基于快速傅里葉變換的二維位移測量的改進

袁 丹，劉 藝，胡宇明

（電子科技大學 物理電子學院，四川 成都610054）

1 引 言

近年來，關于數字技術的散斑干涉系統研究有了大量的改進，在空間域相關搜索進行全場計算時，需要取位移前的整個散斑圖上的所有點，這樣就使得搜索重復，計算量大，運算時間相當長，對于精確定位也存在一定困難，系統構成和軟件處理較為復雜［1-3］.本文對基于快速傅里葉變換的二維位移測量進行了改進，快速獲取物像各點的位移大小，最后通過消除次峰的干擾和考慮剛體轉角來進一步提高精度.通過系列實驗，證明該改進不僅提高測量精度，而且有簡明高效的算法和簡單的系統光路，能夠有效實現較好的實時物體位移變化測量.

2 實驗系統

2.1 系統組成

圖1 位移測量實驗光路

實驗系統見圖1所示.由波長為632.8nm的氦氖激光器出射的細激光束通過擴束、準直形成平行光，投射在待測物體上，從X方向和Y方向對待測物通過電動平移臺做面內位移，在成像面處由帶顯微鏡筒CCD拍攝測量物體位移前后散斑圖像（CCD光軸必須與測量面垂直）.待測剛體為三維物體，在不改變算法的前提下，本實驗采用2個CCD測量，取平均值，有助于精確度的提高.

2.2 測量方法驗證原理

通過快速傅里葉變換直接得到楊氏干涉條紋圖樣如圖2所示，對應于逐點分析法中對原散斑疊合圖中的1個小點所做的再現，可將其強度圖當成正弦型振幅光柵.將楊氏條紋圖作為初始圖像再次進行夫瑯禾費衍射時，因條紋圖像不可能無限大，楊氏條紋圖像再次經過夫瑯禾費衍射后的復振幅分布U0′（x0，y0）就為［4］：

f0為正弦光柵未經夫瑯和費衍射的空間頻率.

由式（1）可以發現，所得圖像包含1個中央零級亮點和在零級亮點兩旁對稱分布的±1級2個衍射亮點（即｛ ｝中的sinc項），如圖3所示；±1級衍射亮點所在位置分別向X0的正、負方向平移λzf0，中央零級亮點中心到＋1級或-1級衍射亮點中心的距離S就為λzf0.

圖2 經傅里葉變換所得楊氏干涉條紋圖樣

又因為f0是正弦光柵未經夫瑯和費衍射空間頻率，則其和楊氏干涉條紋圖像中條紋間距Δt之間的關系為f0＝1／Δt，故得，中央零級亮點中心到＋1級或-1級衍射亮點中心的距離為S＝λZ／Δt.把該式與l＝λZ0／Δt（l為楊氏雙孔的間距）相比較，只要保證Z0＝Z，即保證2次夫瑯和費衍射所用衍射距離相等，即可得l＝S.

2.3 亞像素處理及減模式

目前已有多種亞像素提取算法［5-7］，雖都能達到亞像素級別，但有局限［8］：重心法受噪聲影響大，不能達到較高精度；獲得較高精度的算法曲面擬合算法采用灰度插值方法，運算量卻很大.合成的散斑圖像進行放大擴展后再進行亞像素級別的提取是有效的.經過亞像素處理所得的測量結果精度好于未經亞像素處理所得的結果，但是并不是放大倍數越高越好，由于原始圖像經過一定的放大后頻譜亮斑中心的位置已經相對明晰，繼續放大時會放大本底噪聲起伏.

由于減模式下成功地抑制背景噪聲的干擾，背景非常純凈理想，對于亮斑中心的讀取將非常有利，因此減模式是理想的散斑圖合成模式［9］.一般選用減模式作為散斑圖的合成方式.將變形前后的2幅數字散斑圖相減，得到的新的圖像同樣設為l（x，y），則有：

對l（x，y）做快速傅里葉變換，設傅里葉變換域的坐標為（fx，fy），即為

其中，U1＝（fx，fy）＝F｛g（x，y）｝.這樣可以認為在實驗過程中疊加的噪聲被基本消除，測量精度得到了提高.

3 測量結果及誤差分析

3.1 平動位移測量結果及誤差分析

測量面內二維位移的情況，運用二維電動平移臺分別在X 和Y 方向先后移動（10μm，10μm），（20μm，20μm），（40μm，40μm），（50μm，60μm），（90μm，90μm），（120μm，120μm）分別作了實驗驗證.其中，在X和Y方向分別移動10μm距離，則物體在平面內的總位移為l＝＝14.14μm；在X和Y 方向分別移動20μm，總位移為28.28μm；在X和Y方向分別移動40μm距離，總位移為56.57μm；在X和Y方向分別移動50μm，60μm距離，總位移為78.10μm；在X和Y方向分別移動90μm距離，總位移為127.28μm；在X和Y方向分別移動120μm距離，總位移為169.71μm.

