單框架控制力矩陀螺構型分析與奇異可視化

魏孔明 吳忠 劉濤

（北京航空航天大學儀器科學與光電工程學院，北京100191）

1 引言

單框架控制力矩陀螺 （SGCMG）系統的構型包括兩層含義，即系統中采用SGCMG的個數以及各SGCMG的空間安裝形式。構型不僅決定了SGCMG系統角動量包絡的大小和形狀，而且還決定了奇點在空間中的分布。良好的構型不但可以充分利用SGCMG系統的力矩輸出能力，而且可以降低奇點分布的復雜度，從而利于操縱律的設計。因此，構型分析與設計是SGCMG應用的基礎和前提。

對于控制力矩陀螺系統構型，國內外學者從多種角度進行了研究。文獻[1]針對控制力矩陀螺在空間站中的應用，考慮了質量、功率、體積、安全性、可維護性和壽命等指標，對各種典型構型進行了對比分析，給出了構型選擇依據。然而，該研究主要考慮了控制力矩陀螺個數的影響，并未考慮安裝形式的影響以及構型與奇異的關系。文獻[2]以航天器姿態控制精度為指標，對構型參數進行了優化，使得在該構型參數下姿態控制精度最高，然而該研究同樣沒有考慮構型對奇異的影響。在文獻[1]的基礎上，文獻[3]采用構型效率、奇異面復雜度作為評價指標，文獻[4]則采用構型效益、可控效益、奇異點損失率和失效效益作為評價指標，對SGCMG系統的典型構型進行了對比分析。構型評價指標雖然考慮了安裝形式以及構型對奇異的影響，但是數字指標不能很好地刻畫不同構型下系統奇點的分布情況。

本文分析了構型效益和可控效益對構型性能描述的不足，并進行了改進，引入了兩個新的構型評價指標，用于典型構型的對比與分析。同時，利用可視化方法對SGCMG系統在不同構型下的奇異角動量曲面分布情況進行了對比研究，分析了構型對系統奇點分布的影響，為構型設計提供了依據。

2 構型描述及評價指標

2.1 構型描述

為使SGCMG系統具有冗余和奇異回避能力，應采用3個以上的SGCMG。然而，當SGCMG超過6個時，系統奇異面的復雜度不會再顯著降低，而且過多的SGCMG會使系統的質量及功耗隨之增加。因此，本文只研究由4個、5個或6個SGCMG組成的系統。

根據各SGCMG框架軸是否重合，可將SGCMG系統構型分為：對稱安裝構型和成對安裝構型。在對稱安裝構型中，各SGCMG的框架軸垂直于正多面體或正棱錐的表面，該類構型具有較好的對稱性，從而使系統具有較好的失效操縱相容性。在成對安裝構型中，每兩個SGCMG組成一對，框架軸同向，該類構型降低了SGCMG系統奇異面的復雜度，有利于操縱律的設計。因此，本文主要針對三類構型進行分析：第一類為正棱錐構型，各SGCMG的框架軸垂直于正棱錐的各側面；第二類為正棱錐加軸構型，一個SGCMG的框架軸垂直于正棱錐的底面，其余各SGCMG的框架軸垂直于正棱錐的各側面；第三類為成對安裝構型，每個控制軸上有一對SGCMG共軸成對安裝。

設SGCMG系統由n個相同的SGCMG組成，第i個SGCMG的角動量為hi，各SGCMG角動量大小相等，均為h0。設框架軸方向上的單位向量為gi，角動量初始方向上的單位向量為ai，bi與gi和ai構成右手正交坐標。hi在ai與bi組成的平面內繞gi轉動，框架角σi為hi與ai的夾角。定義A、B為SGCMG系統的構型矩陣，則SGCMG系統的運動學方程可表示為

式中h為系統總角動量，σ＝ [σ1…σn]T為系統框架角組合，A＝ [a1…an]，B＝[b1…bn]，cosσ＝[cosσ1… cosσn]T，sinσ＝[sinσ1… sinσn]T。 已知系統構型矩陣，可根據式（1）方便地寫出SGCMG系統的運動學方程。

2.2 構型評價指標

常用的構型評價指標包括構型效益、可控效益和失效效益等[4]，針對構型效益和可控效益的不足，在此引入角動量利用率和非奇異率，對SGCMG系統構型進行分析和評價。

（1）構型效益

構型效益是指角動量包絡內切圓半徑與各SGCMG角動量值代數和之比，可表示為

（2）可控效益

可控效益是指角動量空間中不包含橢圓奇點 （不能通過零運動脫離的奇點）的最大角動量球空間的半徑與各SGCMG角動量值代數和之比，可表示為

式中σse表示系統橢圓奇點。可控效益是SGCMG系統奇點分布的一種度量，可控效益大，則不含橢圓奇點的角動量空間大，奇點分布離角動量包絡近，SGCMG系統操縱律的設計也相對容易。

