基于衛(wèi)星自旋的純引力軌道萬有引力干擾抑制

谷振豐 王兆魁 張育林

（清華大學航天航空學院，北京100084）

1 引言

一個稱為 “內(nèi)衛(wèi)星”的驗證質(zhì)量塊自由飛行于外衛(wèi)星的內(nèi)部空腔中，不與外衛(wèi)星接觸，由于外衛(wèi)星的屏蔽，其不受大氣阻力、太陽光壓等干擾作用，沿著純引力軌道飛行；同時，測量內(nèi)外衛(wèi)星的相對位置，據(jù)此控制外衛(wèi)星緊密跟蹤內(nèi)衛(wèi)星，從而外衛(wèi)星始終為內(nèi)衛(wèi)星提供屏蔽環(huán)境并也沿著同樣的純引力軌道飛行[1-2]，如圖1所示。空間純引力軌道有重要的應用價值[3-4]：一方面，沿著純引力軌道飛行的內(nèi)衛(wèi)星，可以用作引力參考點實現(xiàn)引力探測，其軌道可用于中心天體的引力場測量等；另一方面，經(jīng)過大氣阻力、太陽光壓等攝動力補償，處于類純引力飛行狀態(tài)的外衛(wèi)星能夠提供極低干擾環(huán)境，作為穩(wěn)定的空間實驗、測量平臺。

1972年，美國海軍導航衛(wèi)星Triad-1發(fā)射入軌，成為第一顆沿純引力軌道飛行的衛(wèi)星[5]。美國宇航局（NASA）在2004年4月20日發(fā)射的引力探測器衛(wèi)星GP-B（Gravity Probe B），利用在太空中漂浮的不受外力矩干擾從而沿著引力軌道飛行的陀螺，探測廣義相對論所預言的短程線效應和坐標系拖曳效應[6]。由歐空局（ESA）和 NASA合作支持的STEP（Satellite Test of Equivalence Principle）任務，通過空間飛行器構(gòu)造純引力環(huán)境來檢驗等效原理，將超過目前地面實驗研究水平至少5個數(shù)量級[7]。LISA（Laser Interferometer Space Antenna）任務計劃采用3個位于日心軌道上相距5×106km的純引力飛行航天器，探測低頻引力波，從而檢驗宇宙學的基礎理論8-9。清華大學等研究機構(gòu)基于衛(wèi)星精密編隊飛行理論，自主提出了可構(gòu)造純引力軌道的 “內(nèi)編隊”純引力飛行系統(tǒng)，應用于近地軌道以通過內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道數(shù)據(jù)精確恢復地球重力場[10-11]。

圖1 空間純引力軌道構(gòu)造原理示意Fig.1 Principle of constructing purely gravitational orbit

由于外衛(wèi)星局部物理因素的不完全對稱，以及高能粒子和宇宙射線能夠穿透包含內(nèi)衛(wèi)星的屏蔽腔體，內(nèi)衛(wèi)星受到殘余干擾力的作用，主要包括：外衛(wèi)星的萬有引力、熱噪聲干擾、外衛(wèi)星局部電磁場作用力等[12-15]。其中，外衛(wèi)星對內(nèi)衛(wèi)星的萬有引力是主要的一項殘余干擾[16-17]。在殘余干擾力的作用下，內(nèi)衛(wèi)星將偏離理想的純引力軌道。為了提高純引力飛行的性能水平，需要對殘余干擾進行抑制，既可以通過衛(wèi)星設計和控制物理環(huán)境參數(shù)來直接降低干擾力，也可以通過降低殘余干擾導致的效應間接實現(xiàn)干擾抑制。對于后者，文獻[18]指出通過外衛(wèi)星自旋能夠降低與外衛(wèi)星本體固連的干擾力的影響，但沒有給出詳細的分析。

本文在分析萬有引力干擾對內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道的影響基礎上，基于降低干擾導致的效應的思想，研究通過外衛(wèi)星自旋調(diào)制萬有引力干擾以從效應上抑制該干擾的方法。根據(jù)衛(wèi)星相對運動動力學方程，建立萬有引力干擾對內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道影響的分析模型，以及外衛(wèi)星自旋對萬有引力干擾效應的抑制模型。然后，以內(nèi)編隊純引力飛行系統(tǒng)為例，對比計算外衛(wèi)星有無自旋時萬有引力干擾對內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道的影響。

