利用LED燈演示簡諧振動的合成和光的5種偏振態

董永奇，阮海軍，蔡天芳，彭繼迎，王 偉，王 飛

（北京交通大學 電子信息工程學院，北京100044）

1 引 言

通過對學生和物理教師的走訪調查，發現在大學物理課堂上教師講解簡諧振動的合成時［1］，盡管有Flash動畫輔助教學，但效果不太理想，對于抽象的振動合成，同學們理解起來很困難［2］.另外，在大學物理課堂上教師講解光的5種偏振態時，初學者對于線偏振光合成的圓偏振光和橢圓偏振光的光矢量運動理解起來也較困難.

現在市場上的振動合成演示儀，一般是激光模擬或機械直接演示［1-2］.機械傳動類演示儀器，體積較大，成本較高，雖可演示一些簡諧振動合成的過程，但演示時間較長且不可調整，若在課堂上演示將會耽誤上課時間.激光模擬類演示，只是給人1幅圖畫，讓人無法感受合成的過程［3-4］.

現在許多高校都在進行偏振光演示的研究［5］，但總體上都是基于光的線偏振化，然后進行直接演示，但這樣得到的僅僅是個圖像［6］，并不能演示偏振光的矢端運動過程.另外，對于光的5種偏振態比較分析的演示，幾乎沒有研究.

現在許多研究者實現了用Visua1C＋＋，Matlab編程來演示簡諧振動的合成［7-9］，但是這種方式并不能演示簡諧振動的合成過程，更無法演示光的5種偏振態［10-11］.

針對現行演示儀器的不足，本文提出了用LED燈來演示簡諧振動的合成和光的5種偏振態的方法，并設計出了相應的演示儀.采用連續、動態的圖形效果，可以加深學生對各種簡諧振動合成和光的5種偏振態的理解.

2 原 理

2.1 簡諧振動合成的原理

簡諧振動是最基本最簡單的振動，兩相互垂直方向上簡諧振動的合成分為頻率相同和頻率不同2種情形.

1）相互垂直、同頻率的簡諧振動的合成

2個簡諧振動的表達式分別為：

其中A1，A2，φ10，φ20，f 分別表示兩者振動的振幅、初相位和頻率［7］.消去t，得軌跡方程：

2）相互垂直、不同頻率的簡諧振動的合成

若2個振動的頻率相差很大，并有簡單的整數比值關系，可得到穩定的運動軌跡曲線即李薩如圖形.在該圖形中，作與x和y軸平行的直線，兩線與李薩如圖形最大交點的個數比與對應的頻率比成反比，由此可求一振動的未知頻率［12］.

2.2 光的5種偏振態

電磁波是橫波，光波作為電磁波具有偏振性，如果光矢量只沿垂直于波線方向的一個固定方向振動，則該光波稱為線偏振光，圖示中常用波線上短線或點來表示線偏振光.

2個沿z方向傳播的同頻率的線偏振光，如果振動面相互垂直（設為x，y方向），則在xy平面內合成的光振動的矢端軌跡為李薩如圖，當這2個線偏振光的初相位差為π的整數倍時，矢端軌跡為直線，即為線偏振光；2個線偏振光的振幅相等且初相位差為π／2的奇數倍時，矢端軌跡為圓，即為圓偏振光，若它們的振幅不相等，則矢端軌跡為橢圓，即為橢圓偏振光［13］.橢圓和圓偏振光的特點是光矢量的端點繞光波的傳播方向作螺旋形旋轉，根據光矢量在垂直于光傳播的平面內的旋轉方向（迎著光的前進方向看）可分為右旋和左旋偏振光，順時針旋轉時為右旋偏振光.

在垂直于光傳播方向的平面內，各個方向的光振動均勻分布，各方向振幅和強度都相同的光稱為自然光，自然光為完全非偏振光；如果各方向光強不相等的光稱為部分偏振光，部分偏振光可看成是自然光與完全偏振光的疊加.

線偏振光、圓偏振光、橢圓偏振光為完全偏振光，它們都可等效地用2個振動方向相互垂直、頻率相同、具有確定相位差的線偏振光來合成［13］.

3 LED燈的控制實現

演示儀包括硬件和軟件2部分，硬件電路包括驅動控制電路和鍵盤電路；軟件程序分為2部分，一部分是掃描程序，利用人的視覺暫留，顯示LED屏上1幅完整的畫面；另一部分是改變顯示內容、顯示演示顏色部分及改變合成頻率部分.演示儀整體硬件結構和軟件系統如圖1所示.

圖1 演示儀整體控制圖

4 LED燈的模擬實現

4.1 簡諧振動合成的實現

紅色LED燈從左到右按順序亮，再從右到左按順序亮，且運動速度矢量函數為正弦函數，從而模擬出x方向的簡諧振動；同理，使綠色LED燈的“明暗”運動模擬y軸方向的簡諧振動；使用黃色LED燈的運動模擬合成的簡諧振動.當x和y軸上LED燈運動時，即x和y軸上有簡諧振動時，合成出的黃色LED燈就會跟著運動，于是簡諧振動的合成過程就表現出來了.