（3）失效效益

失效效益是指當SGCMG系統中某個SGCMG失效時系統的構型效益。失效效益反映了失效對SGCMG系統角動量包絡的影響。對于對稱構型，任意SGCMG失效時，失效效益相同；而對于非對稱構型，不同SGCMG失效其失效效益可能不同。

（4）角動量利用率

從構型效益定義中可以看出，構型效益反映了構型對各SGCMG角動量的利用情況，構型效益越大，各SGCMG對系統角動量的貢獻也越大。然而，由于SGCMG系統的特點，構型效益的最大值為γmax＝π／4，不能很好地表征構型的性能。因此，可將構型效益歸一化，引入一新構型指標：角動量利用率η1。角動量利用率是歸一化后的構型效益，為構型效益與最大構型效益的比值，可表示為

顯然，角動量利用率是一個相對指標。與構型效益相比，角動量利用率能更好地反映不同構型對角動量的利用情況。

（5）非奇異率

根據可控效益的定義可知，可控效益反映了不同構型中非奇異空間的大小。由于非奇異空間中不存在嚴重困擾SGCMG應用的奇異問題，因此，非奇異空間的大小是衡量構型優劣的重要指標之一。然而，可控效益并沒有考慮角動量包絡的影響。如需比較不同構型的可控效益，應該在相同的角動量包絡下比較才具有可比性。因此，可在可控效益的基礎上，去除角動量包絡的影響，引入一個新的構型指標：非奇異率η2。非奇異率是非奇異角動量空間半徑與整個可用角動量空間半徑的比值，可表示為

可見，非奇異率為可控效益與構型效益的比值，剔除了不同構型的構型效益對可控效益的影響，直接反映了構型對奇點分布的影響。

3 奇異可視化方法

構型評價指標雖然能夠從總體上反映構型角動量包絡的大小以及系統中奇點的分布情況，然而標量型的指標不能很好地反映不同構型下奇異角動量曲面在空間中分布的形態。因此，引入可視化手段[5-7]對不同構型奇異角動量曲面在空間的分布進行對比研究。

設h0＝1，則Ji＝dhi／dσi＝gi×hi為第i個SGCMG力矩輸出方向上的單位向量。設SGCMG系統在u方向上奇異，當u≠±gi時，SGCMG系統的奇異角動量可表示為[5-7]

式中εi＝sign（hsi·u），上標s代表系統奇異，下同。當u＝±gi時，hi可為任意值，式（6）可改寫為

利用式（6）與式（7），根據奇異方向便可繪出指定構型的奇異角動量曲面。對于n-SGCMG系統，根據εi符號的不同，奇異角動量曲面可分為n＋型（εi全為正）、（n-1）＋型（εi為n-1正1負）等。當εi負號個數大于正號個數時，將這些符號取反后，也可歸入以上類型。由文獻[7]可知，對于由n個SGCMG組成的對稱構型，其橢圓奇點只包含在n＋型和（n-1）＋型奇異角動量曲面上。故在以下的構型可視化分析中，只畫出這兩種類型的奇異角動量曲面。

4 構型分析

4.1 4-SGCMG系統構型分析

典型的4-SGCMG系統構型包括正三棱錐加軸構型、正四棱錐構型和雙平行安裝構型，如圖1所示。為便于推導SGCMG系統的運動學關系，首先定義構型坐標系。z軸為正棱錐的體軸，x軸與棱錐的一面相對，y軸與x、z構成右手正交坐標系。

圖1 4-SGCMG系統典型構型結構示意Fig.1 Sketch of typical 4-SGCMG configurations

（1）正三棱錐加軸構型

該構型中3個SGCMG的框架軸垂直于正三棱錐的3個側面，初始角動量均沿正三棱錐的底邊，以逆時針順序排列；第4個SGCMG的框架軸垂直于正三棱錐的底面，初始角動量沿x方向。該構型的構型矩陣如下：

式中 構型參數β為棱錐側面與底面的夾角。由于篇幅限制，之后的構型省略構型矩陣。當β＝arccos（1／3）時，正三棱錐為正四面體。根據構型矩陣，由式（1）可寫出其運動學方程，由式（6）和式（7）可畫出奇異角動量曲面如圖2（a）所示。其中，外層角動量包絡為4＋型奇異角動量曲面（占包絡主體部分），包絡中央為3＋型角動量曲面。3＋型奇異角動量曲面包含4個分支，4個分支在中心處交出一個紡錘體，該紡錘體內不含橢圓奇點，為非奇異角動量空間。設單個SGCMG的角動量為1，圖2為歸一化的角動量曲面，各軸的量綱為1。

