基于分?jǐn)?shù)階滑模的航天器姿態(tài)魯棒控制

鄧立為 宋申民

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制理論與制導(dǎo)技術(shù)研究中心，哈爾濱150001）

1 引言

伴隨著航天器編隊(duì)飛行、空間交會(huì)對(duì)接、在軌服務(wù)等技術(shù)的發(fā)展，高精度高穩(wěn)定度的航天器姿態(tài)控制要求越來(lái)越高，而航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)具有非線性、強(qiáng)耦合、多入多出等特點(diǎn)，諸如重力梯度、太陽(yáng)輻壓、地球磁場(chǎng)等各種環(huán)境干擾力矩都是無(wú)法精確描述的，并且航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量信息也是無(wú)法精確得到的，所以具有良好魯棒性與抗干擾性的非線性控制器得到了廣泛重視。滑模變結(jié)構(gòu)控制由于對(duì)模型誤差和外部擾動(dòng)具有較好的魯棒性，因此在航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)［1］研究了非線性系統(tǒng)的模糊分?jǐn)?shù)階滑模控制問(wèn)題，分別給出了PD型滑模面和PDα型滑模面，對(duì)比說(shuō)明分?jǐn)?shù)階滑模控制的優(yōu)點(diǎn)，但沒(méi)有給出收斂到滑模面之后狀態(tài)的收斂性證明。文獻(xiàn)［2］利用分?jǐn)?shù)階非奇異終端滑模研究了非自治混沌系統(tǒng)的同步與有限時(shí)間控制問(wèn)題。文獻(xiàn)［3］研究了一類(lèi)具有不確定性分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階終端滑模控制問(wèn)題，對(duì)集成不確定部分的分?jǐn)?shù)階微分的界做出了一定的假設(shè)。文獻(xiàn)［4］通過(guò)滑模控制研究了整數(shù)階混沌系統(tǒng)與一類(lèi)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)之間的同步問(wèn)題。文獻(xiàn)［5］基于參數(shù)自整定分?jǐn)?shù)階滑模對(duì)交流永磁伺服電動(dòng)機(jī)的速度控制進(jìn)行了研究。但是，上述研究中控制對(duì)象、假設(shè)條件的特殊性以及證明的不完整性，使得研究成果并不能簡(jiǎn)單地直接應(yīng)用到航天器的姿態(tài)控制問(wèn)題上。本文以航天器存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性與外部擾動(dòng)為前提，利用分?jǐn)?shù)階滑模控制理論對(duì)航天器姿態(tài)實(shí)現(xiàn)高精度和高穩(wěn)定度控制，并給出了相關(guān)的穩(wěn)定性證明。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證了所提出的分?jǐn)?shù)階滑模控制器具有高精度、強(qiáng)魯棒性和良好的抗干擾性。

2 基礎(chǔ)理論

定義1 連續(xù)可積函數(shù)ft（）的Caputo型分?jǐn)?shù)階微積分統(tǒng)一定義為［6-7］

式中m為比α大的最小整數(shù)；Γ·（）為伽馬函數(shù)，時(shí)，符號(hào)表示分?jǐn)?shù)階微分；而當(dāng)α＜0，則表示分?jǐn)?shù)階積分。分?jǐn)?shù)階微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為特定形式的積分運(yùn)算，因而具有一定的記憶性。為表述方便，下文用符號(hào)

分?jǐn)?shù)階微積分具有如下性質(zhì)［3，6］：

3 航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)

3.1 航天器的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

修正的羅德里格參數(shù)（Modified Rodrigues Parameters，MRPs）描述的航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為［8］

式中σ為本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的MRPs參數(shù)描述，其定義為σ＝etan（θ／4）（0°≤θ＜360°），θ為Euler旋轉(zhuǎn)角，e為Euler旋轉(zhuǎn)軸；是本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系，表示在航天器本體坐標(biāo)系上的姿態(tài)角速度矢量；Gσ（）具有如下形式的定義：

