多楔帶動態特性及帶 輪間摩擦系數的測試分析－*

上官文斌，曾祥坤，劉泰凱，段小成，王亞杰

（1.華南理工大學機械與汽車工程學院 廣州，510641） （2.寧波拓普集團股份有限公司 寧波，315806）

引 言

多楔帶集平型帶的高柔韌性和V型帶的高功率性為一體，具有使帶－輪驅動系統結構緊湊、傳遞功率大、帶的壽命長及系統振動和噪聲小等優點，被廣泛應用于汽車發動機前端附件驅動（front end accessory drive，簡稱FEAD）系統［1－3］。FEAD系統主要通過帶－輪間的摩擦力傳遞動力，振動特性主要包括：兩輪間帶段的縱向振動（表現為沿著帶速度方向的張力波動）、橫向振動（表現為垂直帶速度方向的橫向振動位移）、帶－輪間的滑移和各輪的旋轉角度波動。帶的縱向剛度和阻尼系數、彎曲剛度以及帶－輪間的摩擦系數是影響FEAD系統振動特性的重要參數，也是FEAD系統振動特性計算分析的主要參數［4］。

多楔帶的縱向剛度和阻尼系數特性受帶長的影響較大。在工程實際中通常采用帶的縱向彈性模量和阻尼系數－剛度比系數來表征帶的縱向力學性能參數［5］。國外的研究學者對多楔帶的縱向力學性能參數、彎曲剛度和帶－輪間摩擦系數進行了實驗研究［6－9］。多楔帶的結構型式是典型的彈性體結構，其動剛度與激勵振幅、激勵頻率和帶的初始張力有關。Cepona等［7］采用錘擊激勵的方法，測試了帶長對帶的縱向彈性模量和阻尼系數的影響。該方法無法測試和研究激振振幅、激勵頻率對帶的縱向動剛度和阻尼系數的影響，測試結果無法全面表征帶的縱向力學性能。另外，在測量帶橫向振動固有頻率的實驗中采用電磁激振器激勵多楔帶（質量為49g），并在被測帶段上粘貼了20g的小質量塊用于激振器頂桿前端力傳感器與皮帶的固連。這就增加了帶的附加質量，引起帶段橫向振動固有頻率的實測值與理論值之間產生較大誤差，從而影響帶段彎曲剛度的計算結果。國內對FEAD系統動態特性的研究起步較晚，用于計算分析FEAD系統動態特性時，其帶的參數和帶－輪間的摩擦系數主要參考國外文獻中的數據［10－13］。

筆者以汽車用6PK型多楔帶為測試對象，測量了帶的縱向靜態和動態特性、彎曲剛度和帶－輪間的摩擦系數。測試分析了帶長、初始張力、激振振幅和激勵頻率對帶的縱向動剛度和阻尼系數特性的影響。建立了表征帶的縱向動剛度和阻尼系數特性與帶長、初始張力、激振振幅和激勵頻率關系的多項式模型和指數函數模型。由于帶的質量較小，用力錘敲擊可以激起帶在橫向方向的共振，得到帶橫向振動的共振頻率。采用最小二乘方法擬合理論計算的固有頻率（與帶的彎曲剛度有關）和實測的固有頻率，得到帶的彎曲剛度。此方法避免了文獻［7］在帶上增加附加質量用來連接激振器而影響實測帶在橫向方向的共振頻率，從而影響帶彎曲剛度計算結果的實驗方法。筆者還建立了帶－輪間摩擦系數測量的實驗裝置、數據處理方法和測試流程，并測試帶的初始張力、帶－輪間的包角、輪的轉速對帶－輪間摩擦系數的影響。

1 實驗裝置和測試原理

圖1為PK型多楔帶的橫截面結構示意圖［14］。由圖1可見，汽車用PK型多楔帶由頂布、張力線、緩沖膠和楔膠等組成，帶的楔角為40°。楔膠的作用是使帶與輪之間產生摩擦力。緩沖膠的作用是傳遞摩擦力和承受垂直于帶速度方向的壓力。張力線用于承受帶沿其速度方向的張力。頂布主要用來保護張力線。