（2）正四棱錐構型

正四棱錐構型又稱金字塔構型 （Pyramid Type），各SGCMG的框架軸分別垂直于正四棱錐的4個側面，初始角動量均沿正四棱錐的底邊以逆時針順序排列。當β＝arccos（／3）時，正四棱錐為正八面體的上半部分。該構型奇異角動量曲面如圖2（b）所示。正四棱錐構型與正三棱錐加軸構型的奇異角動量曲面結構相似，只是空間指向不同。相對正三棱錐加軸構型，正四棱錐構型具有更多對稱性，其中心非奇異空間相對較大。

（3）雙平行安裝構型

雙平行安裝構型又稱為屋頂構型（Roof Type），相當于β＝90°時的正四棱錐構型。系統中兩對SGCMG的框架軸共線，各框架軸分別指向x、y、-x、-y軸。初始角動量均沿正方體底邊，以逆時針順序排列。該構型奇異角動量曲面如圖2（c）所示。雙平行安裝構型的3＋型奇異角動量曲面退化為曲線，為奇異角動量曲面隨構型參數改變而變化的一種極限形式。雙平行安裝構型的2＋型奇異角動量曲面（圖中未畫出）也含橢圓奇點，不存在中心非奇異空間。但是，該構型奇異角動量曲面結構簡單，有利于操縱律設計。

圖2 4-SGCMG系統典型構型奇異角動量曲面Fig.2 Singular surface of typical 4-SGCMG configurations

（4）4-SGCMG構型指標對比

根據對三種4-SGCMG典型構型的分析，可以計算出構型評價指標如表1所示。顯然，在構型效益、可控效益、失效效益和角動量利用率等指標上，正四棱錐構型明顯占優。主要是由于相對于其他兩種構型，正四棱錐構型對稱性更好。

表1 4-SGCMG系統典型構型評價指標對比Tab.1 Configuration indices of typical 4-SGCMG configurations

4.2 5-SGCMG系統構型分析

典型的5-SGCMG系統構型包括正四棱錐加軸構型和正五棱錐構型，如圖3所示。

圖3 5-SGCMG系統典型構型結構示意Fig.3 Sketch of typical 5-SGCMG configurations

（1）正四棱錐加軸構型

該構型中4個SGCMG的框架軸垂直于正四棱錐的四個側面，初始角動量沿正四棱錐的底邊，以逆時針順序排列；第5個SGCMG的框架軸垂直于正四棱錐底面，初始角動量沿x方向。設構型參數，該構型奇異角動量曲面如圖4（a）所示。由于4＋型奇異曲面含分支較多，不便于紙面表示，故圖4（a）中只給出其角動量包絡曲面。正四棱錐加軸構型的角動量包絡為扁平型，與正四棱錐構型相比，其4＋型角動量曲面（圖中未畫出）所圍成的非奇異空間占角動量空間比重較大。

圖4 5-SGCMG系統典型構型奇異角動量曲面Fig.4 Singular surface of typical 5-SGCMG configurations

（2）正五棱錐構型

該構型中5個SGCMG的框架軸均垂直于正五棱錐的5個側面，初始角動量均沿正五棱錐的底邊，以逆時針順序排列。設構型參數該構型奇異角動量曲面如圖4（b）所示。正五棱錐構型的角動量包絡呈細長形，4＋型奇異角動量曲面在空間中關于z軸對稱。與正四棱錐加軸構型相比，其非奇異空間也相對較大。

（3）5-SGCMG構型指標對比

根據對5-SGCMG系統典型構型的分析，可以計算出構型評價指標如表2所示。顯然，在構型效益、可控效益、失效效益、角動量利用率、非奇異率等構型評價指標上，正五棱錐構型均優于正四棱錐加軸構型。從奇異角動量曲面的對比也可以看出，正五棱錐構型的奇異角動量曲面具有更多的對稱性，也相對簡單。與4-SGCMG系統相比，5-SGCMG系統構型評價指標全面占優。

表2 5-SGCMG系統典型構型評價指標對比Tab.2 Configuration indices of typical 5-SGCMG

4.3 6-SGCMG系統構型分析

6-SGCMG構型包括正五棱錐加軸構型、正六棱錐構型和三平行安裝構型，如圖5所示。

（1）正五棱錐加軸構型

該構型中5個SGCMG的框架軸垂直于正五棱錐的5個側面，初始角動量均沿正五棱錐的底邊，以逆時針順序排列；第6個SGCMG的框架軸垂直于正五棱錐的底面，初始角動量沿x方向。構型參數）時，SGCMG各框架軸垂直于正十二面體表面，該構型奇異角動量曲面如圖6（a）所示。

