a尺度的二維四向小波問(wèn)題

庫(kù)福立,王 剛,庫(kù) 媛

(1.新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,烏魯木齊 830054;2.吉林大學(xué) 材料科學(xué)與工程學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

0 引言與預(yù)備知識(shí)

小波分析在信號(hào)分析、圖像處理、模式識(shí)別、語(yǔ)言合成、方程求解和分形力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[1-4].高維小波比一維小波應(yīng)用前景更廣闊,目前已引起人們廣泛關(guān)注.由于2尺度小波對(duì)高頻端具有較窄的帶寬,因此2尺度小波分析效果較差.Daubechies[5]研究表明,除Haar小波外不存在既正交又對(duì)稱的緊支撐的2尺度小波.因此,人們提出了a尺度小波理論[6].小波包具有對(duì)高頻部分提供更精細(xì)分解的功能,這種分解既無(wú)冗余,也無(wú)疏漏,對(duì)包含大量中、高頻信息的信號(hào)能進(jìn)行更好的時(shí)頻局部化分析,因而被廣泛應(yīng)用于圖像壓縮、信號(hào)處理和編碼理論中[7]。a尺度正交小波包應(yīng)用上靈活性較強(qiáng),可以同時(shí)具有緊支撐性、正交性和對(duì)稱性.本文基于雙向小波理論[8-10]和雙正交雙向小波的構(gòu)造理論[11],通過(guò)張量積構(gòu)造a尺度二維四向小波,建立了a尺度二維四向具有緊支撐解的充要條件,給出了二維四向加細(xì)函數(shù)的緊支撐區(qū)間及二維四向雙正交小波的概念和二維四向小波包的定義,并給出了兩個(gè)構(gòu)造實(shí)例.

?f(x1,x2),g(x1,x2)∈L2(2),定義內(nèi)積如下：

(1)

(2)

設(shè)F和G是兩個(gè)一元函數(shù)空間,F的基底是{fk(x)}k∈,G的基底是{gk(y)}k∈,則以{fk(x)gk(y)}k∈為基底的二元函數(shù)空間H稱為空間F和G的張量積空間,表示為H=F?G.對(duì)于二元函數(shù)f(x,y),引入記號(hào)φ(x,y)=φ(x)φ(y).

1 二維四向加細(xì)尺度函數(shù)

本文基于文獻(xiàn)[10]提出的雙向加細(xì)函數(shù)和雙向加細(xì)小波理論,利用兩個(gè)一元a尺度雙向單小波φ(x)和φ(y),通過(guò)它們的張量積構(gòu)造二維空間上的細(xì)分函數(shù).

設(shè)雙向細(xì)分函數(shù)φ(x)和φ(y)分別滿足如下細(xì)分方程:

(3)

(4)

由φ(x,y)=φ(x)φ(y)得

其中:

對(duì)式(6)變形有：

對(duì)式(8)～(10)兩邊都做Fourier變換得：

令

Γ(x1,x2)=(φ(x1,x2),φ(x1,-x2),φ(-x1,x2),φ(-x1,-x2))T,

(14)

結(jié)合式(6),(8)～(10)可得

(15)

因此,方程(15)的頻域形式為

Γ(ω1,ω2)=

(16)

其加細(xì)面具為

(17)

定義方程(6)的自相關(guān)矩陣如下：

(18)

其中：Ω11=〈φ(x1,x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω12=〈φ(x1,x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω13=〈φ(x1,x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω14=〈φ(x1,x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω21=〈φ(x1,-x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω22=〈φ(x1,-x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω23=〈φ(x1,-x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω24=〈φ(x1,-x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω31=〈φ(-x1,x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω32=〈φ(-x1,x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω33=〈φ(-x1,x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω34=〈φ(-x1,x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉;Ω41=〈φ(-x1,-x2),φ(x1-k1,x2-k2)〉;Ω42=〈φ(-x1,-x2),φ(x1-k1,k2-x2)〉;Ω43=〈φ(-x1,-x2),φ(k1-x1,x2-k2)〉;Ω44=〈φ(-x1,-x2),φ(k1-x1,k2-x2)〉.

引入變換算子τ:

(19)

其中Ω(ω1,ω2)是P(ω1,ω2)的Laurent多項(xiàng)式方陣,P(ω1,ω2)由式(19)給出,于是由Poisson求和算子得

(20)

進(jìn)一步可知Ω(ω1,ω2)是變換算子τ相應(yīng)特征值為1的矩陣.

定理1由式(6)給出的加細(xì)方程有緊支撐解當(dāng)且僅當(dāng)其面具符號(hào)滿足下列4種情形之一：

(21)

證明：由張量積的定義易得.

2 二維四向多分辨分析

定義1設(shè)φ(x1,x2)∈L2(2),定義子空間序列{Vj}j∈?L2(2)：

由定義1,生成L2(2)中的一個(gè)多分辨分析當(dāng)且僅當(dāng)式(22)定義的{Vj}j∈滿足下列條件：

1) …?V-1?V0?V1?…；

4)f(x1,x2)∈Vj?f(ax1,ax2)∈Vj+1；

5) 存在L2(2)中的一個(gè)函數(shù)φ(x1,x2),使集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基.于是,可找到兩個(gè)常數(shù)0

(23)

定理3設(shè)尺度函數(shù)φ(x1,x2)∈L2(2)滿足多分辨分析,構(gòu)成V0的一組Riesz基,定義}.如果存在函數(shù)集合{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,則

證明：因?yàn)榧蟵φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,因此對(duì)于任意的f(x1,x2)∈V0,存在兩個(gè)常數(shù)0

從而對(duì)任意的f(x1,x2)∈Vj,有

定理4設(shè)φ(x1,x2)∈L2(2)滿足式(6),由式(22)定義Vj,如果存在函數(shù)集{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基,對(duì)于所有的有界；且在(0,0)附近連續(xù),則2).

