Cosh窗函數改進及其在艦船振動分析中的應用

程 果，何 琳，崔立林

(1．海軍工程大學 振動與噪聲研究所，湖北 武漢430033;2．船舶振動噪聲重點試驗室，湖北 武漢430033)

0 引 言

使用窗函數是進行頻譜分析的重要手段，同時也是設計FIR 數字濾波器的一個有效方法［1］。因其具有嚴格的相位特性，且可以隨意調節幅度特性，在艦船振動信號分析領域中已得到廣泛應用［2］，但由于艦船機械設備工況的多樣化，往往需要自行設計和選擇合適的窗函數［1］。

目前，研究較多的主要有Cosh 窗、Kaiser 窗、Ultra spherical 窗等［3］，這些窗函數在濾波器設計上已形成較成熟的理論［4－5］。其中，Cosh 窗相比于表達式為級數形式的Kaiser 窗而言，形式簡單，計算量較小。但在主瓣寬度一定時，Cosh 窗對旁瓣的抑制略顯不足。為此，主要通過2 種途徑對Cosh 窗進行改進，對Cosh 窗函數本身各項參數的優化選取［6－7］以及與其他窗函數進行組合［5］，但是仍然存在一些問題。參考文獻［4］研究討論了應用Hamming 窗組合改進Cosh 窗的性能，這一組合窗函數在參數選擇恰當的情況下，性能優于Kaiser 窗、Cosh 窗和Hamming 窗，但存在性能調節區間有限、適用范圍較小的問題，其旁瓣抑制能力較為有限，很難達到－50 dB 以上。

本文針對Cosh 窗函數的特點，提出了一種新的Gaussian-Cosh 組合改進窗函數，經試驗驗證，大大提高了Cosh 窗的旁瓣抑制能力，拓寬了其性能調節區間，增強了其適用性。

1 Cosh 窗函數組合改進

1.1 Gaussian-Cosh 窗函數的提出

Cosh 窗在主瓣寬度一定時，對旁瓣的抑制能力有限，通過組合改進窗函數可提高其旁瓣抑制能力，通常對稱的窗函數擁有更優良的頻率分辨性能［8］。Gaussian 窗函數為軸對稱函數，且具有良好的旁瓣抑制能力［9］。本文結合Cosh 窗和Gaussian 窗函數特點，提出了Gaussian-Cosh 組合改進窗函數:

式中:N 為采樣數;c 為加權系數。第一項為高斯窗函數表達式［9］，α 為其參數;由文獻［9］可知，參變量α 取值越大，Gaussian 窗的旁瓣抑制效果就越優秀，但主瓣寬度越寬。第二項為Cosh 窗函數表達式［4］，αc為其參數;由文獻［4］可知，αc取值越大，Cosh 窗對旁瓣的抑制效果越佳，相應的代價也是更寬的主瓣。

1.2 Gaussian-Cosh 窗函數參數的選擇

衡量窗函數性能常用以下2 個參數［1］:①3 dB主瓣寬度W3dB;②最大旁瓣峰值幅度R。

圖1 選用不同加權系數c，W3dB隨R 的變化關系，N=51Fig.1 Relation between W3dBand R for different value of c，with N=51

圖1 為改進后的Gaussian-Cosh 窗在選用不同的加權系數c 的情況下，3 dB 主瓣寬度隨最大旁瓣峰值幅度的變化關系示意圖。在最大旁瓣峰值幅度相同的情況下，顯然主瓣越窄越好。因此，應選用最接近橫軸的曲線所對應的參數c 值。以圖1所示的－44 dB＜R ＜－74 dB 區間為例，加權系數c 推薦取值如下:

2 窗函數性能對比

Kaiser 窗性能良好，且可以通過調整相應參數滿足各種實際需要，但Kaiser 窗函數只有級數形式，計算時間遠大于Cosh 窗、Hamming-Cosh 窗等窗函數［4］。而提出的Gaussian-Cosh 窗的計算時間略少于Hamming-Cosh 窗 (相差約4%)，略多于Cosh 窗(相差約9%)，與Kaiser 窗相比，計算量大大減少。

圖2 Gaussian-Cosh 窗與Hamming-Cosh 窗、Cosh 窗之間性能對比，N=51Fig.2 Comparison of the Gaussian-Cosh，Hamming-Cosh and Cosh window for N=51

圖2 為提出的窗函數與Hamming-Cosh 窗、Cosh 窗在取定合適的參數后之間的性能對比。如圖所示，在最大旁瓣峰值幅度較大時(大于－47 dB)，Hamming-Cosh 窗與Gaussian-Cosh 窗性能接近;而在最大旁瓣峰值幅度較小時，由于Hamming 窗性能固定，加強旁瓣抑制能力必須加大c 值，因而Hamming-Cosh 窗整體性能趨于Cosh 窗。而改進后的Gaussian-Cosh 窗的旁瓣抑制性能，相對于Cosh 窗平均提高了23%以上。

