N階幻方的構造算法及其代數性質

周云才，孫 方 （長江大學計算機科學學院，湖北 荊州434023）

陳 忠 （長江大學信息與數學學院，湖北 荊州434023）

1 N階幻方的定義

定義1 將自然數1到N2，排列N行N列的方陣，使每行、每列及2條主對角線上的N個數的和都等，這樣的方陣稱為N階幻方。

2 N階幻方的構造算法

對N階幻方幻方的構造，分為3種情況：N為奇數、N為4的倍數、N為其他偶數（4n＋2的形式）。對文獻 ［1］中的算法進行整理，得到下面的算法：

2.1 N為奇數

N為奇數時，N階幻方A構造如下：

2.2 N為4的倍數

N＝4k時，N階幻方A構造如下：

2.3 N為其他偶數

N＝4k＋2時，N階幻方A構造如下：

（1）利用N為奇數時的算法求一個2k＋1階的幻方矩陣B＝（bij）。

（2）構造A：① 當i，j均不超過2k＋1時，aij＝bij；② 當i≤2k＋1＜j≤n時，aij＝bi，j－2k－1＋2（2k＋1）2；③ 當j≤2k＋1＜i≤n時，aij＝bi－2k－1，j＋3（2k＋1）2；④ 當i＞2k＋1，j＞2k＋1時，aij＝bi－2k－1，j－2k－1＋ （2k＋1）2。

（3）調整：①將1到k列與第3k＋4到n列（當3k＋4＞n時，此類列為空）的元素的后面2k＋1個元素放到前面，前面的2k＋1個元素放到后面，即：

以n＝10為例，演算過程如下，n＝10，k＝2：

3 N階幻方的代數性質

性質1（N階幻方的秩［1］） 對于利用以上算法構成的幻方，奇數階幻方是滿秩的；4k階幻方的秩是3；4k＋2階幻方的秩是2k＋3。

證明 實對稱矩陣ATA的特征值的正根稱為實矩陣A的奇異值［2］，由此不難證明是n階幻方的奇異值。

下證其最大性。對于A的任一奇異值σ，有非零向量x＝ （x1，x2，…，xn）T使得ATAx ＝σ2x。不妨設max｛｜x1｜，｜x2｜，…，｜xn｜｝＝1，且｜x1｜＝1，于是：