并且，Gσ（）具有如下性質(zhì)：

3.2 航天器的動(dòng)力學(xué)方程

剛體航天器的動(dòng)力學(xué)方程為［8-9］

式中J∈R3×3為航天器的對(duì)稱(chēng)正定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為航天器本體坐標(biāo)系上的三軸控制力矩，可以由航天器上的反作用飛輪、推力器和磁力矩器等執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供；為航天器所受的干擾力矩；對(duì)于符號(hào)ω×表示如下的反對(duì)稱(chēng)矩陣：

航天器姿態(tài)控制問(wèn)題描述：針對(duì)由式（2）和式（6）組成的剛體航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)控制器u，使得當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)的姿態(tài)信息σ→0以及角速度信息ω→0。

4 分?jǐn)?shù)階滑模控制器設(shè)計(jì)

為了便于本文分?jǐn)?shù)階滑模控制器的設(shè)計(jì)，對(duì)上述運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行變形，得到它們的等價(jià)方程。引入新變量z，并定義為

對(duì)式（8）求導(dǎo)，并把得到的結(jié)果代入到式（6）中，從而得到關(guān)于新變量z的方程

針對(duì)由式（2）和式（9）組成的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模面為

設(shè)計(jì)相應(yīng)的控制律為

為了定理的證明，給出如下引理及假設(shè)：

引理1［9］對(duì)于一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)的正定函數(shù)V：Rn→R，a∈R＋，β∈ （0，1），并且存在原點(diǎn)的一個(gè)鄰域U0?Rn使得：

那么，原點(diǎn)就是一個(gè)平衡點(diǎn)，可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)。若U0＝Rn，那么原點(diǎn)就是一個(gè)有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)的全局平衡點(diǎn)。

引理2［5，7］分?jǐn)?shù)階非自治系統(tǒng)

式中xt（）∈Rn；A＝（aij）∈Rn×n；0＜α＜1。當(dāng)且僅當(dāng)，

系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，并且狀態(tài)元素向平衡點(diǎn)0的收斂速度是t-α；其中，arg表示輻角，λi表示矩陣的特征值。

假設(shè)1 存在已知常數(shù)dmax＞0，使得干擾力矩d滿(mǎn)足約束條件：

假設(shè)2 存在已知常數(shù)ΔJmax＞0，使得轉(zhuǎn)動(dòng)不確定性部分滿(mǎn)足約束條件：

定理 針對(duì)由式（2）和（9）組成的系統(tǒng)，通過(guò)選取由式（10）組成的分?jǐn)?shù)階滑模面，在控制律式（11）作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面上，即s＝0。當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)σ→0，ω→0。

證明過(guò)程分三部分完成：1）在有限時(shí)間內(nèi)取得s＝0；2）當(dāng)s＝0時(shí)，分?jǐn)?shù)階滑模面構(gòu)成子系統(tǒng)狀態(tài)變量z的收斂性；3）當(dāng)z→0時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)σ和ω的收斂性。

證明：

1）選取Lyapunov函數(shù)為

求V1對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，并利用式（9）、式（10）以及式（11）可以得到：

利用矩陣范數(shù)之間的關(guān)系與二次型函數(shù)的性質(zhì)可以得到：

最終可以得到：

應(yīng)用引理1可知，系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面上。

上述證明過(guò)程中只給出了時(shí)變參數(shù)k2形如式（19）不等式關(guān)系，利用范數(shù)關(guān)系及式（15）和式（16），有：

從而，可以選取時(shí)變參數(shù)k2：

2）當(dāng)s＝0時(shí)，子系統(tǒng)變?yōu)镈αz＝-kpz，是常見(jiàn)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)。

由引理2可以得到：

由0＜α＜1和kp＞0可知，式（22）是恒成立的。從而可知，分?jǐn)?shù)階子系統(tǒng)Dαz＝-kpz是漸近穩(wěn)定的，并且以t-α的速度向平衡點(diǎn)0處收斂。