圖1 汽車用PK型多楔帶橫截面結構示意圖

以汽車用6PK型多楔帶為研究對象，分別介紹帶的縱向靜剛度、縱向動剛度和阻尼系數、彎曲剛度、帶－輪間摩擦系數的實驗裝置和測試原理。

1.1 縱向靜剛度實驗

多楔帶的縱向靜剛度實驗主要是測量帶的縱向力－位移曲線。該實驗在 MTS 831彈性體測試儀（以下簡稱MTS測試儀）上完成，實驗裝置如圖2所示。由圖2可見，多楔帶一端固定在MTS測試儀上的作動端，另一端安裝在固定端。帶的張力信號由安裝在作動端上的力傳感器測得。測試前，在MTS測試儀的控制系統中設置帶的張力范圍和作動端的運動速度。在多楔帶被拉伸兩個力循環后，MTS測試儀的數據處理系統采集作動端的位移信號和力信號，得到帶的縱向力－位移曲線。

圖2 多楔帶縱向靜剛度、動剛度和阻尼系數特性實驗裝置

1.2 縱向動剛度和阻尼系數實驗

1.2.1 采用MTS測試儀測量帶的縱向動剛度和阻尼系數

采用MTS測試儀測量帶的縱向動剛度和阻尼系數特性的實驗裝置如圖2所示。實驗前，在MTS測試儀的控制系統中設置帶的初始張力、作動端的位移激振振幅和激勵頻率范圍。實驗時，由MTS測試儀的數據處理系統記錄作動端的位移信號與力信號，并基于傳遞函數方法計算帶的縱向動剛度和滯后角［15］。

滯后角反應了位移滯后于力的角度，表征被測元件阻尼的大小，工程上常用阻尼系數來表示。阻尼系數的計算式［15］為

其中：C為帶的阻尼系數；K 為帶的縱向動剛度；φ為滯后角；ω為激勵圓頻率。

圖3 錘擊法測量帶縱向動剛度和阻尼系數特性的實驗裝置

1.2.2 采用錘擊法測量帶縱向動剛度和阻尼系數

采用錘擊法測量多楔帶縱向動剛度和阻尼系數的實驗裝置如圖3所示。由圖3（a）可見，帶的上端固定在橫梁上，下端固定于焊接在質量塊上的夾緊板上。加速度傳感器用于測量質量塊沿帶縱向的加速度信號。由帶與質量塊組成的有阻尼單自由度彈簧質量系統的結構示意圖如圖3（b）所示。

實驗時，沿帶的縱向用激勵錘對夾緊板施加隨機沖擊激勵。用Bruel ＆Kjaer Pulse System采集激勵力信號和質量塊的加速度信號，并分析得到質量塊的加速度－力幅頻響應曲線。帶的縱向動剛度和阻尼系數的計算式［7］為

其中：m為質量塊的質量；ω0為帶的縱向固有頻率；Δω＝ω2－ω1為半功率帶寬；ω1，ω2為半功率點對應的激勵頻率。

將帶看成沒有彎曲剛度的軸向運動弦線，帶的縱向動剛度理論計算式為

其中：E為帶的縱向彈性模量；A為帶的橫截面積；L為帶的長度。

由式（2），（3）得到帶的縱向彈性模量E和阻尼系數－剛度比系數λ的計算式［5］分別為

1.3 彎曲剛度實驗

多楔帶彎曲剛度實驗在MTS測試儀上完成，實驗裝置如圖4所示。激光位移傳感器用于測量帶段中點的橫向（垂直帶速度的方向）位移。實驗前，由MTS測試儀的控制系統設置帶的初始張力，用游標卡尺測量帶的長度。

由于帶的質量較小，用力錘敲擊可以激起帶在橫向方向的共振，得到帶橫向的共振頻率。此方法避免了文獻［7］在帶上增加附加質量用以連接激振器而影響實測帶在橫向方向的共振頻率，從而影響帶彎曲剛度計算結果的實驗方法。