LED燈開始亮的起始位置不同表示初相位不同，當x軸上從0處開始振動，y軸上也從0處開始振動，則它們的相位差為0，在頻率相同時合成的圖形為直線；當x軸上從0.5π開始振動，y軸上從0開始振動，這時它們的相位差為0.5π，在頻率相同時合成的圖形為圓，合成過程如圖2所示.當x軸上從0.25π處開始振動，y軸上從0開始振動，這時它們的相位差為0.25π，在頻率相同時合成的圖形為扁平圓.同理可合成頻率相同相位差為0.75π的扁平圓.

圖2 圓合成過程圖

LED燈的振動速度不同來表現頻率的不同，頻率相同則x和y軸上LED燈運動1周期的時間相同；頻率為2:1時則x軸上LED燈運動2周期的時間和y軸上LED燈運動1周期的時間相同；同理可使用LED燈表現頻率為3:1和3:2的簡諧振動的合成.

4.2 光的5種偏振態的演示實現

使用LED燈表示自然光的圖示，紅、綠兩色LED燈均勻分布，黃色LED燈箭頭表示自然光，由于任何光都可以分解為相互垂直方向上的線偏振光，紅色LED燈表示在顯示平面垂直自然光的線偏振光，綠色LED燈表示垂直于顯示平面的線偏振光，自然光分解為兩垂直方向上的偏振過程如圖3所示.同理，紅、綠兩色LED燈不均勻分布時，表示部分偏振光的圖示.

圖3 自然光偏振過程圖

使用黃色LED燈顯示合成的線偏振光，其矢端運動軌跡為一斜線，可由相互垂直的x和y軸上的線偏振光合成.x軸上用3個點的運動表現x軸的線偏振光的光矢端的運動，y軸上用3個點的運動表現y軸的線偏振光的光矢端的運動，當x和y軸的光矢端同時運動，在合成的線偏振光上疊加綠色LED燈的運動，用以表示合成線偏振光的光矢端的運動，兩傳播方向相同偏振方向相互垂直的線偏振光合成過程見圖4.

圖4 線偏振光合成過程圖

LED燈開始亮的位置不同就表示初相位不同，當x軸上從0處開始振動，y軸上也從0處開始振動，則它們的相位差為0，合成的圖形為線偏振光；當x軸上從0.5π向右開始振動，y軸上從0開始振動，這時它們的相位差為0.5π，合成的圖形為圓偏振光，且此時為右旋圓偏振光；當x軸上從0.5π向左開始振動，y軸上從0開始振動，合成的圓偏振光為左旋圓偏振光；當x和y軸上線偏振光的振幅不同時，如果它們的相位差為0.5π，合成的圖形為橢圓偏振光，和圓偏振光一樣LED燈的運動也可表現出右旋和左旋橢圓偏振光.兩傳播方向相同，偏振方向相互垂直，相位差為0.5π的線偏振光合成為橢圓偏振光的光矢端運行軌跡如圖5所示，中心方點表示偏振光的方向，橢圓為偏振光的矢端運行軌跡.

圖5 橢圓偏振光的光矢端運行軌跡圖

5 演示儀的功能分析

利用LED點陣燈制作了簡諧振動的合成和光的5種偏振態的智能演示儀，演示儀操作簡單，使用方便.

5.1 數據的輸入

獨立按鍵作為主控鍵，分別用于選擇簡諧振動合成過程、簡諧振動合成圖、光的5種偏振態的演示；16個矩陣鍵盤用于具體選擇演示內容.界面交互性好，便于使用者操作.

5.2 圖形的顯示

簡諧振動合成過程：可動態地演示頻率比分別為1:1，1:2，1:3，2:3，相位差分別為π／4，π／2，3π／4，π的簡諧振動的合成過程.

簡諧振動合成圖：可演示頻率比分別為1:1，1:2，1:3，2:3，相位差分別為π／4，π／2，3π／4，π的簡諧振動的合成圖.

光的5種偏振態圖：可演示光的5種偏振態的圖示以及偏振光的合成過程，并可動態地演示圓偏振光的左旋和右旋過程.

由主界面設置，選擇相應的菜單按鍵進入不同參量下簡諧振動合成結果圖形的展示，并可選擇展示李薩茹圖像.

6 結束語

使用LED燈模擬演示簡諧振動的合成和光的5種偏振態，可更形象、生動地顯示簡諧振動合成和光的5種偏振態.當通過輸入控制模塊來動態的改變2個分振動的初相差時，可實現合成圖形的動態變化.簡諧振動、偏振光合成的綜合智能演示儀創新性地將物理知識點融于電子產品的設計，實現了物理知識與電子設計的結合，可直觀地演示出簡諧振動合成和偏振光合成的過程，讓初學者更好地理解振動合成和偏振光合成這一方面抽象的物理知識.

感謝北京交通大學理學院大學生創新實驗室對本文工作的支持.

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