3）當(dāng)z→0，由方程ω＝-λσ可以得到，子系統(tǒng)方程為選取Lyapunov函數(shù)為

對(duì)函數(shù)V2求導(dǎo)，并利用式（2）和式（5），可以得到：

由Lyapunov穩(wěn)定性定理可以得到，當(dāng)t→∞時(shí)，σ→0，進(jìn)而由方程ω＝ -λσ可以得到ω→0。

證畢。

在控制律式（11）中，因?yàn)榉?hào)函數(shù)的特性會(huì)引起系統(tǒng)控制力矩的抖振，抖振現(xiàn)象可能引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定或者對(duì)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的損壞。為避免此問(wèn)題，利用飽和函數(shù)對(duì)符號(hào)函數(shù)進(jìn)行替換，其飽和函數(shù)sat·（）的定義為

5 仿真分析

5.1 仿真參數(shù)設(shè)定

為了分析文中所提出的分?jǐn)?shù)階滑模控制律式（11）在高精度高穩(wěn)定度的航天器姿態(tài)控制問(wèn)題上的優(yōu)勢(shì)，選取文獻(xiàn)［9］中的仿真參數(shù)。

航天器參數(shù)：

根據(jù)姿態(tài)四元數(shù)與姿態(tài)修正的羅德里格參數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系可以得到，航天器初始姿態(tài)信息：

初始角速度信息為

擾動(dòng)力矩為

5.2 仿真結(jié)果分析

利用文中所提出的算法，采用上述仿真參數(shù)，并選擇確定頻率的干擾力矩d1t（）進(jìn)行仿真，得到如下仿真結(jié)果：圖1是文獻(xiàn)［9］中有限時(shí)間控制器作用下的姿態(tài)及角速度曲線；圖2是文獻(xiàn)［9］中有限時(shí)間控制器作用下的滑模面與控制力矩曲線；圖3是本文分?jǐn)?shù)級(jí)滑模控制器作用下的姿態(tài)及角速度曲線；圖4是本文分?jǐn)?shù)級(jí)滑模控制器作用下的滑模面及控制力矩曲線；圖5是時(shí)變參數(shù)k2的變化曲線。

圖1 有限時(shí)間控制的姿態(tài)與角速度Fig.1 Attitude and angular velocity of finite time control

圖2 有限時(shí)間控制的滑模面與控制力矩Fig.2 Sliding surface and control moment of finite time control

圖3 分?jǐn)?shù)階滑模控制的姿態(tài)與角速度Fig.3 Attitude and angular velocity of fractional order sliding control

圖4 分?jǐn)?shù)階滑模控制的滑模面與控制力矩Fig.4 Sliding surface and control moment of fractional order sliding control

從圖1和圖3對(duì)比可以看出，在存在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定與外部擾動(dòng)的情況下，兩種控制器作用下的姿態(tài)與角速度在35s左右均很好地完成了收斂。但是，分?jǐn)?shù)階滑模控制器作用下的航天器角速度收斂過(guò)程變化平緩，使得航天器姿態(tài)控制過(guò)程更加平穩(wěn)。從圖2和圖4對(duì)比可以看出，航天器進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段，分?jǐn)?shù)階滑模需要的控制力矩是0.005N·m，而文獻(xiàn)［9］需要的控制力矩是0.1N·m。從圖1～圖4的局部放大圖可以看出，分?jǐn)?shù)階滑模控制器在使用較小的控制力矩作用下，航天器姿態(tài)與角速度穩(wěn)態(tài)精度更好，并大幅度提高了航天器的能源利用率。從圖5時(shí)變參數(shù)k2的變化曲線可以看出，在姿態(tài)與角速度趨于0之后，根據(jù)式（21）可以得出k2＝ξ＋dmax＝0.9，仿真結(jié)果與理論分析相一致。