圖4 多楔帶彎曲剛度的實驗裝置

實驗時，在靠近被測帶的上端用激勵錘沿帶的橫向施加隨機沖擊激勵，如圖4（b）所示。用Bruel＆Kjaer Pulse System采集激勵力信號、帶段中點的橫向振動位移信號。根據帶橫向振動位移－力幅頻響應曲線可識別出帶橫向振動的固有頻率。

考慮帶的彎曲剛度，圖4中兩端固定的帶段可看成是兩端固定的簡支梁。帶橫向振動的第i階固有頻率f0i為彎曲剛度EI的函數，理論計算式［7］為

其中：ρ為帶的線密度（0.096kg／m）；F 為帶的初始張力。

由最小二乘方法確定帶的彎曲剛度EI

其中：Fk為第k次調節作動端位移后帶的初始張力；f0i為帶橫向振動的第i階固有頻率計算值；fexp0i為帶橫向振動的第i階固有頻率實測值。

式（7）取最小值時的EI為帶的彎曲剛度。

圖5 帶－輪間摩擦系數的實驗裝置結構示意圖

1.4 帶－輪間摩擦系數實驗

帶－輪間摩擦系數實驗主要是測量帶的楔面與楔帶輪、帶的背面與平帶輪間的摩擦系數（以下簡稱帶的楔面和背面與輪間的摩擦系數）。設計了帶－輪間摩擦系數測量的實驗裝置，結構示意圖如圖5所示。可見：當電機輪順時針方向旋轉時，靠近立柱側的帶段為緊邊帶段，靠近底座側的帶段為松邊帶段；帶與輪間以一定的包角相互接觸；張力調節器分別與立柱的上孔、中孔、下孔相連接來調節帶與輪間的包角；電機的轉速由變頻器來調節。實驗時，Bruel＆Kjaer Pulse System通過角度編碼器采集電機輪的轉速信號，通過拉力傳感器采集緊邊和松邊帶段的張力信號。假設帶在輪上打滑，且帶－輪間的力傳遞完全由帶－輪間接觸面的摩擦力提供（忽略其他摩擦的影響）。由Euler－Eytelwein方程得到輪兩側緊邊和松邊帶段的張力關系［9］為

其中：Td為緊邊帶段的張力；Tj為松邊帶段的張力；β為帶－輪間的包角；μ為帶－輪間摩擦系數。

由式（8）得到帶－輪間的摩擦系數μ的計算式為

2 實測結果與分析

2.1 縱向靜剛度

在MTS測試儀的控制系統中，設置拉伸張力范圍為100～2 000N，作動端的運動速度為5mm／min。帶的初始長度為370mm時，實驗測得帶的縱向力－位移曲線如圖6所示。可見，帶在拉伸和卸載中，力－位移曲線為一遲滯回線，表征了帶的結構阻尼特征。加載曲線與卸載曲線近似線性變化。根據加載曲線和卸載曲線斜率的平均值計算出帶的縱向靜剛度為704N／mm。

圖6 帶的縱向靜態力－位移曲線（L＝370mm）

2.2 縱向動剛度和阻尼系數

2.2.1 利用MTS測試儀實測的結果與分析

在MTS測試儀的控制系統中分別設置帶的初始張力（F＝300N和450N）、作動端的位移激振振幅（Am＝0.1mm，0.3mm 和0.5mm）和激勵頻率范圍為2～200Hz（頻率間隔為2Hz）。以3根不同長度（L＝270mm，370mm，450mm）的6PK型多楔帶為測試對象，分別測試和分析帶的長度、激振振幅和初始張力對帶縱向動剛度、滯后角和阻尼系數的影響。

1）帶的長度不同

帶的張力（450N）與激振振幅（0.3mm）一定時，實驗測得不同帶段長度下帶的縱向動態特性如圖7所示。可見，帶的長度、初始張力和激振振幅一定、激勵頻率增加時，帶的縱向動剛度略有增大，但阻尼系數減小。由圖7（a）可見，帶長增加，帶的縱向動剛度減小。帶長和激勵頻率對滯后角的影響較小，如圖7（b）所示。帶長對阻尼系數的影響也較小，如圖7（c）所示。當激勵頻率與帶的固有頻率相同或接近時，會引起帶的共振，在圖7（a）中表現為動剛度值突然減小。實驗發現，帶在縱向拉力作用下發生共振時，帶的橫向振動位移較大。這說明激勵頻率與帶的橫向振動固有頻率相接近引起了帶的共振。由圖7（a）可見，帶長增加，帶的同階次橫向振動固有頻率降低。

