敷設(shè)去耦層水下簡支撐板的振動特性

趙 軍，何世平

( 海軍工程大學(xué) 機(jī)械工程系，湖北 武漢430033)

0 引 言

敷設(shè)去耦覆蓋層是艦艇減振降噪的一種重要措施，它可減小艦艇殼體振動向外部流體的傳遞，從而降低水下輻射噪聲。要達(dá)到上述目的，去耦覆蓋層應(yīng)選擇低剛度的柔性材料。一個極限的情況是，艦艇殼體與流體之間插入一個空氣層，將完全隔離艦艇殼體振動向流體中的傳遞。在實際應(yīng)用中，通常只是在艦艇表面局部敷設(shè)去耦覆蓋層，但這樣會產(chǎn)生如下問題:敷設(shè)去耦層區(qū)域的結(jié)構(gòu)振動是否會增加從而增加向周邊結(jié)構(gòu)的傳遞，影響去耦覆蓋層的降噪效果?為此，本文對敷設(shè)去耦層的水下結(jié)構(gòu)振動特性開展了理論研究。

對于去耦層的研究，目前國內(nèi)外大多數(shù)研究集中于去耦層的隔聲性能。陶猛［1］等利用傳遞矩陣法研究了無限大板上敷設(shè)多層去耦層的隔聲性能，并指出當(dāng)鋼板質(zhì)量較大或者頻率較高時，柔性層對于板本身的減振效果實際上很小。該結(jié)論的假設(shè)基礎(chǔ)實質(zhì)上是針對鋼板本身的機(jī)械阻抗較大時的情況，而對于機(jī)械阻抗較小的板在敷設(shè)去耦層后在高頻上的振動特性并沒有給出。Alain［2］等將去耦層等效為彈性元件建立了一邊為空氣、一邊為水的簡支板在敷設(shè)去耦層后的聲輻射特性。他將該模型和三維模型進(jìn)行了比較，指出去耦層的剪切波對板的聲輻射影響較小，因此在去耦材料較軟較輕時，2 種模型在去耦層描述上一致性較好。Laulagnet［3］運用三維模型研究了有限圓柱殼在敷設(shè)去耦材料后水下的聲輻射特性，提出:①在敷設(shè)去耦層后圓柱殼的振動在低頻時幾乎沒有變化;②在高頻階段，敷設(shè)去耦層后板的振動存在放大現(xiàn)象。但他的重點在反共振頻率上，并沒有給出具體的機(jī)理性解釋，也未闡明是否敷設(shè)去耦層的有限板也有上述同樣的振動特性。

本文將去耦層等效為彈性元件推導(dǎo)了一邊為空氣、一邊為水的簡支撐鋼板在敷設(shè)去耦覆蓋層后的運動微分方程，并運用簡正模態(tài)法推導(dǎo)出敷設(shè)去耦層后板的均方速度及干面均方速度插入損失。在此基礎(chǔ)上，又分別研究了敷設(shè)不同去耦層后板的振動特性變化，以及敷設(shè)去耦層后板在不同激勵頻率段的振動特性。

1 理論描述

1.1 物理模型

取一嵌于無限大障板中的四邊簡支矩形板作為研究對象，矩形簡支板表面均勻敷設(shè)去耦覆蓋層，如圖1所示。障板上方為水，障板下方為空氣。矩形板的物理描述采用了薄板克希霍夫理論(只考慮彎曲運動)，而在去耦覆蓋層的描述上將其等效為彈性元件(忽略了去耦層的剪切運動、彎曲運動及拉壓運動)。

圖1 浸入在水中覆蓋去耦層的四端簡支板簡圖Fig.1 Schematic representation of the baffled plate covered with a decoupling layer and immersed in water

將去耦層等效為彈性元件的假設(shè)基礎(chǔ)是去耦層材料柔軟，厚度方向變形遠(yuǎn)大于其他方向的變形。通過以上假設(shè)可將圖1 中的物理模型簡化為圖2，圖中w1和w2分別為板和去耦層表面的厚度方向位移。

圖2 簡化物理模型Fig.2 Simplied physical model

1.2 運動方程建立及求解

基板的運動方程寫成頻域形式為

相比于基板的密度，去耦層密度較小，可以忽略其質(zhì)量，因此去耦層可以等效為無質(zhì)量的彈性元件。此時施加在去耦層表面的聲壓(忽略空氣對基板的聲壓作用)，式(1)中的未知量為板厚度上位移和聲壓P(Q)。

去耦層等效為彈性元件后可進(jìn)一步建立去耦層表面運動和施加在去耦層表面聲壓作用的關(guān)系，即

式中Zc為去耦材料的阻抗。

重流體中的聲壓控制方程為Helmholtz 方程，即

式中:M 為流體空間的一點;k0為波數(shù)，k0=ω/c0，c0為水中的聲速。

通過聲壓和去耦層表面法向速度的連續(xù)性可得

利用瑞利積分得出聲壓

式中:p0為重流體的密度;ηM為板的法向指向重流體;Q 和M 為去耦層表面上的2 點;S 為去耦層的表面;G(M，Q)為半空間格林函數(shù)，其表達(dá)式為

