海倫方程矩量法分析＊

劉建廠

（海司信息化部 北京 100841）

1 引言

人們把用基函數(shù)和權(quán)函數(shù)將積分方程離散化為矩陣方程的數(shù)值計(jì)算方法稱為矩量法［1］，矩量法是一種非常普遍的概念，其基本思想是將一個(gè)泛函方程化為矩陣方程并求解該方程。該方法在天線領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，上世紀(jì)60年代，哈林登（Harrington）首先將矩量法應(yīng)用于電磁場(chǎng)領(lǐng)域［2］。對(duì)于輻射問(wèn)題，是將含有未知電流的積分方程化為矩陣方程，通過(guò)求解該矩陣方程得到天線上的電流分布。

在矩量法的分析過(guò)程中，積分方程有多種，比如雙位積分方程、海倫（Hallen）積分方程、波克林頓（Pocklington）積分方程、反應(yīng)積分方程等［3～7］。本文重點(diǎn)對(duì)海倫積分方程的矩量法求解過(guò)程進(jìn)行了研究，文中詳細(xì)推導(dǎo)了海倫積分方程，分別選取全域基和分域積進(jìn)行了分析，尤其對(duì)脈沖分域積、δ權(quán)函數(shù)進(jìn)行了重點(diǎn)研究，特別是匹配點(diǎn)的選取和廣義阻抗矩陣的特性。

2 海倫積分方程［1～8］

海倫積分方程是基于Δ間隙電壓源［5］求解對(duì)稱偶極子天線的，如圖1所示偶極子天線半徑為a，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，沿z軸放置于坐標(biāo)原點(diǎn)，使用間隙為Δ（Δ無(wú)限小）強(qiáng)度為Eg的電壓源激勵(lì)。

假設(shè)a?λ，a?L，偶極子天線表面的電流僅有軸向分量，即z分量，所以沿偶極子表面電流均勻分布，并且偶極子天線端面電流為零。這樣矢量位僅有軸向分量Az，于是電場(chǎng)表達(dá)變?yōu)镋z＝-jωAz-，根據(jù)洛侖茲（Lorentz）規(guī)范［9］，可以得出：

圖1 偶極子天線

該微分方程的通解為Az＝Bcoskz＋Dsinkz，由偶極子天線的對(duì)稱性可知：Az（-z）＝Az（z），所以D＝0，上面的通解變?yōu)锳z＝Bcoskz，而特解可以寫作：

在z＝0的Δ（Δ→0）鄰域?qū)Ψ匠蹋?）兩邊求積分：

由于Az在z＝0處連續(xù)，故，上式變?yōu)?/p>

Δ→0時(shí)，可得：-jk（M＋N）＝-jωμεV，即：M＋N，根據(jù)Az在z＝0處連續(xù)這一條件，可得M＝N。故微分方程（2）的特解為

Az＝，即：

Az＝Bcoskz＋B′Ve-jk｜z｜，式中，

3 海倫積分方程矩量法求解

用矩量法求解海倫積分方程時(shí)，一般使用全域基、點(diǎn)匹配法，對(duì)于細(xì)偶極子天線，由于已知電流分布接近正弦分布，所以經(jīng)常采用正弦分布的全域基函數(shù)，這樣使解的收斂性很好，用2～3個(gè)展開(kāi)函數(shù)便能較好的逼近未知函數(shù)。而使用分域基求解由于涉及到偶極子天線的分段和匹配點(diǎn)的選取，所以解法不是很統(tǒng)一，雖然有文獻(xiàn)中使用分域脈沖基、點(diǎn)匹配法進(jìn)行分析，但偶極子天線的分段和匹配點(diǎn)的選取不是很理想，特別匹配點(diǎn)與分段重合的情況，計(jì)算廣義阻抗矩陣易出現(xiàn)奇異點(diǎn)。

3.1 全域基、點(diǎn)匹配［7］

對(duì)于圖1所示偶極子天線，選用三角全域基函數(shù)展開(kāi)，待求電流可表示為

其中：

求解出系數(shù)In后，可以得到天線的輸入阻抗：

由于天線在遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)只有Eθ分量，故：

通過(guò)進(jìn)一步計(jì)算，可以求出功率方向圖：

3.2 分域基、點(diǎn)匹配［2～3，5］

選用分域脈沖基函數(shù)作為展開(kāi)函數(shù)，采用點(diǎn)匹配法，脈沖基函數(shù)選為

圖2 天線分段情況和匹配點(diǎn)選取示意圖

本文采用的分段和匹配方法是將天線分為偶數(shù)段，展開(kāi)脈沖函數(shù)數(shù)目為奇數(shù)，偶極子天線兩端各留半個(gè)分段，匹配點(diǎn)選在每個(gè)脈沖的中心，保證在饋電處有一個(gè)匹配點(diǎn)。因?yàn)榉匠逃蠳＋1個(gè)未知量，故在天線端點(diǎn)處的一個(gè)分段中點(diǎn)還需再選一個(gè)匹配點(diǎn)，這樣選取的好處是可以使偶極子天線末端的電流為零，具體情況見(jiàn)圖2。離散后的N＋1階線性方程組表示為

式中：

則矩陣形式的表達(dá)式為

即：ZI＝V，進(jìn)一步可得：I＝Z-1V，I的最后一項(xiàng)是系數(shù)C＊，在后面計(jì)算中不再使用，這樣便得到了電流分布，進(jìn)而可以求出輻射場(chǎng)。