2）激振振幅不同

帶的初始張力（300N）與帶長（370mm）一定時，在不同激振振幅下實驗測得帶的縱向動態特性如圖8所示。可見：當帶的初始張力、帶長一定時，帶的縱向動剛度隨激勵頻率的增加略有增加，而阻尼系數隨激勵頻率的增加而減小；激振振幅增加時，帶的縱向動剛度減小，帶的滯后角和阻尼系數變化不大。

3）帶的初始張力不同

當激振振幅（0.3mm）與帶長（370mm）一定、帶的初始張力不同時，實驗測得帶的縱向動態特性如圖9所示。可見，帶的初始張力增加，帶的縱向動剛度、帶的同階次橫向振動固有頻率均增大；帶的滯后角略有減小；阻尼系數變化不大。

由圖8（a）和9（a）可見，帶長為370mm 時，不同工況下帶的縱向動剛度在715～1 090N／mm范圍內。根據帶縱向動剛度值與靜剛度值的比值可計算出帶縱向剛度的動靜比范圍為1.02～1.55。

采用錘擊法實驗測得3根不同長度帶的縱向動剛度和阻尼系數，由式（4），（5）計算出帶的縱向彈性模量和阻尼系數－剛度比系數如表1所示。

由表1可見，質量塊質量相同時，帶長越短，帶的阻尼系數、縱向動剛度越大，而帶的縱向彈性模量越小；帶長一定，質量塊質量減小，帶的縱向動剛度和阻尼系數略有減小。這說明帶長對帶的縱向動剛度和阻尼系數影響較大，而帶的張力對帶的縱向動剛度和阻尼系數影響較小。通常取表1中各組實驗

圖7 帶長對帶的縱向動剛度、滯后角和阻尼系數特性的影響（F＝450N，Am＝0.3mm）

圖8 激振振幅對帶的縱向動剛度和阻尼系數特性的影響（F＝300N，L＝370mm）

圖9 初始張力對帶的縱向動剛度和阻尼系數特性的影響（Am＝0.3mm，L＝370mm）

表1 錘擊法實驗測得帶的縱向彈性模量和阻尼系數－剛度比系數

帶的彈性模量的平均值、阻尼系數－剛度比系數的平均值來表征帶縱向力學性能參數［7］

將式（10），（11）代入式（3），（5）中，計算不同帶長下帶的縱向動剛度和阻尼系數。

2.2.3 兩種實驗裝置測試結果對比

由表1可見，帶長為294.14mm、質量塊質量為45.5kg時，由錘擊法實驗測得帶的縱向動剛度為850N／mm、阻尼系數為0.335N·s／mm。選擇與錘擊法實驗相同的帶段（帶長為290mm、帶的初始張力為450N），由MTS測試儀測得不同激振振幅下帶的縱向動剛度和阻尼系數特性如圖10所示。

由圖10可見，激振振幅在0.1～0.5mm區間內，由MTS測試儀測得帶的縱向動剛度在950～1 350N／mm范圍內；帶的阻尼系數范圍為0.1～1.0N·s／mm。

圖10 不同激振振幅下帶的縱向動剛度和阻尼系數特性（F＝450N，L＝290mm）

對比以上兩種實驗方法的測試結果表明，帶長和帶的初始張力一定時，錘擊法實驗測得的帶的縱向動剛度和阻尼系數為常數；而MTS測試儀測得的帶的縱向動剛度和阻尼系數受激勵頻率和激振振幅的影響較大。由于多楔帶主要是由橡膠材料組成，帶的縱向動態特性不僅與帶的長度有關，而且還與激振振幅、激勵頻率和帶的初始張力有關；因此，采用MTS測試儀的實驗結果能更好地表征帶的縱向動態特性。