G(M，Q)=e-jkR(M，Q)/2πR(M，Q)。

由式(1)、式(2)和式(4)組成的方程組中仍含有3 個未知數(shù)，P(Q)。聯(lián)合式(2)和式(4)化為

四端簡支邊界條件下為:

其中，a 和b 分別為板x 方向長度，y 方向?qū)挾取?/p>

同理，將重流體對去耦層的聲壓用簡正模態(tài)展開為

簡正模態(tài)分布函數(shù)為

將上式寫成矩陣形式得

1.3 均方速度的表達(dá)式

為了表示板表面振動情況，定義均方速度，均方速度表達(dá)式如下:

同理，定義干面均方速度插入損失表達(dá)式為

2 數(shù)值計算

取板長為1.2 m，寬為1.2 m，厚為0.009 m，板體密度取7 850 kg/m3，板的楊氏模量E=2.1*1011Pa，損耗因子取0.005;重流體為水 (ρ0=1 000 kg/m3，水中聲速c0=1 460 m/s)，去耦層厚度取0.01 m，去耦層楊氏模量E 分別取106，107，108Pa。激勵力采用幅值為1 N 的簡諧點力激勵，激勵位置取坐標(biāo)(0.3，0.3)，所取頻率范圍遠(yuǎn)低于板的臨界頻率，均方速度參考值為1 m2/s2(dB，re:1 m2/s2)。

將板厚度上的位移和聲壓按簡正模態(tài)展開的收斂性需進(jìn)一步研究。圖3 給出了均方速度在取不同階模態(tài)情況下的收斂性。可以看出，在最高階模態(tài)取15 和20 時，其均方速度趨于一致，說明在最高模態(tài)數(shù)大于15 時均方速度的收斂性越好。因此所取最高模態(tài)數(shù)至少為15 數(shù)值計算才能有較好的收斂性，為保證精度在下面的數(shù)值計算中最高階模態(tài)取20。

圖3 覆蓋去耦層后板的均方速度在取不同階模態(tài)情況下的收斂性(E=108Pa，ηC=0)Fig.3 Covergence of the mean square velocity of the covered plate at different modal (E=108Pa，ηC=0)

1)未敷設(shè)去耦層的板和敷設(shè)去耦層的板均方速度的比較

圖4 ～圖6 分別給出了去耦層楊氏模量E 取不同值時敷設(shè)去耦層后與未敷設(shè)去耦層的基板均方速度比較。在低頻段f ＜500 Hz 時，敷設(shè)去耦層后板的均方速度和未敷設(shè)去耦層的板的均方速度相差均很小;在高頻段 (見圖4 和圖5)f ＞3 000 Hz 時，板的均方速度在敷設(shè)后相對未敷設(shè)前有明顯的放大現(xiàn)象，并且即使在圖6 楊氏模量較大(E=108Pa，ηC=0)，f ＞4 000 Hz 時，仍存在放大現(xiàn)象。圖6 也比較了去耦層不同損耗因子下敷設(shè)去耦層后板的均方速度。可以看出，隨著損耗因子的增大，敷設(shè)去耦層后板的均方速度明顯減小，放大現(xiàn)象減弱，這主要是由于板的振動能在去耦層高損耗因子下轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的部分較多。

圖4 未敷設(shè)去耦層板和敷設(shè)去耦層板的均方速度比較Fig.4 Comparison of mean square velocity Between plate uncovered and covered

2)敷設(shè)去耦層的板和真空中板均方速度的比較

圖7 ～圖9 分別給出了去耦層取不同楊氏模量時敷設(shè)去耦層后板與真空中板的均方速度之比。從圖7 和圖8 可以看出，在去耦層楊氏模量較小時，敷設(shè)去耦層后板的均方速度逼近與真空中板的均方速度，比較圖7 和圖8 可以發(fā)現(xiàn)，在較大楊氏模量下，逼近真空的現(xiàn)象在更高頻才能出現(xiàn);而在圖9中E=108Pa 時，由于截取頻率上限較小，沒有出現(xiàn)逼近真空的現(xiàn)象。

圖7 真空中板和敷設(shè)去耦層板的均方速度比較Fig.7 Comparison of mean square velocity Between plate in vacuo and covered

3 板的振動放大現(xiàn)象

數(shù)值計算給出的均方速度是各階模態(tài)加權(quán)所得結(jié)果，單從數(shù)值計算中無法解釋不同頻率段敷設(shè)去耦層后板的位移相應(yīng)的變化，因為點激勵下不同頻率段，所激勵出的模態(tài)是不一樣的，并且模態(tài)間的耦合系數(shù)也不一樣，因此需從單模態(tài)下進(jìn)行研究。不失一般性取板的(m，n)階模態(tài)。根據(jù)上文的干面均方速度插入損失的定義，推得單模態(tài)下干面均方速度插入損失為