觀察物體楊氏干涉條紋圖樣中可以發現條紋不為直線，這是由于所用剛體模型為三維物體（取位移前后所得圖像的1個小區域，小區域內的各物體點不一定在1個面內位移，造成每點的位移量不一定完全相同，所以楊氏條紋是彎曲的曲線狀）.楊氏干涉條紋圖變換得到的空間頻譜強度圖樣，清晰地看到±1級衍射亮斑和中央零級亮斑，此頻譜圖樣經過亞像素處理，放大10倍后得到的結果.＋1和-1級衍射亮點連線方向即為物體相對位移的方向.面內二維位移測量結果如表1所示.

表1 面內二維位移測量結果

圖4和圖5中可以看出位移為14.14μm時，誤差和其他位移相比而言比較大，測得的位移精度較差，這可能是由于X方向和Y方向上分別移動（10μm，10μm）的位移已接近了電動平移臺精確位移的極限，則位移臺原始位移的準確度有可能對測量結果的準確性產生比較大的影響，此外次峰的干擾也是一個因素，所以得到的測量結果不甚理想.當位移為28.28μm，10倍亞像素放大中，絕對誤差為0.06μm，相對誤差為0.212%，誤差最小，其他測試結果也都達到了μm級.

圖4 絕對誤差曲線

圖5 相對誤差曲線

3.2 剛體在平面上的轉動及誤差分析

本實驗中，剛體在平面上的轉動位移測量，只考慮轉角，使用旋轉平移臺.設轉角為θ，則圖像中任意一點（x，y）的位移為

分別讓θ＝1°，2°，3°，4°，5°，6°，7°，8°，為標準值，再利用這些位移前后的散斑圖，然后進行運算，不同轉角θ的誤差情況、位移和轉角的計算誤差隨剛體轉動的變化曲線.

圖6和圖7中位移與轉角θ的誤差都隨轉角（rad）的增大而增大，但仍然具有很高的精度.但是當誤差大于8°以上各應變項將會被誤差淹沒，計算值將不可信.因此，用旋轉平移臺測量平面位移（μm）時，考慮轉角時比不考慮轉角時的位移測量值要更加精確，這對于進行空間位移研究有很大幫助.

圖6 角度隨剛體轉動的誤差曲線

圖7 位移隨剛體轉動的誤差曲線

4 方案討論

在實驗過程中，這種快速傅里葉變換方法在測量范圍上有限制，一旦超過了某個范圍，測量結果就會有較大誤差.為了進一步改善測量的精度，我們對減法模式進行了一些改進.

在第二次傅里葉變換域中，主峰（主亮點）的中心范圍一般為7×7個像素.即當物體的位移較小（不超過中心點像素覆蓋的范圍），次峰（次亮點）與主峰（主亮點）會有重疊部分，由于次峰的干擾，直接導致較大的誤差.解決重疊的方法有多種，如選擇合適的透鏡，合適的散斑顆粒大小，或合適成像系統的放大倍數.然而以上的方法會給實驗帶來一些限制條件.因而，當只有1個波峰出現在第二次傅里葉變換域中時，就能讓位移量識別更加便利，即只要對這個峰值坐標進行坐標識別.由傅里葉變換的性質以及數學模型，為了進行位移測量我們構造了一個新的函數.將位移前后CCD采集到的數字散斑圖分別表示為g1（x，y）＝g（x，y），g2（x，y）＝g（x＋u，y＋v），其中（u，v）分別是CCD采集到的散斑場在x方向和y方向位移矢量，且都視為常量.我們對位移前后的2幅數字散斑圖像分別做傅里葉變換，得到2個含有指數的函數，然后構造2個新的函數［其中一個是含有位移量（u，v）的指數函數］，為了得到更多的關于位移矢量的信息，對2個新函數再次快速傅里葉變換.最后，得到H（ωx，ωy）＝Hα（ωx，ωy）δ（ωx-u，ωy-v），Hα（ωx，ωy）兩種形式的結果.識別脈沖峰值的坐標，將得到2副圖像之間的位移矢量（u，v）.它們的二維分布1個亮點，三維分布1個主峰.在對三維分布進行顯示時，對所得頻譜作歸一化然后取絕對值，對其中的1個區間進行顯示.對 H（ωx，ωy）和 Hα（ωx，ωy）的峰值坐標進行坐標識別，即可以確定位移量（u，v）.該方法對位移測量的下限沒有要求，而且峰也比較尖銳，這樣就能夠進行準確和實時測量.頻譜面上相關峰由改進前的3個峰（1個主峰和2個對稱次峰）變為頻譜面上的1個主峰，這樣就既保留了原來方法的優點，又對原方法的測量范圍進行了改進，擴大了測量范圍，不用考慮主峰（主亮點）的像素覆蓋范圍對次峰的影響，沒有可測的最小位移量的限制.

5 結束語

目前已有大量關于二維位移測量的研究方法，本文的方法，經過實驗比較和誤差分析，效果比較好，保證了系統的測量精度，與一般方法相比，該方法檢測系統簡單，光路裝調也比較方便.最后的改進方法較大地減小快速傅里葉變換方法在測量范圍上的限制，既能提高了測量精度，又擴大了測量范圍.

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