為了能夠更好更直觀地體現(xiàn)航天器的姿態(tài)信息，利用四元數(shù)、MRPs與Euler角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，將圖1中四元數(shù)和圖3中MRPs表示的姿態(tài)轉(zhuǎn)化成歐拉角，得到如圖6所示歐拉角表示的航天器姿態(tài)，圖6上部分曲線表示文獻(xiàn)［9］的姿態(tài)信息，圖6下部分曲線表示本文分?jǐn)?shù)階滑模控制得到的姿態(tài)曲線。

圖5 時(shí)變參數(shù)k2變化Fig.5 Time-varying parameter k2

圖6 歐拉角表示的航天器姿態(tài)Fig.6 Spacecraft attitude representation of Euler angles

從圖6中可以看出，分?jǐn)?shù)階滑模控制器作用下的航天器，在調(diào)節(jié)過(guò)程中超調(diào)量小，在穩(wěn)態(tài)階段穩(wěn)態(tài)誤差小。

另一方面，諸如重力梯度、太陽(yáng)輻壓、地球磁場(chǎng)等各種環(huán)境干擾力矩的頻率都是無(wú)法精確描述的，為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器在變頻率干擾力矩下的控制效果，在上述仿真基礎(chǔ)上，在不改變其他航天器參數(shù)及控制器參數(shù)的前提下，采用5.1節(jié)中的變頻率擾動(dòng)力矩d2t（）再次進(jìn)行仿真，得到如下結(jié)果：圖7是文獻(xiàn)［9］中有限時(shí)間控制器作用下的姿態(tài)及角速度曲線；圖8是分?jǐn)?shù)級(jí)滑模控制器作用下的姿態(tài)及角速度曲線。

圖7 有限時(shí)間控制的姿態(tài)與角速度Fig.7 Attitude and angular velocity of finite time contol

圖8 分?jǐn)?shù)階滑模控制的姿態(tài)與角速度Fig.8 Sliding surface and control moment of fractional order sliding control

從圖7、圖8可以看出，在變頻率干擾力矩條件下，兩種控制器都能完成對(duì)航天器的精確控制。在調(diào)節(jié)過(guò)程中，收斂速度與確定性頻率干擾下的收斂速度一樣；在穩(wěn)態(tài)階段，分?jǐn)?shù)階滑模控制器與文獻(xiàn)［9］控制器相比，具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差4×10-5rad／s。

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)存在外部擾動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定性的高精度高穩(wěn)定度的航天器姿態(tài)控制問(wèn)題，將分?jǐn)?shù)階微分算子的快速收斂性和記憶性與滑模控制器優(yōu)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，提出了一種分?jǐn)?shù)階滑模控制器。并利用Lyapunov理論與分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論分三部分完成了整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明。MATLAB仿真表明所提出的分?jǐn)?shù)階滑模控制器具有良好的控制性與強(qiáng)魯棒性。并針對(duì)變頻率擾動(dòng)干擾力矩問(wèn)題，仿真分析了分?jǐn)?shù)階滑模控制器的良好抗干擾性。

本文所設(shè)計(jì)的控制律僅能使得到達(dá)滑模面的時(shí)間是有限的，而在滑模面上系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，如果能設(shè)計(jì)有限時(shí)間收斂性能的滑模面子系統(tǒng)，將能使整體系統(tǒng)達(dá)到有限時(shí)間穩(wěn)定，從而實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間收斂的分?jǐn)?shù)階滑模控制器。另外，進(jìn)一步結(jié)合文獻(xiàn)中的自適應(yīng)理論與擾動(dòng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法，將能夠減少控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中對(duì)擾動(dòng)以及不確定性界的要求，從而使得航天器的分?jǐn)?shù)階滑模方法更具有工程意義。以上兩點(diǎn)是以后課題研究的重點(diǎn)。

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