2 萬有引力干擾對內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道影響的模型

2.1 萬有引力干擾對內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道的影響

純引力飛行衛(wèi)星系統(tǒng)的相對保持控制總是能夠使得內(nèi)衛(wèi)星處于腔體中心的一個較小的鄰域內(nèi)，且外衛(wèi)星的姿態(tài)運動范圍很小[19-20]。為了簡化問題的分析，不妨假設內(nèi)衛(wèi)星始終處于腔體中心位置，并忽略外衛(wèi)星的姿態(tài)運動。那么，內(nèi)衛(wèi)星在其軌道坐標系內(nèi)受到恒定的外衛(wèi)星萬有引力作用，將逐漸偏離理想的純引力軌道。假定內(nèi)衛(wèi)星的理想純引力軌道是圓軌道，則在內(nèi)衛(wèi)星偏離理想純引力軌道不超過一定范圍的情況下，內(nèi)衛(wèi)星在外衛(wèi)星萬有引力干擾作用下相對理想純引力軌道的運動可用Hill方程表示為

式中 （x，y，z）為相對運動在參考軌道坐標系中的分量；n為理想純引力軌道的軌道角速率；（fx，fy，fz）為外衛(wèi)星萬有引力在參考軌道坐標系下的分量。

假定初始時刻的相對狀態(tài)矢量為 [x0y0z0000]T，用t表示時間，可得到方程（1）的解為

內(nèi)衛(wèi)星初始位于理想純引力軌道上，即初始狀態(tài)為零，則長期項和常數(shù)項為

式中 c表示常值；l表示長期項。由式（3）可見，x向與y向均存在隨著時間增長的長期項，導致內(nèi)衛(wèi)星逐漸偏離理想的純引力軌道。特別是y向長期項中包含時間的二次項，使得內(nèi)衛(wèi)星與理想純引力軌道的偏差增長較快。對長期項和常數(shù)項的量級進行粗略估計，如表1所示。其中，萬有引力干擾的量級取為10-9m／s2，軌道角速率n的量級取為10-3rad／s。由表1可知，一個軌道周期之后，長期項引起的純引力軌道偏差就可以達到分米量級；一天之內(nèi)的長期項累積偏差將會達到10m量級。

表1 軌道偏差的長期項和常數(shù)項的量級Tab.1 Orders of the long-period terms and the constant terms

2.2 外衛(wèi)星自旋對萬有引力干擾影響的抑制

外衛(wèi)星繞垂直軌道平面的軸，即z軸以角速率ωb旋轉(zhuǎn)，則外衛(wèi)星對內(nèi)衛(wèi)星的萬有引力在軌道坐標系內(nèi)為

將式（4）代入式（1）右端，重新求解，得到

則在初始相對狀態(tài)為零時長期項和常數(shù)項為

可見，在外衛(wèi)星自旋時，僅y向存在隨著時間增長的長期項，且僅是時間的一次項。而且，自旋角速率可以調(diào)節(jié)長期項的大小。對軌道偏差的長期項和常數(shù)項的量級估計如表2所示，其中取自旋角速率大于軌道角速率兩個量級。由表2可知，一個軌道周期之后，長期項引起的純引力軌道偏差為亞毫米量級；一天之內(nèi)長期項的累積偏差僅為毫米級。可見，外衛(wèi)星自旋能夠有效降低萬有引力干擾引起的純引力軌道偏差，保守的量級估計表明能夠降低3個數(shù)量級。提高外衛(wèi)星自旋角速率，還能夠進一步減小萬有引力干擾引起的純引力軌道偏差。

表2 ωb＝100 n時軌道偏差的長期項和常數(shù)項的量級Tab.2 Orders of the long-period terms and the constant terms whenωb＝100 n

3 內(nèi)編隊純引力飛行系統(tǒng)實例

以內(nèi)編隊純引力飛行系統(tǒng)為實例，通過對比計算驗證外衛(wèi)星自旋對萬有引力干擾效應的抑制能力。計算中采用的參數(shù)如表3所示。其中，外衛(wèi)星萬有引力是基于內(nèi)編隊系統(tǒng)當前設計采用數(shù)值方法計算得到的[21]；在較低轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)選擇了一系列參考值作為外衛(wèi)星自旋角速率。

