密集模態量化判別準則的一種新方法*

劉 偉，于巖磊，高維成，李 惠

（1.哈爾濱工業大學航天科學與力學系 哈爾濱，150001） （2.哈爾濱工業大學土木工程學院 哈爾濱，150090）

引 言

在實際工程中，很多結構由于自身或外界因素作用的影響，其結構參數會發生小參數的攝動變化。例如，大型機械轉子的小故障可視為原結構發生了小參數的修改，大跨斜拉結構中拉索振動對屋蓋（或橋體）彈性支撐強弱的改變導致其剛度的實時變化等。研究變參數結構或具有密集模態特性結構的模態特性的傳統方法是矩陣攝動分析法，其在靈敏度分析、模型動力修改和結構快速重分析和振動控制等領域中有著突出的優勢，得到了國內外學者的研究和應用［1－3］。針對不同的結構模態特性，矩陣攝動法又有孤立值攝動法［4］、重值攝動法［5－6］、密集值攝動法［7－9］和復值攝動法［10］。應用矩陣攝動法時必須首先明確結構的模態分布特性，即孤立特征值，重特征值，密集特征值或復特征值中為何種情況。這其中一個很重要的概念就是密集模態的概念，究竟密集到什么程度的模態才算是密集模態組呢？數學上，對于不嚴格相等的數值均可視為孤立值，顯然這樣的概念區分在結構分析領域中是不允許的，并且孤立值攝動法在應用于密集模態時，由于特征組的病態性其結果會變得不準確［6］。重頻模態的出現一般是由于結構（或局部）的對稱性引起的，一旦結構物理參數發生了很小的變化，原結構有可能衍變為密集模態結構。這時對于如何判斷和量化界定密集模態（或結構整體模態中的密集模態組）則顯得相對困難一些，目前尚沒有一個實用、有效的統一判別標準。

筆者首先分析和比較已有密集模態的判別方法各自適用范圍及不足之處；然后，基于數學差分和標準方差的概念，提出一種新的密集模態的判別準則，給出了具體的理論推導［11］；最后，通過兩個實際算例證實該方法可比較不同系統不同特征組的模態密集程度，適用范圍較廣，可為結構健康監測及振動控制領域提供前期理論支持。

1 已有密集模態的判別方法

針對兩個相近模態密集性的判別，文獻［12］最早提出了頻率密集度的概念，定義密集度指數δ＝，認為δ值越小，λi與λi＋1越密集。該方法僅適合用來衡量兩個相鄰模態的密集性。對于特征組密集度的判別，王文亮等［13］提出一個密集度的概念，對特征組｛λ1，λ2，…，λm｝，用c＝表示該特征組的密集度，c值越小，認為該特征組越密集。對較長的特征組，尤其在特征組中特征值不是遵循從小到大排序的情況下，該方法由于無法有效反映特征組中的局部化信息而有可能失效。趙又群等［14］利用特征向量，將系統攝動前模態特征向量ui和系統攝動后模態特征向量uiT之間夾角變化定義為，用此指標來度量特征組間的密集性，認為當一組θi，θi＋1，…，θi＋p值相對于其他θj（j?（i，i＋p））值顯著較大時，θi，θi＋1，…，θi＋p所對應的特征向量組及特征值組即為密集模態組。需要注意的是，雖然該方法利用模態振型間的相似度相對于利用特征值指標判別的密集度更能體現不同模態系統間的密集屬性，但由于應用該指標要計算振型向量，這會大大增加計算量，尤其對于自由度數量龐大的大型工程結構，其計算量是可想而知的。陳德成等［15］提出分散度的概念來判別模態的密集性，對特征組，定義分散度（其中：λa為頻率組外與特征組平均值最接近的一個頻率），并認為一組頻率若為密集組，那么其分散度μ的值應該是一個小量。該方法實際上更適合于判別局部特征組的密集性，對于整體特征組的密集性判別，由于無法選取λa而失效。

2 密集模態頻率差方的判別準則

針對密集模態判別法的缺點，基于數學差分和標準方差的概念，提出一種新的密集模態的判別準則［11］。對一特征值組｛λ1，λ2，…，λn｝，以特征值組中最大特征值為模對其進行無量綱化，用該無量綱化特征值組相鄰兩個特征值的差分組的標準方差γFDSD來判別該特征組的密集性，稱之為頻率差方因子（frequency difference and its standard deviation，簡稱FDSD），具體操作過程如下。

