滾擺運動的研究

周艷麗，王揚威，王 超，陳英才

（臺州學院 物理與材料工程系，浙江 臺州318000）

1 引 言

物理學力學部分有比較多的守恒定律，如：動量守恒定律、機械能守恒定律、角動量守恒定律等.在實際教學中，為了增強學生對這些守恒定律的認識，往往需要引入實驗對相關守恒定律進行演示和驗證［1-3］.在物理教學中，滾擺實驗常被用來演示機械能守恒定律.

實際上，滾擺在運動過程中機械能是不守恒的.一方面，運動過程中總有空氣阻力、擺線間摩擦力等非保守力做功；另一方面，如果擺線沒有彈性或擺線彈性可忽略，那么滾擺每次運動到最低點時都會因為擺線間摩擦及擺線內摩擦而損失掉所有的平動動能［4］.針對滾擺運動問題，目前已有不少的研究［4-10］，但這些研究往往只側重于分析和討論理想條件下（即忽略空氣阻力、擺線間摩擦力等因素的影響）滾擺在1次全滾動過程中的運動特點和能量損失，而對于滾擺在多次全滾動中所遵從的運動規律以及阻力、摩擦力等因素造成的機械能損失卻少有討論.這明顯不利于學生對滾擺運動規律的完整認識和把握.本工作的主要目的就是從實驗上研究滾擺滾動最大高度和滾動時間隨滾動次數的變化規律，并在理想條件下從理論上討論分析實驗結果.同時，通過對比實驗和理論結果，揭示了空氣阻力、繩間摩擦力等因素對滾擺運動的影響及其所造成的系統的機械能損失.

2 實 驗

滾擺的核心部件為由金屬軸和金屬輪組合而成的復合剛體，復合剛體由軸兩端的擺線對稱的懸掛在演示支架上，如圖1所示.把擺線均勻地繞在軸的兩端，使滾擺提升至一定高度，然后平穩釋放，滾擺將在重力和擺線拉力作用下重復向下和向上滾動.如果忽略能量損失，那么滾擺每次上滾的最大高度都相同，這說明滾擺在運動過程中機械能守恒，重力勢能和動能循環相互轉換.

圖1 滾擺實驗裝置示意圖

實驗所用的滾擺裝置主要參量：軸和輪的半徑分別為2.06mm和47.27mm；軸和輪組成的復合剛體總質量為234.47g；復合剛體對軸的轉動慣量為3.199×10-4kg·m2（由三線擺實驗儀多次測量平均得到）；擺線為三股加捻錦綸線（捻度約為300捻／m，直徑約為0.7mm）.轉軸側面上靠近軸兩端處對稱地分布著2個小孔（直徑約為1mm）.軸的兩端均為空心（空心部分直徑約為2mm），且各自與對應端軸側面上的小孔連通.在安裝擺線時，首先取2根長度相等的擺線，并分別在一端打結；然后，將未打結的一端穿入軸端空心部分并由側面上小孔穿出.拉緊擺線，使擺線的繩結阻擋在軸端的空心部分，從而完成擺線與軸的固定；最后，分別將2根擺線未打結端綁定在懸梁對應側的吊鉤上.懸梁上的2個吊鉤，一個位置固定，另一個高度可微調.擺線連接完成后，微調吊鉤高度以保證2條擺線的長度相等.另外，為了量化運動過程中滾擺的高度（位置）變化，將最小分度為1mm的米尺豎直固定在支架一側的立柱上，并用滾擺軸上邊緣（或下邊緣）的延長線在米尺上對應刻度值的改變來表征滾擺的高度變化.

實驗時，首先記錄滾擺靜止（即滾擺在最低點）時軸在米尺上對應的刻度值，并將之定義為高度零點；隨后把擺線均勻地繞在軸的兩端，使滾擺提升至初始高度H0并平穩釋放.滾擺的整個運動過程及時間由固定于實驗裝置正前方的高清晰攝像機記錄.實驗所選用的滾擺初始高度H0分別為：31.17，27.17，23.17，19.17，15.17cm.對于每一初始高度分別做5次實驗，每次實驗記錄30次以上的全滾動.根據攝像機錄像讀取滾擺第n次全滾動后滾擺的最大高度H（n）以及經歷n次全滾動所需要的總時間T（n），并對數據做平均處理.考慮到不同初始高度所得到的數據變化規律相似，這里只給出初始高度為31.17cm時H（n）以及T（n）隨滾動次數n的變化，如圖2和圖3所示.圖中的虛線為理想條件下的理論結果，實線為用理論上得到的函數關系對實驗數據的擬合曲線.系統機械能在滾擺運動過程中不斷損失，從而使得滾擺滾動最大高度隨滾動次數的增多不斷減小，如圖2所示.另一方面，滾動次數越多，運動經歷的時間就越長，從而使得滾擺滾動時間隨滾動次數的增多不斷增大，如圖3所示.

圖2 滾擺最大高度Hn隨擺動次數n的變化

圖3 滾動時間T（n）隨擺動次數n的變化

3 理論分析

理想條件下忽略空氣阻力和繩子摩擦力等因素影響，只考慮滾擺在最低點的平動動能損失，理論上可以證明［5］以下幾個問題.

1）在下滾和上滾過程中，滾擺質心作勻變速直線運動，加速度a0可表示為

其中，M為輪和軸的總質量，r為軸的半徑，I為輪和軸構成的復合剛體對軸的轉動慣量.

