簡支形狀記憶合金層合梁的混沌及安全盆侵蝕*

葛 根，竺致文，許 佳

（1.天津工業大學機械工程學院 天津，300387）（2.天津大學機械學院 天津，300072）

引 言

形狀記憶合金梁的振動具有豐富的非線性動力學特性，研究其振動特性對研究形狀記憶合金的工程應用具有重要的實用價值。國內外學者提出了眾多關于形狀記憶合金梁振動的研究成果。Collet等［1］考慮了形狀記憶合金在拉、壓、溫度載荷中的對稱性假設后，研究了形狀記憶合金梁的動力學行為。Hashemi等［2］研究了在拉、壓、溫度加載中的非對稱性假設下梁的自由振動和脈沖激勵振動問題。文獻［3］用數值方法研究了形狀記憶合金雙桿系統的同宿分岔和混沌現象。張清泉等［4－5］根據 Machado本構模型建立了形狀記憶合金梁的動力學模型，并研究了其振動的穩定性和混沌現象。吳志強等［6］研究了形狀記憶合金層合梁的非線性動力響應特性。葛根等［7］研究了簡支形狀記憶合金梁受簡諧和隨機共同激勵下的混沌閾值問題。王征等［8］研究了形狀記憶合金的成振作用。

筆者基于vanderpol環模型模擬了形狀記憶合金本構模型中的遲滯環特性，從該模型出發建立了受軸向激勵的形狀記憶合金簡支層合梁的振動模型。用待定固有頻率法研究了該模型的非線性參數對系統固有頻率的影響，結合計算結果和時間尺度變換表示了該系統改進后的Melnikov函數，得出較精確的系統發生混沌的閾值。采用數值方法得到了系統安全域邊界的侵蝕現象，發現激勵幅值的變化導致安全盆邊界出現分形結構，這是識別混沌的另一種有效而可靠的方法。這些結果對形狀記憶合金梁的應用安全具有較大的實際意義。

1 形狀記憶合金層合梁的振動模型

考慮一個矩形截面的簡支Euler－Bernoulli形狀記憶合金層合梁如圖1所示。梁長為l，b為橫截面寬度，H為梁高。中間層是高度為h的均質線彈性材料基底層，上下為等厚度的形狀記憶合金層，層厚度為（H－h）／2。層間牢固粘結，梁軸線中點的y方向位移為w。軸向受簡諧激勵N，形式為N＝p0＋pcos（Ωt）。因為形狀記憶合金滿足拉壓條件下的應力應變關系的對稱性［1］，故坐標中心可選為梁橫截面的幾何中心處。

假設該梁為小撓度梁，其動力學方程為

其中：c為線性阻尼；ρ為梁的平均密度；A為梁的橫截面積；M為梁的彎矩；w為中點橫向位移。該兩端簡支梁的邊界條件可表示為

圖1 簡支形狀記憶合金梁的模型及坐標

滿足振動邊界條件的伽遼金一階截斷為

考慮小撓度梁滿足平面假設，其幾何變形條件為

梁橫截面上彎矩為正應力σ對中性軸的力矩在橫截面上的積分

梁橫截面的正應力分布如圖2所示。顯然，線彈性基底的應力應變關系滿足最基本的胡克定律σ＝Eε，E為彈性模量。形狀記憶合金應力應變關系為復雜的非線性關系。根據文獻［7］中的等應變加、卸載實驗數據可知，在不考慮溫度變化時，形狀記憶合金的加載－卸載應力應變曲線有明顯的滯后環特性，如圖3所示。

圖2 形狀記憶合金梁橫截面正應力分布

圖3 形狀記憶合金的應力應變關系

Falk曾建立了一個平滑的多項式模型來模擬該應力應變關系［4］

其中：T 為溫度；TM為馬氏體臨界溫 度；a1，a2，a3為常數。

顯然，該模型不足以模擬滯后環特性。為模擬這一特性并使函數形狀光滑以利于后續分析，可考慮建立一個關于原點對稱的vanderpol環加上一條骨架曲線形式的模型。

其中：f0（x）為遲滯環的骨架曲線；參數a，b為骨架曲線和實驗應力應變曲線之間的偏差。

假設應力 －應變環的對稱中心為G （ε0，σ0），則形狀記憶合金的應力－應變關系可表示為

展開為

考慮到當ε＝0時，加載和卸載曲線的對應應力值必需相等，且此時形狀記憶合金應沒有殘余應力，故模型參數應滿足由此可得形狀記憶合金的應力應變最終函數關系為

以上參數需要根據實際的形狀記憶合金試件的實測數據來確定。當溫度不變時，與式（6）比較可知，本研究模型為一個遲滯環表達式，Falk模型僅相當于本研究模型式（10）得的骨架曲線。

把式（3），（4）代入式（10），得到應力和位移 w的關系，再代入式（5）得到彎矩表達式為

其中：M1，M2分別為上、下兩層形狀記憶合金層形成的彎矩；M3為中間層上的彎矩。

化簡得

把式（3），（12）代入式（1），積分可得單自由度常微分形式的梁動力學非線性振動方程為

從式（13）發現，由于形狀記憶合金層的作用，使梁的振動方程中出現了非線性阻尼及剛度項。為了便于后續的非線性分析和揭示系統可能存在的動力學現象，對式（11）作無量綱變化，并略去上標