表3 內(nèi)編隊系統(tǒng)實例計算參數(shù)Tab.3 Parameters of the inner formation flying system

在外衛(wèi)星無自旋情況下，內(nèi)衛(wèi)星在萬有引力干擾作用下偏離理想純引力軌道的情況如圖2所示。一個軌道周期的偏差約為0.28m，一天的長期項偏差將達到69.8m。

圖2 內(nèi)衛(wèi)星在萬有引力干擾作用下與理想純引力軌道的偏差Fig.2 Departure of the inner satellite from the purely gravitational orbit due to the gravitational attraction

在外衛(wèi)星自旋情況下，內(nèi)衛(wèi)星在萬有引力干擾作用下偏離理想純引力軌道的情況如圖3～圖6和表4所示。對比圖3和圖2，可以發(fā)現(xiàn)在外衛(wèi)星自旋時，內(nèi)衛(wèi)星與理想純引力軌道的長期偏離顯著降低。對比圖3～圖6，可以發(fā)現(xiàn)隨著外衛(wèi)星自旋角速率的提高，內(nèi)衛(wèi)星與純引力軌道的長期偏離逐漸降低。由表4可知，在外衛(wèi)星自旋時，內(nèi)衛(wèi)星在萬有引力干擾影響下與理想純引力軌道的偏差被顯著抑制，特別是一天的長期累積偏差能夠降低5～7個數(shù)量級。考慮到該計算所取參數(shù)中fx比fy小兩個量級，則自旋能夠使得萬有引力干擾的天長期效應降低3～5個數(shù)量級。這從效果上相當于將萬有引力干擾降低了3～5個數(shù)量級，從而使得萬有引力干擾能夠滿足內(nèi)編隊任務的重力場測量需求。

圖3 外衛(wèi)星自旋角速率為0.02πrad／s時內(nèi)衛(wèi)星與理想純引力軌道的偏差Fig.3 Departure of the inner satellite from the purely gravitational orbit whenωb＝0.02πrad／s

圖4 外衛(wèi)星自旋角速率為0.05πrad／s時內(nèi)衛(wèi)星與理想純引力軌道的偏差Fig.4 Departure of the inner satellite from the purely gravitational orbit whenωb＝0.05πrad／s

圖5 外衛(wèi)星自旋角速率為0.2πrad／s時內(nèi)衛(wèi)星與理想純引力軌道的偏差Fig.5 Departure of the inner satellite from the purely gravitational orbit whenωb＝0.2πrad／s

圖6 外衛(wèi)星自旋角速率為0.5πrad／s時內(nèi)衛(wèi)星與理想純引力軌道的偏差Fig.6 Departure of the inner satellite from the purely gravitational orbit whenωb＝0.5πrad／s

表4 內(nèi)衛(wèi)星在萬有引力干擾作用下與理想純引力軌道的偏差Tab.4 Departure of the inner satellite from the purely gravitational orbit due to the gravitational attraction

4 結(jié)束語

在純引力軌道飛行系統(tǒng)中，外衛(wèi)星萬有引力是內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道的最主要干擾因素，導致內(nèi)衛(wèi)星逐漸偏離理想的純引力軌道。為了提高純引力軌道的性能，需要對萬有引力干擾或其影響進行抑制。本文基于外衛(wèi)星繞垂直軌道面的軸旋轉(zhuǎn)以調(diào)制萬有引力干擾的策略，根據(jù)衛(wèi)星相對運動動力學方程建立了萬有引力干擾影響抑制模型，分析了外衛(wèi)星自旋可以達到的萬有引力干擾抑制效果。分析表明，外衛(wèi)星自旋能夠顯著抑制萬有引力干擾對內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道的長期影響。以內(nèi)編隊純引力飛行系統(tǒng)為實例的對比計算表明，外衛(wèi)星以0.02π～0.5πrad／s的角速率自旋時，萬有引力干擾對內(nèi)衛(wèi)星純引力軌道的天長期影響能夠降低5～7個數(shù)量級，這從效果上相當于將萬有引力干擾降低了3～5個數(shù)量級，從而能夠使得萬有引力干擾滿足任務要求。

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