1）由原特征組｛λ1，λ2，…，λn｝n≥3得到無量綱化的新特征組

3）求差分后特征組的標準方差

對于n＝2的情況值的計算可直接退化為計算無量綱化后的特征頻率組的方差，判別方法及量化標準與n≥3的情況相同。

圖1 六自由度振動系統模型

3 算例驗證

3.1 算例1

取文獻［6］例4.1的六自由度振動系統，如圖1所示。系統初始參數為：m1＝200kg，m2＝300kg，m3＝50kg，m4＝20kg，m5＝20kg，m6＝20.004kg，k1＝500N／m，k2＝1kN／m，k3＝200 N／m，k4＝k5＝k6＝5kN／m。計算得到6個系統初始固有特征值為：λ1＝0.594 855，λ2＝2.478 725，λ3＝10.234 656，λ4＝249.966 672，λ5＝250.000 000，λ6＝552.175 102。分別選取文獻［12］、文獻［13］和文獻［15］的方法與本研究方法進行對比，計算結果如表1所示。可見：文獻［12］僅適合用來衡量兩個相鄰模態的密集性；文獻［15］僅適合判別局部特征組的密集性；文獻［13］與本研究方法均適用于不同特征組，包括全部特征組及部分特征組；但對于全部6階模態而言，不是密集特征組，本研究方法的結果相比于文獻［13］更能說明問題。此時如果將λ6和λ2對調，文獻［13］的方法將失效，指標數值較小（0.010 6），誤認為是密集模態組，而本研究方法依然能有效進行判別，對調λ6和λ2之后的特征組的密集度較原特征組更差。如果取第3，4和5階模態特征組或者第1，4和5階模態特征組，都不算是密集特征組，文獻［13］、文獻［15］與本研究方法均可以識別出為非密集模態組；但由于文獻［13］與文獻［15］無法給出判別指標的上限，因此二者在判別特征組不密集到什么程度則沒有本研究方法更能反映本質。如果分別取第3和4階模態特征組、第1和4階模態特征組和第1和6階模態特征組，同樣不算是密集特征組，表中所列4種方法均可以識別，其中文獻［12］和本研究方法由于指標有上限，所以可以定量的評價3組特征組的非密集程度。如果取第4和5階模態組成一個特征組，在取一位有效數位時，該特征組可視為重頻特征值，所有方法均可識別出該特征組的高密集性，均能反映該特征組趨于重頻特征組的特性。需要說明的是，由于圖1中存在準局部對稱性而導致了近似重頻特征組的出現，如果m6取值與m4相同，則圖1結構變為完全對稱結構，即會出現重頻特征值。可見，對于該非密集頻率結構算例，本研究方法適用范圍廣，適用于全部特征值組、部分特征值組以及模態躍遷后的特征值組，且指標有上、下限，便于定量評價。

表1 特征組密集度不同判別方法對比

3.2 算例2

某大跨斜拉單層扇貝網殼結構，底部內、外半徑分別為70m和80m，頂部內、外半徑均為10m，凹脊線總高度為15m，扇形角度為0～900，環向凹凸間數為6個，徑向網格數為10個，平面投影面積為4 400m2。索直徑為40mm，索初始應變ε0＝0.1%，斜索初始張拉力T0＝EAε0＝238.75kN，共21根。塔柱鋼管截面規格為600×50，徑向桿單元截面規格為Φ580×16，環向桿單元截面規格為Φ450×16。荷載取值：恒荷載為0.8kN／m2（含屋面自重），活荷載為1.5kN／m2。材料屬性為：鋼材Q235，彈性模量為2.06×105MPa，密度為7 900 kg／m3，剪切模量為7.9×104MPa，泊松比為0.3；纜索彈性模量為1.90×105MPa，密度為7 200kg／m3，泊松比為0.25。整體結構的ANSYS有限元模型如圖2所示，將恒荷載用MASS 21單元以等質量施加于網殼結點上對結構進行模態分析，考慮應力剛化效應，提取前7階模態如表2所示。可見，該結構為典型的密集低頻結構。分別選取文獻［12］、文獻［13］、文獻［15］的方法與本研究方法對該結構密集模態密集度判別結果進行對比，結果如表3所示。

圖2 大跨斜拉單層扇貝網殼結構有限元模型

表2 大跨斜拉單層扇貝網殼結構前7階模態參數

表3 特征組密集度不同判別方法對比

該結構為大跨斜拉單層網殼結構，是典型密集低頻結構。由表3可知，對于全部7階模態，本研究方法可直觀判斷出前7階模態密集度較高，所得指標更趨近于0，而文獻［12］和文獻［15］的方法則失效。如果取第2，3和4階模態特征組，同樣也為密集特征組，本研究方法結果同樣優于其他方法，文獻［12］方法則失效。如果分別僅取第1和2階模態特征組、第3和4階模態特征組、第5和6階模態特征組、第6和7階模態特征組，它們都是密集模態，4種方法均可以識別為密集模態，但密集程度略有不同，指標值大小與模態密集程度相對應。文獻［12］方法和本研究方法更接近且指標值均很小，文獻［15］方法的指標值則相對較大。其中，第3和4階模態特征組兩者數值非常接近，為高密集模態。所有方法均可識別出該特征組的高密集性，反映了該特征組的密頻特性。總體來看，對于密集低頻結構，文獻［12］方法僅適合用來衡量兩個相鄰模態的密集性，文獻［15］方法適合于判別局部特征組的密集性，且對于該算例判別局部特征組的密集型也相對不夠準確。文獻［13］的方法與本研究方法均適用于不同特征組，包括全部特征組及部分特征組，但對于該算例全部特征值組其判別指標相對較大，沒有本研究方法精準。本研究方法適用于全部特征值組及部分特征值組，且量化指標準確，便于定量評價。