式中：下標1和2分別表示整流側和逆變側換流站，在不影響損耗計算精度的條件下，考慮系統傳輸有功與整流側吸收有功相等。

以下分別建立多項式模型和指數函數模型用于計算帶的縱向動剛度和阻尼系數，并基于MTS測試儀的實驗數據采用最小二乘方法識別模型參數。

1）帶的縱向動剛度

由圖7（a），8（a）和9（a）可見：帶的縱向動剛度受帶的長度、激振振幅和初始張力影響較大；帶的縱向動剛度隨激勵頻率的增加近似線性增大。這里采用多項式擬合帶的縱向動剛度

其中：ξi（i＝1，2，…，6）為帶的縱向動剛度模型擬合系數；f為帶的激勵頻率。

采用最小二乘方法求解式（12）中的擬合參數

根據式（13）計算出帶縱向動剛度模型中的擬合系數ξi（i＝1，2，…，6）＝－0.011 9，－76.677 7，5.741 6，－48.254 9，1.437 7，0.795 9。根 據 式（12）計算得到帶的縱向動剛度值與實驗值對比，如圖11所示。可見，采用式（12）可較好地擬合不同工況下帶的縱向動剛度。

F1＝300N，F2＝450N；Am1＝0.1mm，Am2＝0.2mm，Am3＝0.3mm；L1＝270mm，L2＝370mm，L3＝450mm圖11 帶的縱向動剛度計算值與實驗值對比

2）帶的阻尼系數

由圖7（c），8（c）和9（c）可見，帶的激勵頻率比帶的長度、激振振幅和初始張力對阻尼系數的影響要大得多；因此，只考慮激勵頻率（f）對帶阻尼系數的影響，采用指數函數擬合帶的阻尼系數

其中：ζi（i＝1，2，…，5）為帶的阻尼系數模型擬合系數。

采用最小二乘方法求解式（14）中的擬合系數

由式（15）計算出帶阻尼系數模型中的擬合系數ζi（i＝1，2，…，5）＝6.178 7，2.017 7，0.927 7，17.349 8，54.629 2。根據式（14）得到帶的阻尼系數計算值與實驗值對比如圖12所示。

圖12 帶的阻尼系數計算值與實驗值對比（F＝300N，L＝370mm）

可見，不同工況下帶的阻尼系數計算值與實驗值吻合較好。這說明式（14）能較好地表征帶的阻尼系數與激勵頻率的關系。

2.3 彎曲剛度

帶的初始長度一定（438mm）、張力不同時，實驗測得該帶段中點的位移－力幅頻響應曲線如圖13所示。根據圖13可以較容易地識別出帶橫向振動的前3階固有頻率。這說明采用錘擊方法可以較容易使帶在橫向方向產生共振。

圖13 帶橫向振動位移－力幅頻響應曲線（L＝438mm）

同理，實驗測得其他兩根多楔帶（帶長分別為370mm和270mm）中點的橫向振動位移－力幅頻響應曲線，并從幅頻響應曲線中識別出帶橫向振動的前3階固有頻率值。由式（7）計算出各帶段的彎曲剛度如表2所示。可見：帶長越短，帶的彎曲剛度越大；當帶的張力、長度一定時，帶的第i（i＝1，2，…）階固有頻率值近似等于第1階固有頻率的i倍；帶長相同時，帶橫向振動的各階固有頻率隨帶的張力增加而增大。

表2中帶的彎曲剛度隨帶長的增加近似線性減小。采用線性擬合的方法，將帶的彎曲剛度表示成帶長的函數關系

其中：L為帶段的長度。

表2 多楔帶的前3階橫向振動固有頻率實測值及其彎曲剛度

2.4 帶－輪間的摩擦系數

帶的楔面與輪接觸，帶的初始張力（400N）和帶－輪間包角（66.13°）一定、輪的轉速從零勻加速到110r／min時，實驗測得緊邊和松邊帶的張力、輪的轉速隨時間變化關系曲線如圖14（a）所示。可見，電機運轉前，緊邊和松邊帶段的初始張力均為400 N，電機轉速從0～110r／min，緊邊帶段張力逐漸增大，松邊帶段張力逐漸減小；電機在110r／min左右穩定旋轉時，緊邊帶段和松邊帶段的張力也各自趨向穩定（Td＝610N，Tj＝86N）。由式（9）計算得出帶－輪間的摩擦系數隨時間變化的關系曲線如圖14（b）所示，取摩擦系數穩定值1.69為該工況下帶的楔面與輪間摩擦系數。