偶極子的輻射場(chǎng)在遠(yuǎn)區(qū)只有Eθ和Hφ分量，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)，偶極子的第n段的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為

偶極子天線的增益：

式中，I0表示饋電點(diǎn)的電流。

4 數(shù)值計(jì)算

對(duì)L＝0.5λ，a＝0.0001λ和a＝0.001λ中央單位電壓饋電的偶極子天線，天線放置情況如圖1所示，分別用三角全域基、點(diǎn)匹配和脈沖分域基、點(diǎn)匹配進(jìn)行了矩量法分析。

4.1 電流分布

全域基采用的基函數(shù)個(gè)數(shù)為3，匹配點(diǎn)是在L／2 上等間距取N＋1個(gè)點(diǎn)；分域基的天線分段數(shù)為60，即采用59個(gè)脈沖基函數(shù)，匹配點(diǎn)選在每個(gè)脈沖的中心，另在天線的端點(diǎn)處的分段中心再取一個(gè)匹配點(diǎn)。

當(dāng)偶極子半徑a＝0.0001λ時(shí)，使用全域基與分域基得到的電流分布一致性很好，如圖3所示；而當(dāng)偶極子的半徑增大到a＝0.001λ時(shí)，使用分域基得到的電流分布與使用全域基得到的電流分布產(chǎn)生了一定的偏差，特別是在饋電點(diǎn)處，如圖4所示。

圖3 a／λ＝0.0001偶極子的電流分布

圖4 a／λ＝0.001偶極子的電流分布

4.2 輻射特性

功率方向圖對(duì)偶極子天線半徑變化的敏感度要低一些，在偶極子半徑a＝0.0001λ時(shí)，使用全域基和分域基得到的E面功率方向圖如圖5所示，兩種方法所得結(jié)果吻合度很好。

圖5 偶極子的E 面功率方向圖

4.3 輸入阻抗與增益系數(shù)

偶極子半徑a＝0.0001λ時(shí)的輸入阻抗和增益系數(shù)結(jié)果如表1所示，偶極子半徑a＝0.001λ時(shí)的輸入阻抗和增益系數(shù)結(jié)果如表2所示。

表1 a＝0.0001λ時(shí)的輸入阻抗與增益系數(shù)

表2 a＝0.001λ時(shí)的輸入阻抗與增益系數(shù)

計(jì)算結(jié)果表明：采用全域基、點(diǎn)匹配法時(shí)，N值不宜取的過(guò)大，一般取N＝2～3即可，N值過(guò)大，會(huì)使阻抗矩陣產(chǎn)生病態(tài)；采用脈沖分域基、點(diǎn)匹配法時(shí)，偶極子的分段情況和匹配點(diǎn)的選取尤為重要，雖然不同的選取方法大致都能得到較為理想的結(jié)果，但在細(xì)節(jié)上，比如阻抗矩陣的條件數(shù)等方面還是存在很大差距。

兩種方法在求解偶極子輻射特性方面差別不大，功率方向圖的結(jié)果比較一致；對(duì)于線徑較大的偶極子天線，全域基比分域基給出的電流分布結(jié)果更加穩(wěn)定；輸入阻抗和增益系數(shù)方面，全域基也比分域基的情況要好一些。

5 病態(tài)矩陣［5，7，10］

使用全域基、點(diǎn)匹配方法，在偶極子線徑較小時(shí)，對(duì)基函數(shù)的項(xiàng)數(shù)N感度不是很大，不同N值對(duì)阻抗矩陣條件數(shù)的影響不大，但隨著偶極子線徑的增加，阻抗矩陣的條件數(shù)對(duì)N值的敏感度增強(qiáng)，此時(shí)，如果N取得過(guò)大，會(huì)使阻抗矩陣Zmn變?yōu)椴B(tài)，條件數(shù)隨著N的增加不斷變大，導(dǎo)致電流分布產(chǎn)生畸變。a＝0.005λ的半波偶極子天線隨N值的變化電流分布如圖6～7所示。

圖6 N 為3、5、7、9時(shí)的電流分布

圖7 N 為3、11、13、15時(shí)的電流分布

全域基、點(diǎn)匹配法阻抗矩陣的條件數(shù)隨N的變化見(jiàn)表3。分域基、點(diǎn)匹配法得到的阻抗矩陣條件數(shù)在偶極子線徑較大時(shí)，隨分段數(shù)的增加，變化更為劇烈，更容易使阻抗矩陣產(chǎn)生病態(tài)。

表3 阻抗矩陣的條件數(shù)

6 結(jié)語(yǔ)

海倫積分方程是天線矩量法研究中的一種重要方程，在實(shí)際應(yīng)用中，采用不同的基函數(shù)和權(quán)函數(shù)，對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果有一定影響。本文詳細(xì)推導(dǎo)了海倫積分方程的建立過(guò)程，分別采用全域基和分域基對(duì)偶極子天線進(jìn)行了矩量法分析，實(shí)現(xiàn)了一種新的分段和匹配方法，并對(duì)計(jì)算過(guò)程中阻抗矩陣的性態(tài)進(jìn)行了分析研究，下一步工作的重點(diǎn)是對(duì)病態(tài)矩陣的產(chǎn)生原因做進(jìn)一步分析。

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