2）在1次全滾動中（由初始最高點下滾，經過最低點，然后再上滾至新的最高點）滾擺上滾最大高度H（n＋1）與下滾初始高度H（n）之間存在簡單的正比關系

其中系數k0為

由式（2）可以遞推得到n次全滾動后滾擺所能達到的最大高度H（n），即滾擺滾動最大高度隨滾動次數的變化關系

這里H0代表滾擺的初始高度.

單就1次全滾動而言，滾擺質心的運動可以分為3個部份：

1）下滾階段，質心由最高點勻加速直線運動到最低點；

2）反轉時刻，滾擺在最低點與擺線發生瞬間相互作用，質心速度方向發生反轉；

3）上滾階段，質心由最低點勻減速直線運動到新的最高點.結合式（1）和（4）可求出滾擺第n次全滾動中所需要的時間

由式（5）可以得到滾擺經過n次全滾動所用的總時間T（n），即滾擺滾動時間隨滾動次數的變化關系

其中常數B0表示為

取重力加速度g＝9.8m／s2，并將軸半徑r、輪和軸的復合體總質量M及其對軸的轉動慣量I值代入式（3）和（7）可以得到k0＝0.996 9，B0≈1 045s／cm1／2.k0非常接近于1，這表明在理想條件下，實驗所用滾擺在最低點處的平動動能損失很小，從而可以比較好地演示機械能守恒.圖2和3中的虛線分別給出了理想條件下滾擺最大高度和滾動時間隨滾動次數的變化曲線.可以看出，理論結果與實驗數據有很大差別.這是因為上述理論推導忽略了空氣阻力、擺線間摩擦力和擺線的內摩擦等因素的影響.很明顯，上述因素對滾擺運動有重要影響：空氣阻力、繩子間摩擦力等非保守力做功消耗機械能，使滾擺最大高度隨滾動次數的衰減得更快，如圖2所示；同時，阻力、摩擦力等的存在使下滾過程中的加速度減小，而使上滾過程中的加速度增大.當阻力、摩擦力等比較小時，滾動時間隨滾動次數的增大要比理想情形的緩慢，如圖3所示.

盡管實驗數據在量值上與理論結果不同，但是實驗結果可以用理論上給出的函數關系［式（4）和（6）］描述，如圖2和圖3中的實線所示，滾擺最大高度隨滾動次數的變化關系可表示為：

滾擺滾動時間隨滾動次數的變化關系可表示為

對于不同的初始高度，表1給出了擬合得到的系數k和B.可以看出，k和B與理論值k0和B0有很大的差別.另外，隨著初始高度的增大，k和B值都有減小的趨勢，這意味著：初始高度越高，滾擺系統機械能損失得就越快.但是，從數值上看，初始高度對k和B值的影響還是比較微小，因此可以粗略地認為k和B只與系統自身屬性有關.為了進一步說明實驗結果和理論結果在量值上的差別，用擬合得到的k替代k0，并由式（7）計算得到了B′，如表1所示.可以看出，B值與B′值也有很大的差別.這是因為：在實際條件下，由于阻力、摩擦力等的存在，滾擺下滾和上滾過程中的加速度不再相等，而下滾和上滾過程中加速度相等恰恰是式（7）成立的條件.

表1 不同初始高度對應的系數k和B

滾擺運動過程中空氣阻力、繩子間摩擦力等是不可忽略的因素，其做功也是系統機械能損失的重要來源.假定用Wf（n）表示第n次全滾動中上述阻力和摩擦力因素消耗的機械能總量，那么由k0和k則得到Wf（n）隨滾動次數的變化關系：

4 結束語

從實驗上研究了滾擺運動過程中滾動最大高度H（n）和滾動時間T（n）隨滾動次數n的變化，并從理論上推導出了理想條件下H（n）及T（n）關于n的函數關系.研究結果表明：由于空氣阻力和擺線間摩擦力等因素的存在，實驗結果在量值上與理想條件下的理論結果并不一致，但是，實驗結果仍可由理論得到的函數關系描述；對比實驗和理論結果可以確定空氣阻力、擺線間摩擦力等因素所造成的系統機械能損失.

［1］白云.用3dsMax8模擬碰撞中的動量守恒實驗［J］.物理實驗，2007，27（5）：39-41.

［2］樊利芳.驗證機械能守恒定律實驗的改進［J］.物理實驗，2011，31（9）：19-20.

［3］王佑坤.自制角動量守恒演示儀［J］.物理實驗，2011，31（10）：33-35.

［4］李洪政.麥克斯韋擺運動的剖析［J］.徐州師范學院報，1990，8（3）：64-66.

［5］韋德全.麥克斯韋滾擺的能量損失［J］.濟寧師專學報，1997，18（3）：29.

［6］應干華.麥克斯韋擺運動過程中的超重和失重現象研究［J］.物理教學探討，2004，22（3）：41-42.

［7］王陽，袁曉忠.滾擺演示實驗內容的擴充［J］.物理實驗，1999，19（5）：46.

［8］楊靜生.滾擺運動的動力學分析［J］.技術物理教學，2007，15（1）：36-37.

［9］何汝鑫.滾擺運動過程中能量轉換的分析［J］.物理，1963，（2）：90-91.

［10］盧克箴.馬克士威爾滾擺運動的研究［J］.陜西師大學報（自然科學版），1985，（3）：89-94.