采用相同的測試方法和數據處理方法，分別測試和分析帶的初始張力（F＝200N，400N和600N）、帶－輪 間 包 角 （β＝ 53.15°，66.13°和78.79°）、輪的轉速（n＝50r／min，100r／min和150 r／min）對帶的楔面（背面）與輪間摩擦系數的影響。根據多組實測數據得到帶的楔面（背面）與輪間摩擦系數的取值范圍。

2.4.1 帶初始張力

當 輪 的 轉 速 （100r／min）和 帶－輪 間 包 角（66.13°）一定、帶的初始張力不同時，帶－輪間的摩擦系數如圖15所示。可見，當帶的初始張力由

圖14 帶的楔面與輪間摩擦系數的測試結果（F＝400N，n＝100r／min，β＝66.13°）

200N增加到600N時，帶－輪間摩擦系數略有增大。這是因為帶的初始張力過小，帶與輪間的接觸面沒有充分接觸，此時帶－輪間的摩擦力相對較小。但是，當帶的初始張力繼續增加，帶－輪間的摩擦系數將趨于某一穩定值。

圖15 帶的初始張力對帶－輪間摩擦系數的影響（β＝66.13°，n＝100r／min）

2.4.2 帶－輪間包角

當帶的初始張力（200N）和輪的轉速（100r／min）一定、帶－輪間包角不同時，帶－輪間的摩擦系數如圖16所示。可見，帶的初始張力和輪的轉速一定時，帶－輪間包角增加，帶楔面（背面）與輪間摩擦系數也略有增加，但變化很小。

2.4.3 輪轉速

當帶的初始張力（200N）和帶－輪間包角（53.15°）一定時，輪的轉速對帶－輪間摩擦系數的影響如圖17所示。可見，輪的轉速對帶與輪間摩擦系數影響很小。2.4.4 摩擦系數變化范圍

圖16 帶－輪間包角對帶－輪間摩擦系數的影響（F＝200N，n＝100r／min）

圖17 輪的轉速對帶－輪間摩擦系數的影響（F＝200N，β＝53.15°）

當帶的初始張力、帶－輪間包角、輪的轉速（n1＝50r／min，n2＝100r／min）不同時，帶的楔面（背面）與輪間摩擦系數μ1（μ2）實測結果如表3所示。由表3可見，帶的楔面和背面與輪間摩擦系數的取值范圍分別為1.63～1.80和0.64～0.78。

表3 帶的楔面（背面）與輪間摩擦系數實測結果

3 結 論

1）帶的縱向靜態力－位移特性曲線為一遲滯回線，且加載、卸載曲線均近似線性變化。

2）帶長越短、激振振幅越小、帶的初始張力越大，帶的縱向動剛度越大；帶的阻尼系數隨激勵頻率的增加而減小。與錘擊法實驗結果相比，MTS 831彈性體測試儀的測試結果能更好地表征帶的縱向動剛度和阻尼系數特性。

3）采用多項式模型、指數函數模型分別擬合帶的縱向動剛度和阻尼系數特性。結果表明，帶的縱向動剛度和阻尼系數計算值與實驗值吻合較好，驗證了帶的縱向動剛度和阻尼系數模型是正確的。

4）帶長越短，帶的彎曲剛度、同階次橫向振動固有頻率越大；帶的彎曲剛度隨帶長的增加而線性減小。

5）帶的初始張力和帶－輪間包角增加，帶－輪間的摩擦系數略有增大；輪的轉速對帶－輪間摩擦系數影響較小。

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