單輸入多自由度系統自然激勵技術的解析格式*

鐘軍軍，董 聰

（清華大學土木工程系 北京，100084）

引 言

隨著社會經濟的高速發展，大型復雜工程結構得到了廣泛應用。為確保其安全運營，建立結構健康監測系統十分必要。對大型復雜工程結構健康監測系統而言，在環境激勵下提取結構模態參數是需要解決的關鍵問題之一［1－3］。自然激勵技術（natural excitation technique，簡稱 NExT）［4－5］為環境激勵下結構模態參數的提取提供了一條新的途徑［6－10］，但其工作存在兩個問題：單輸入白噪聲激勵下結構系統位移響應的互相關函數僅給出了最終形式，未給出關鍵參數——衰減正弦函數的相位角和幅值的解析表達式；對單個動力荷載恰好作用在振型節點時可能出現的現象沒有分析和解釋。這些問題的解決對于NExT理論的完善及應用具有重要意義。筆者推導了單輸入白噪聲激勵下多自由度結構系統位移響應互相關函數的解析表達，分析闡釋了單個動力荷載恰好作用在振型節點時的現象。

1 位移響應的互相關函數

結構系統的動力方程為

結構任意兩個自由度a和b上位移響應的互相關函數為

其中：E［·］表示數學期望。

由式（2）可知，Rab（T）與t無關，是一個以時間差T為自變量的函數。

單輸入白噪聲激勵情況下［4－5］有

其中：ζi，ωi和ωDi分別為結構系統第i階模態的模態阻尼比、固有圓頻率和有阻尼固有圓頻率。

由式（3）可知，位移互相關函數具有與結構系統單位脈沖響應函數相似的結構，它可用于時域模態參數識別。

2 相位角θi和幅值Ai的解析表達

結構系統的位移響應u（t）可分解為

其中：φi為結構系統的第i階振型向量；qi（t）為φi對應的正規坐標。

采用經典阻尼假設，即

用φiT左乘式（1），同時將式（4）代入式（1），可將系統動力方程解耦得到一系列單自由度系統動力方程

其中

為單自由度系統的單位脈沖響應函數；ωDi＝

將式（7）代入式（4），得

設單輸入荷載pk（t）作用在第k自由度上，即P（t）的第k個元素pk（t）非零，其他元素為零，則

由式（9）可得結構任意自由度a上的位移響應為

其中：ua（t）和φai分別為向量u（t）和φi的第a個元素。

當pk（t）為單位脈沖荷載時，多自由度系統的位移響應為

假定荷載pk（t）為零均值白噪聲，即整個頻率范圍內具有均勻功率譜密度函數的隨機過程，其自相關函數為

其中：αk為與荷載的均勻功率譜密度函數值有關的一個正常數；δ（·）為Dirac－δ函數。

將式（11）代入式（2），得

由式（13）可知

將式（15）代入式（14），得

令λ＝t－τ，則式（16）變換為

由式（8）可得

將式（8），（18）代入式（17），整理得到

其中

由式（20）～（21）可知，Abik和Bbik均為與T 無關，而只與模態參數有關的常數，根據系數Bbik的取值分為以下兩類情況討論。

1）當Bbik＝0時，由式（19）得

對比式（3）和式（22）可知

2）當Bbik≠0時，定義

可得

將式（25）代入式（19），得到

對比式（3）和式（26）可知

綜合以上兩種情況，將式（24）代入式（27），得到θi和Ai的完整解析表達為

其中：Abik和Bbik詳見式（20）。

3 動力荷載作用在振型節點的情況

φki＝0表示動力荷載pk（t）恰好作用在結構系統第i階振型的某個節點，由式（7）可得

此時結構系統位移響應中第i階振型的貢獻為零，即荷載無法激勵起第i階模態，導致該階模態在位移響應中得不到反映。

根據式（28）可知此時有

當單輸入動力荷載恰好作用在結構系統某階振型節點時，結構任意兩個自由度位移響應的互相關函數中將不含有頻率值等于該階模態有阻尼固有頻率的簡諧成分，即該階模態的相關信息在互相關函數中得不到反映。在這一點上，互相關函數與位移響應的性質是一致的。由式（30）可知，若結構系統某階振型的所有非節點處均無外荷載作用，則該階模態不會被激勵起來。

4 結 論

1）推導了單輸入白噪聲激勵下多自由度系統位移響應的互相關函數，證明它可表達成一系列衰減正弦函數之和，且各個組分正弦函數的頻率恰好等于結構系統各階模態的有阻尼固有圓頻率，給出了各個衰減正弦函數的相位角θi和幅值Ai的解析表達。

2）當單輸入動力荷載恰好作用在系統某階位移模態的節點時，任意兩自由度位移響應的互相關函數中將不含有頻率值等于該階模態有阻尼固有頻率的簡諧成分，即該階模態的信息在互相關函數中得不到反映。若結構系統某階振型的所有非節點處均無外荷載作用，則該階模態不會被激勵起來。

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