討論去耦層在取不同阻抗下的干面均方速度插入損失:

1)當(dāng)Zc很大→∞時，可以看出

干面均方速度插入損失式(13)→0，說明在去耦層阻抗極大時，敷設(shè)了去耦層后的板單模態(tài)振動既不減小也不放大。由于(m，n)階模態(tài)的任意給定性便可推斷出任意模態(tài)在去耦層阻抗極高的情況下都符合以上結(jié)論，因此可以推斷出在去耦層阻抗極大時，去耦層對板的振動既不放大也沒有相應(yīng)的減小作用。由于本文所采用的假設(shè)基礎(chǔ)是去耦材料較軟，因此這里Zc很大實際上指的是去耦層厚度很薄時。

2)當(dāng)Zc很小→0 時，可以看出

式(13)可以化為

由式(14)可以得出在去耦層阻抗極小的情況下，敷設(shè)去耦層板的單模態(tài)均方速度逼近于真空中板的均方速度。由于(m，n)階模態(tài)的任意給定性，可將上述結(jié)論推廣至任意模態(tài)下，即去耦層阻抗極小時板的振動趨向于真空中的振動。

3)當(dāng)Zc為有限值域時，需考慮頻率的影響，因為C 與模態(tài)耦合系數(shù)Zmnpq相關(guān)，在不同頻率上Zmnpq的性質(zhì)是不一樣的。

根據(jù)文獻(xiàn)［13］的結(jié)論，在低頻k0* a ＜＜1 時，自耦合系數(shù)Zmnmn的實部和虛部都很小，同樣對于互耦合系數(shù)的實部虛部也是這樣，因此可在低頻有如下極限:C/Zc→0，插入損失就趨向于0，即在k0* a＜＜1 時，去耦層對板的單模態(tài)幾乎沒有任何影響。推廣到任意模態(tài)，可得出在低頻k0* a ＜＜1 情況下，去耦層對板的振動幾乎沒有任何影響。

在高頻k0* a ＞＞1 時，根據(jù)文獻(xiàn)［13］阻抗耦合系數(shù)的極限性質(zhì)可知:①自耦合系數(shù)Zmnmn的實部趨向于ρ0c0，虛部趨向于0;②互耦合系數(shù)實部與虛部都趨向于0。這樣對于單模態(tài)下C 就可以化簡為

進(jìn)一步化簡式(13)，可得

根據(jù)數(shù)學(xué)不等式性質(zhì)得:

即在高頻u=k0* a ＞＞1 時，當(dāng)頻率等于真空中的模態(tài)頻率時干面均方速度損失最大。由于在高頻上總存在式(15)大于0，即干面均方速度損失大于0，這說明在高頻總存在敷設(shè)去耦層后板振動的放大現(xiàn)象。當(dāng)不在真空中的模態(tài)頻率時，A≠0，高頻時忽略掉，式(16)可進(jìn)一步化簡為

式(17)實際上是高頻時真空中板的均方與重流體作用板的均方速度之比，該式說明了在高頻去耦效果好，使板與重流體間的耦合作用越來越弱，因此敷設(shè)去耦層板的振動在高頻階段逼近于真空中板的振動。所以可以得出在Zc有限值時高頻階段(k0* a ＞＞1 )敷設(shè)去耦層板的振動總有趨向于真空中板的振動趨勢。因此在高頻上敷設(shè)去耦層的板在高頻階段相對未敷設(shè)的板振動是放大的。

4 結(jié) 語

1)將去耦層等效為彈性元件簡化了去耦層的描述，應(yīng)用簡正模態(tài)法推導(dǎo)出敷設(shè)去耦層后板的均方速度，并分析了Zc在不同情況下的干面均方速度插入損失:在Zc極大時，去耦層對板的振動沒有放大或減小作用;在Zc極小時，重流體作用下敷設(shè)去耦層板的振動等效于真空中的振動。數(shù)值計算表面在有限值時，也有上述趨勢，隨著Zc的增大，去耦層對板振動影響程度越來越小;隨著Zc的減小，板的振動逐漸逼近于真空中板的振動。

2)在Zc有限值時，低頻時k0* a ＜＜1，由于流固耦合現(xiàn)象較弱和去耦層效率較低的原因，去耦層對板的振動幾乎沒有任何影響;高頻時k0* a ＞＞1，去耦層去耦效率的提高使板與重流體間的流固耦合作用越來越弱，隨著頻率增大板的振動逐漸逼近于真空中板的振動，因此敷設(shè)去耦層的板在高頻階段相對未敷設(shè)的板振動是放大的。隨著去耦層阻尼損耗因子的增加，放大現(xiàn)象減弱。

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