Gaussian-Cosh 窗3 dB 主瓣寬度與最大旁瓣峰值幅度之間的關系可通過下式近似擬合:

W3dB=0.000 4R3+0.031 9R2+1.224 3R+18.472，－70 ＜R ＜－45。

3 基于Gaussian-Cosh 窗的試驗

為了驗證新提出的窗函數的實用性，采用1∶1的航行器艙段模型進行試驗，設備布置如圖3所示。在模型內部布置激振器、電機和海水泵各1 臺。在模型殼體上選取19 個測量點，布置加速度傳感器。設定分析頻率為1 600 Hz，采樣頻率為4 096 Hz，采樣時間為4 s。模擬艙段內設備的實際工作狀態:停止激振器，開啟電機，海水泵泵閥半開。選取電機基座傳感器數據為研究對象。

圖3 艙段模型圖Fig.3 Diagram of cabin model

分別采用Cosh 窗和Gaussian-Cosh 窗對上述工況下電機產生的振動信號加窗處理以進行頻譜分析。在電機主要振動頻率附近，即1 425 ～1 450 Hz，其頻譜如圖4所示。采用Gaussian-Cosh 窗處理后，與Cosh 窗相比，信號的峰值位置沒有改變，但信號的主瓣寬度更窄。可以看到，因為Gaussian-Cosh 窗能量泄漏較少，頻率分辨率更好，故而在Gaussian-Cosh 窗處理的結果中，可以清晰地辨識出來1 441 Hz 處的峰;而在Cosh窗處理的結果中，其則被鄰近較強的信號所完全淹沒。

圖4 基于Gaussian-Cosh 窗和Cosh 窗的頻譜分析結果Fig.4 Spectral analysis results with the Gaussian-Cosh window and Cosh window

4 結 語

針對Cosh 窗的不足，提出了相應的組合改進方案。之后對其各項參數和性能展開了討論，并在試驗中驗證其實用性，得到以下結論:

1)在主瓣寬度相同的情況下，Gaussian-Cosh窗函數的旁瓣抑制性能比Cosh 窗函數提高了23%以上。同時，新提出的窗函數拓寬了Cosh 窗組合改進的適用范圍。

2)由航行器電機工況模擬試驗證明，運用Gaussian-Cosh 窗進行頻譜分析，可以更好地減少能量泄漏，擁有更好的頻率識別與分辨性能。

3)Gaussian-Cosh 窗函數通過參數α，c 的選擇，可以在更大范圍內調整窗函數的性能。文中給出了在常用區間內加權系數c 的推薦值。同時，新提出的窗函數具有較簡單的數學公式，相對于Kaiser 窗等窗函數計算較為便捷。在理論分析中，也具有其實用性。

［1］SHIN Ki-hong，HAMMOND J K．Fundamentals of signal processing for sound and vibration engineers［M］．West Sussex PO19 8SQ，England:John Wiley＆Sons Ltd，2008．94－100．

［2］LI Shun-ming．Harmonic window for vibration signal processing［A］．Asia International Symposium on Mechatronics［C］，Hokkaido University，Japan:2008．27－31．

［3］BERGEN S W A，ANTONIOU A．Design of ultraspherical window functions with prescribed spectral characteristics［J］．Eurasip Journal on Applied Signal Processing，2004(13):2053－2065．

［4］AVCI K，NACAROGLU A．Cosine hyperbolic window family with its application to FIR filter design［A］．3rd International Conference on Information and Communication Technologies［C］，vol．2，Damascus，Syria:2008．784－789．

［5］AVCIA K，NACAROGLUB A．Cosine hyperbolic window family and its application to FIR filter design［J］．AEUInternational Journal of Electronics and Communications，2009，63(11):907－916．

［6］NOURI M，GHAEMMAGHAMI S S，FALAHATI A．An improved window based on cosine hyperbolic function［J］．Cyber Journals:Multidisciplinary Journals in Science and Technology，Journal of Selected Areas in Telecommunications(JSAT)，2011，2(7):8－13．

［7］SHUKLA P，SONI V，KUMAR M．Nonrecursive digital FIR filter design by 3－parameter Hyperbolic Cosine window:A high quality low order filter design［A］．International Conference on Communication and Signal Processing(ICCSP 2011)［C］．Kerala，India:2011．331－335．

［8］PINNEGAR C R，MANSINHA L．The S-transform with windows of arbitrary and varying shape［J］．Geophysics，2003，68(1):381－385．

［9］SARKARL S，KARMAKAR S，GHOSH K，SEN S．An alternative Gaussian window approach for FIR filter design［A］．Signal Processing，Communication and Networking，2008 International Conference on［C］．Chennai，India:2008．146－150．