,1]×R+，R),存在M>0，使得對于(t,u)∈[0,1]×R，有f(t,u)≥-M；

C2)Ik,Jk:R+→R是連續的，k=1,2,…,m；

C3)存在一個函數Ω:{u:u∈PC[0,1],u>0}→R+和一個正的常數c0∈(0,1)使得

c0Ω(u)≤ω0(t,u)≤Ω(u)，

其中：

下面的定義及定理是本文的關鍵所在，具體見文獻[28]。

定義2當且僅當φ:P→R+是連續的且對于所有的x,y∈P和t∈[0,1]，有

φ(tx+(1-t)y)≥tφ(x)+(1-t)φ(y),

稱映射φ是實Banach空間E中錐P上的一個非負、連續、凹函數。

定義3當且僅當Φ:P→R+是連續的且對于所有的x,y∈P和t∈[0,1]，有

Φ(tx+(1-t)y)≤tΦ(x)+(1-t)Φ(y),

稱映射Φ是實Banach空間E中錐P上的一個非負、連續、凸函數。

令φ和Θ是錐P上的非負、連續凸函數，Φ是錐P上的非負連續凹函數，Ψ是錐P上的非負連續函數，定義以下集合：

P(φ,d)={x∈P:φ(x)

P(φ,Φ,b,d)={x∈P:b≤Φ(x),φ(x)≤d}，

P(φ，Θ，Φ,b,c,d)={x∈P:b≤Φ(x),Θ(x)≤c,φ(x)≤d},

R(φ,Ψ，a,d)={x∈P:a≤Ψ(x),φ(x)≤d},

其中a，b，c和d都是正數。

利用以下Avery-Peterson不動點定理來研究邊值問題(1)。

S1)對于x∈P(φ，Θ,Φ,b,c,d),有{x∈P(φ,Θ,Φ,b,c,d):Φ(x)>b}≠φ和Φ(Tx)>b；

S2)對于x∈P(φ,Φ,b,d)和Θ(Tx)>c，有Φ(Tx)>b；

S3)對于x∈R(φ,Ψ,a,d)和Ψ(x)=a，有0?R(φ,Ψ,a,d)和Ψ(Tx)

1 預備知識

引理1u是邊值問題(1)的解的充要條件是u滿足積分方程

其中：

k=1,2,…,m, (t,u)∈[0,1]×{u:u∈PC[0,1],u>0}且有c0Ω(u)≤ω01(t,u)≤Ω(u)。

引理2函數G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是連續的且滿足

ρ0g(s)≤G(t,s)≤g(s)，t,s∈[0,1]，

引理3微分方程邊值問題：

(2)

(3)

(4)

證明如果u是邊值問題(1)的一個正解，由引理3可知u滿足：

(5)

顯然當u≥My是算子T的一個不動點，那么u-My是邊值問題(1)的一個正解。

引理5算子T:K→K是全連續的。

證明取u∈K，顯然Tu∈PC[0,1]。

因為

故T:K→K。

故T(B)是有界的。

令t1，t2∈[0,1]，t1

所以T(B)是等度連續。因此知算子T:K→K是全連續的。

2 主要結果

則邊值問題(1)至少存在2個正解。

下面證明條件S1)成立。

因此條件S1)滿足。

以下證明條件S2)成立。

表明條件S2)滿足。

接下來證明條件S3)成立。

顯然，φ(0)=0

因此，條件S3)也滿足。

由定理2知，算子T至少存在3個正解u1，u2，u3，滿足：‖ui‖≤d,i=1,2,3，并且

如果u∈K且‖u‖≥a，由式(3)和定理2知u(t)≥ρ‖u‖≥ρa≥My(t)。顯然，u2≥a，u1>b>a。所以可得到u1-My,u2-My是邊值問題(1)的2個正解。

3 舉例

考慮下面邊值問題：

(6)

其中：

參考文獻/References:

[1] LAKSHMIKANTHAM V, BAINOV D D, SIMEONOV P S. Theory of Impulsive Differential Equations[M].Singapore: World Scientific, 1989.