模型（13）可變形為以下無量綱形式

考慮靜態載荷p0大于極限屈曲載荷，即線性剛度k為負（屈曲）的情況。對模型（15）引入尺度變換，得到

2 混沌閾值的確定

式（19）表示系統的未受擾保守系統可表示為

圖4 未擾系統的相圖和勢能曲線

傳統的判斷系統發生混沌的Melnikov函數可表示為

其中

Melnikov函數在M≡0時即為發生Smale馬

蹄混沌的閾值。計算得到

事實上，式（20）得到的閾值只是發生混沌的必要條件而非充分條件，為了得到更精確的混沌閾值可考慮式（16）中各非線性擾動對同宿軌道中剛度k的影響，從而得到改進的Menikov函數。

采用待定固有頻率法［9］求得系統受擾動后的待定固有頻率ω10，采用復數形式的規范形理論［10］求解該系統。引入復數變量ζ和z

其中：ζ表示ζ的共軛。

求解式（21）可得

對式（22）中的第1個公式對時間求導，并考慮式（16）和式（21）可得

引入直至三階的非線性變換，化簡式（21）得到系統的規范形為

考慮最具有一般性的主參數共振情況Ω＝2ω10，計算式（24）的1～3階規范形為

把式（25）中的變量η和z表示為極坐標形式

分離式（25）的實部和虛部得到

令˙a＝0，得到系統的一階近似定常解為

從式（29）的第2式可清楚地觀察到，參數激勵幅值f、攝動參數ε、非線性剛度系數α及線性阻尼系數μ對系統的振動頻率均有影響。

對式（16）引入時間尺度變換T＝ω10t后，在等號兩邊同除以ω10，可得

式（30）的Hamilton能量函數和勢能函數可表示為

當h＝0時，式（31）的同宿軌道可表示為

把式（32）代替式（18），帶入 Menikov函數式（20），得到改進形式的Melnikov函數

當M（T0）≡0時，系統發生同宿軌道橫截相交導致混沌。

3 數值模擬

本研究中取參數值為k＝1，α＝4，γ＝0.22，μ＝0.76，D＝1，Ω＝2，ε＝0.1。系統初值取（0.01，0.01）。根據式（20）及式（33）的判據，計算出傳統和改進的兩種Melnikov函數閾值，如表1所示。

表1 兩種Melnikov方法的閾值比較

圖5表示當分岔參數f取接近傳統Melnikov方法得出的分岔值時，系統的振幅在一段時間后會趨向一個定值，系統有周期解，因此系統顯然沒有發生混沌。

圖5 當f＝0.88時系統相圖和時間歷程圖

當取外激勵幅值f＝1.89時，系統開始發生混沌，如圖6所示。圖6（a）發現相軌線在相平面內盤旋繞曲，橫截相交。從圖6（b）可見，系統的位移圍繞兩個平衡點振動、跳躍。圖6（c）為龐加萊截面圖，發現了明顯的分形特征，因此可判斷系統發生了混沌。

比較圖5和圖6可知，由于改進的Melnikov函數表達式考慮了系統的非線性系數對系統固有頻率的影響，因此計算系統發生混沌的閾值更為精確。但是以上分析只研究了一個初值的響應，而混沌是系統對初值的極端敏感依賴性導致的，所以有必要對相平面內眾多初值進行混沌的特征研究。

圖6 當f＝1.88時系統相圖、時間歷程圖和龐加萊截面圖

系統發生混沌時，穩定流形和不穩定流形將發生橫截相交，在相平面內盤旋纏繞成復雜結構，某些初始點出發的相軌線將穿出系統的安全域邊界，從而導致系統的不安全，這種現象在很多文獻中稱為安全盆的侵蝕現象。很多時候系統的安全盆受到侵蝕時，相軌線不斷逃逸出安全盆，并再回到安全盆內，因此安全盆邊界將呈現分形形狀，而安全盆的分形邊界是產生混沌的一個重要判據［11－12］。

為了研究系統的激勵對安全盆的影響，在相平面內描繪一個包含未擾系統安全盆的區域G

其中：H為系統的總能量上限。

考慮系統總能量不超過H＝0.1，此時系統的運動可能為包含3個平衡點的大范圍運動，也可能為兩個中心附近的小范圍運動，且運動的幅值不至于太大。把區域G劃分為步長h＝0.002的小格子，把每個小格子作為系統的初值。當某個初值在時間步長為0.01，迭代計算2×105次后仍然留在安全盆內，可認為該初值是安全的，否則認為該初值是不安全的，在安全盆中刪除。

圖7（b）顯示，激勵滿足混沌判別式時，系統發生混沌，系統安全盆的邊界受到侵蝕。隨著激勵幅值f1增大，系統安全盆的內部出現分形的情況更明顯，如圖7（c）所示。安全盆的內核部分（未擾系統的兩個中心附近）仍然是絕對安全的，而外圍部分區域就不能保證絕對安全。

圖7 系統的安全盆

4 結束語

通過建立形狀記憶合金的連續光滑應力－應變模型，得到了簡支形狀記憶合金層合梁的動力學模型，化簡后振動方程為一個具有負剛度的杜芬－范德坡模型。

待定固有頻率法結合規范形理論可以有效地研究受參數激勵系統的響應頻率因受系統非線性系數的影響而產生和固有頻率之間的偏差。對原系統引入時間尺度變化后，考慮非線性參數對系統頻率的影響，改進形式的 Melnikov方法比傳統形式的Melnikov方法計算得到的系統發生混沌的閾值更精確。

安全盆的邊界分形給判斷混沌提供了除Melnikov方法之外的依據。安全盆可以清晰地判斷初值對系統穩態運動的影響。此研究意義在于：系統在較大激勵幅值下即使發生混沌，只要把初值取在安全盆內的安全區，系統的能量也不會超出許可限制。這為系統的健康工作提供了參考依據。

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