4 結束語

筆者提出的頻率差方法在小計算量的基礎上，不僅能用于判別兩個相鄰特征值的密集度，還能從整體上判別一組特征值的密集性。在識別出目標特征組是否為密集特征組的同時，也能給予密集度的量化指標。對不同密集特征組的密集度進行衡量對比，該方法適合于自由度數量龐大的實際工程結構和密集低頻復雜結構的模態密集度的判別。

［1］ 劉利軍，樊江玲，張志誼，等.密頻系統模態參數辨識及其振動控制的研究進展［J］振動與沖擊，2007，26（4）：109－115.Liu Lijun，Fan Jiangling，Zhang Zhiyi，et al.Study progress in modal parameter identification and vibration control of system with crowded modes［J］.Journal of Vibration and Shock，2007，26（4）：109－115.（in Chinese）

［2］ 謝發祥，孫利民.受控結構頻率密集度的判別及其對控制效果的影響［J］.山東工業大學學報：工學版，2009，39（5）：75－78.Xie Faxiang，Sun Limin.Judging criterion of structures with closely spaced natural frequencies and its effect on control results［J］.Journal of Shandong University：Engineering Science，2009，39（5）：75－78.（in Chinese）

［3］ Ashari A E，Labibi B.Application of matrix perturbation theory in robust control of large－scale systems［J］.Automatica，2012（48）：1868－1873.

［4］ Adelman H M，Haftka R T.Sensitivity analysis of discrete structural systems［J］.American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal，1986，24（5）：823－832.

［5］ Haug E J，Choi K K，Komkov V.Design sensitivity analysis of structural systems［M］.New York：Academic Press，1986：49－67.

［6］ 陳塑寰.結構動態設計的矩陣攝動理論［M］.北京：科學出版社，1999：112－128.

［7］ 賀爾銘，陳新海.密集模態結構的平均化攝動［J］.西北工業大學學報，1996，14（1）：95－99.He Ermin，Chen Xinhai.Averaged perturbation method for sturcutrues with close frequencies［J］.Journal of Northwesten Polytechnical Univerisity，1996，14（1）：95－99.（in Chinese）

［8］ Lin R M，Lim M K.Modal analysis of close modes using perturbative sensitivity approach［J］.Engineering Structures，1997，19（6）：397－406.

［9］ 于巖磊，高維成，劉偉.密集模態結構模態躍遷分析的簡化攝動法［J］.工程力學，2012，29（3）：33－40.Yu Yanei，Gao Weicheng，Liu Wei.Simplified perturbation method for analyzing the mode jumping of close mode structure［J］.Engineering Mechanics，2012，29（3）：33－40.（in Chinese）

［10］劉濟科，徐偉華，楊宏彥.廣義復特征值攝動問題的逐步逼近法［J］.振動、測試與診斷，2000，20（4）：249－253.Liu Jike，Xu Weihua，Yang Hongyan.A successive approximation procedure for complex eigenvalue perturbation problem［J］.Journal of Vibration，Measurement ＆ Diagnosis，2000，20（4）：249－253.（in Chinese）

［11］于巖磊.風作用下大跨斜拉網格結構參數振動及其模態躍遷研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業大學，2010.

［12］Gregory C Z.Reduction of large flexible space models using internal balancing theory［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamic，1984，7（6）：725－732.

［13］王文亮，劉玉民.特征值組的攝動法［J］.機械強度，1995，17（3）：44－47.Wang Wenliang，Liu Yumin.Perturbation technique of eigenvalue cluseter［J］.Journal of Mechanical Strength，1995，17（3）：44－47.（in Chinese）

［14］趙又群，劉中生，陳塑寰.密集模態的判斷準則［J］.吉林工業大學學報，1996，26（3）：75－78.Zhao Youqun，Liu Zhongsheng，Chen Shuhua.Juding criterion of closely spaced modes［J］.Journal of Jilin University of Technology，1996，26（3）：75－78.（in Chinese）

［15］陳德成，楊靖波，白浩，等.密頻子空間的可控度與可觀度［J］.應用力學學報，2001，18（2）：15－20.Chen Decheng，Yang Jingbo，Bai Hao，et al.The controllability and observability of closely spaced subspace［J］.Chinese Journal of Apllied Mechnics，2001，18（2）：15－20.（in Chinese）