[2] SAMOILENKO A M, PERESTYUK N A. Impulsive Differential Equations[M]. River Edge: World Scientific, 1995.

[3] BAINOV D D, SIMEONOV P S. Impulsive Differential Equations: Periodic Solutions and Applications[M]. Harlow: Longman Scientific and Technical, 1993.

[4] AGARWAL R P, REGAN D O. Multiple nonnegative solutions for second order impulsive differential equations[J]. Appl Math Comput, 2000,114: 51-59.

[5] AGARWAL R P, REGAN D O. A Multiplicity result for second order impulsive differential equations via the Leggett Williams fixed point theorem[J]. Appl Math Comput, 2005,161:433-439.

[6] LI Gaoshang, LIU Xiping, JIA Mei. Positive solutions to a type of nonlinear three-point boundary value problem with sign changing nonlinearities[J]. Comput Math Appl, 2009，57:348-355.

[7] GUO Dajun, LIU Xinzhi. Multiple positive solutions of boundary value problems for impulsive differential equations[J]. Nonlinear Anal, 1995,25: 327-337.

[8] FRIGON M, REGAN D O. Boundary value problems for second order impulsive differential equations using set-valued maps[J]. Appl Anal, 1995，58:325-333.

[9] ELIE P W, HENDERSON J. Positive solutions of boundary value problems for ordinary differential equations with impulsive[J]. Dynamics Contin Discrete Impulsive Syst, 1998，82(4): 285-294.

[10] NIETO J J. Periodic boundary value problems for first-order impulsive ordinary differential equations[J]. Nonlinear Anal, 2002，51:1 223-1 232.

[11] ZHAO Aimin, BAI Zhenguo. Existence of solutions to first-order impulsive periodic boundary value problems[J]. Nonlinear Anal, 2009,71:1 970-1 977.

[12] LIANG Ruixi, SHEN Jianhua. Periodic boundary value problem for second-order impulsive functional differential equations[J]. Appl Math Comput, 2007, 193: 560-571.

[13] LI Jianli, SHEN Jianhua. Periodic boundary value problems for impulsive integro-differential equations of mixed type[J]. Appl Math Comput, 2006, 183: 890-902.

[14] HE Zhimin, YU Jianshe. Periodic boundary value problem for first-order impulsive functional differential equations[J]. J Comput Appl Math, 2002, 138(2):205-217.

[15] JANKOWSKI T. Positive solutions to second order four-point boundary value problems for impulsive differential equations[J]. Appl Math Comput, 2008, 202:550-561.

[16] JANKOWSKI T. Positive solutions of three-point boundary value problems for second order impulsive differential equations with advanced arguments[J]. Appl Math Comput, 2008, 197: 179-189.

[17] ZHANG Xuemei, YANG Xiaozhong, GE Weigao. Positive solutions of th-order impulsive boundary value problems with integral boundary conditions in Banach spaces[J]. Nonlinear Anal, 2009, 71:5 930-5 945.

[18] HAO Xinan, LIU Lishan, WU Yonghong. Positive solutions for second order impulsive differential equations with integral boundary conditions[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 2011, 16(1): 101-111.

[19] GUO Dajun. Multiple positive solutions of a boundary value problem fornth-order impulsive integro-differential equations in Banach spaces[J]. Nonlinear Anal, 2005, 63: 618-641.

[20] HU Lili, LIU Lishan, WU Yonghong. Positive solutions of nonlinear singular two-point boundary value problems for second-order impulsive differential equations[J]. Appl Math Comput, 2008, 196: 550-562.

[21] JANKOWSKI T.Positive solutions for second order impulsive differential equations involving stieltjes integral conditions[J]. Nonlinear Anal,2011,74:3 775-3 785.