圖5 6-SGCMG系統典型構型結構示意Fig.5 Sketch of typical 6-SGCMG configurations

該構型是 “和平號”空間站所采用的構型，從圖6可以看出該構型不但具有較大的角動量包絡，而且奇異角動量包絡也接近角動量包絡，是較理想的構型之一。

（2）正六棱錐構型

該構型中6個SGCMG的框架軸均垂直于正六棱錐的6個側面，初始角動量均沿正六棱錐的底邊，以逆時針順序排列。構型參數β＝arccos（1／3）時，各SGCMG框架軸垂直于正六面體表面。該構型奇異角動量曲面如圖6（b）所示。與正五棱錐加軸構型相比，正六棱錐構型的角動量包絡較為細長，構型效益降低，奇異角動量曲面也相對較為復雜。

（3）三平行安裝構型

該構型中，3對SGCMG的框架軸共線，各對SGCMG的框架軸分別垂直于正六面體的6個面，指向x、y、-x、-y、z、-z軸。初始角動量方向分別指向y、-x、-y、x、x、-x，該構型奇異角動量曲面如圖6（c）所示。與正五棱錐加軸構型及正六棱錐構型相比，三平行安裝構型的奇異角動量曲面形式相同，但其曲面結構已大為簡化，5＋型奇異角動量曲面所包圍的空間的形狀也相對簡單，其上不含橢圓奇點，為奇異角動量曲面結構隨構型幾何參數改變而變化的一種極限形式。

（4）6-SGCMG構型指標對比

根據對正五棱錐加軸構型、正六棱錐構型、三平行安裝構型等典型構型的分析，可以計算出構型評價指標如表3所示。顯然，在構型效益、可控效益、失效效益、角動量利用率等指標上，正五棱錐加軸構型明顯占優。如果僅考慮構型的非奇異率，三平行安裝構型則明顯占優，其奇異角動量曲面分布較為簡單，不存在不可回避的橢圓奇點。

表3 6-SGCMG系統典型構型評價指標對比Tab.3 Configuration indices of typical 6-SGCMG

5 結束語

本文綜合運用構型效益、可控效益、失效效益、角動量利用率和非奇異率等構型指標以及奇異可視化手段對典型SGCMG系統構型進行了對比分析，具體結論如下：

1）隨著SGCMG個數的增多，奇異角動量曲面結構趨于簡單，不含橢圓奇點的中心非奇異角動量空間逐漸增大。

2）構型的對稱性越好 （如正三棱錐加軸構型、正四棱錐構型、正五棱錐加軸構型和三平行安裝構型等正多面體構型），角動量包絡對稱性越好，不含橢圓奇點的角動量空間越大，構型效益、可控效益、失效效益、角動量利用率和非奇異率等構型指標占優。

3）與其他構型相比，成對安裝構型的構型效益較小，但其奇異角動量曲面結構較為簡單，便于操縱律的設計。

[1]MEFFE M.Control Moment Gyroscope Configurations for the Space Station [C].11th AAS Guidance and Control Conference，Keystone，Colorado，USA，AAS 88-040，1988.

[2]LEVE FREDERICK A，BOYARKO GEORGE A，FITZ-COY NORMAN G.Optimization in Choosing Gimbal Axis Orientations of a CMG Attitude Control System [C].AIAA Unmanned Unlimited Conference.Seattle，Washington，USA，AIAA 2009-1836，2009.

[3]吳忠，吳宏鑫.單框架控制力矩陀螺系統的構形分析 [J].航天控制，1998（1）：19-27.WU ZHONG，WU HONGXIN.Configuration Analysis of Single Gimbal Control Moment Gyroscope Systems[J].Aerospace Control，1998（1）：19-27.

[4]張錦江.單框架控制力矩陀螺系統的構型分析和對比研究 [J].中國空間科學技術，2003，23（3）：52-56.ZHANG JINJIANG.Research on Configuration Analysis and Comparison of SGCMG System [J].Chinese Space Science and Technology，2003，23（3）：52-56.

[5]MARGULIES G，AUBRUN J N.Geometric Theory of Single Gimbal-Control Moment Gyro Systems [J].Journal of Astronautical Sciences，1978，26（2）：159-191.

[6]WIE B.Singularity Analysis and Visualization of Single-Gimbal Control Moment Gyro Systems [J].Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2004，27（2）：271-282.

[7]TANG LIANG，XU SHIJIE.Geometric Analysis of Singularity for Single-Gimbal Control Moment Gyro Systems[J].Chinese Journal of Aeronautics，2005，18（4）：295-303.