證明：由{φ(x1-k1,x2-k2),φ(x1-k1,k2-x2),φ(k1-x1,x2-k2),φ(k1-x1,k2-x2):k1,k2∈}是V0的Riesz基知,存在正常數(shù)A≤B<∞,使得對(duì)于任意函數(shù)向量f(x1,x2)∈V0,有

則對(duì)任意函數(shù)向量f(x1,x2)∈Vj,有

設(shè)Pj是Vj的正交投影算子,則對(duì)所有的j∈,由有

另一方面,有

其中

綜上,有

從而

于是,

3 雙正交二維四向加細(xì)函數(shù)與小波

定理5[8-11]若二維四向加細(xì)函數(shù)φ(x1,x2)是正交的,則下列等式成立：

(25)

(26)

(27)

證明：由文獻(xiàn)[11]的定理1和式(25),(26)的正交和雙正交定義易證.

在式(28),(29)兩邊做Fourier變換,有

其中：

(31)

其中：h,l,s=1,2,…,a-1;γ,k,t=1,2,3.

(32)

(33)

證明：由式(31)的正交性易得.

4 分解與重構(gòu)算法

同理有：

其中:h=1,2,…,a-1;γ=1,2,3.

于是

5 構(gòu)造算法

證明：由式(27)不難驗(yàn)證:

同理,構(gòu)造：

(36)

(37)

證明：由式(31),(32)易得.

6 二維四向小波包

先引入下列記號(hào)：

對(duì)應(yīng)的Fourier形式為：

由命題2,可得：

其中加細(xì)面具符號(hào)為：

(44)

(45)

式中:h=0,1,…,a-1;γ=0,1,2,3.則有

(46)

其中:m,n=0,1,…,a-1;s,t=0,1,2,3.式(46)等價(jià)于

其中:h=0,1,…,a-1;γ=0,1,2,3;n1,n2∈.

引理1[12]對(duì)?n∈+進(jìn)行a進(jìn)制展開：

(47)

式(47)是一個(gè)有限和,并且展開式是唯一的.

(48)

證明: 1) 當(dāng)n=0時(shí),式(48)顯然成立；

2) 當(dāng)0≤n≤aS0(S0為某個(gè)正常數(shù))時(shí),式(48)成立;當(dāng)aS0≤n≤aS0+1時(shí),由引理1,有aS0-1≤[n/a]≤aS0([x]表示不超過(guò)x的最大正整數(shù)),則有n=a[n/a]+λ,λ=0,1,…,a-1.用數(shù)學(xué)歸納法即證結(jié)論.

(49)

其中：k1,k2,n1,n2∈;m,n∈.

(50)

7 構(gòu)造算例

例1構(gòu)造兩尺度二元正交小波,其兩尺度符號(hào)如下：

用定理9的構(gòu)造算法,可通過(guò)正交二元小波的兩尺度符號(hào)構(gòu)造二元四向加細(xì)函數(shù)的面具符號(hào),從而生成正交的二元四向加細(xì)函數(shù),可構(gòu)造3組不同的二元四向加細(xì)函數(shù)的面具符號(hào).這里只列出其中之一,其他同理可得.解方程組得

進(jìn)一步得：

其中

其特征值為1,0,0.5,0,滿足重構(gòu)條件,所以P+,+(ω1,ω2),P+,-(ω1,ω2),P-,+(ω1,ω2),P-,-(ω1,ω2)生成一個(gè)正交二元四向細(xì)分函數(shù).

例2構(gòu)造兩尺度二元雙正交小波,由文獻(xiàn)[7]的例子：

構(gòu)造得：

[1] Chui C K.A Introduction to Wavelet [M].Boston: Academic Press,1992.

[2] Coifman R R,Meyer Y,Wickerhauser M V.Wavelet Analysis and Signal Processing [C]//Wavelets and Their Applications.Boston: Jones and Barlett Learning,1992.

[3] Martin M B,Bell A E.New Image Compression Technique Using Multiwavelet Packets [J].IEEE Transactions on Image Processing,2001,10(4): 500-511.

[4] Coifman R R,Meyer Y,Quake S,et al.Signal Processing and Compression with Wavelet Packets [C]//Wavelets Analysis and Application.Berlin: Springer-Verlay,1992: 77-93.

[5] Daubechies I.Ten Lectures on Wavelets [M].CBMSNSF Series in Applied Math 61.Philadelphia: SIAM,1992.

[6] LIAN Jian-ao.Orthorogonal Criteria for Multi-scaling Functions [J].Appl Comp Harm Anal,1998,5(3): 277-311.

[7] Cohen A,Daubeches I.On the Instability of Arbitrary Biorthogonal Wavelet Packets [J].SIAM J Math Anal,1993,24(5): 1340-1354.

[8] YANG Shou-zhi.Biorthogonal Two-Direction Refinable Function and Two Direction Wavelet [J].Applied Math and Computation,2006,182(2): 1717-1724.

[9] YANG Shou-zhi,LI You-fa.Two-Direction Refinable Functions and Two-Direction Wavelet with Dilation Factorm[J].Applied Math and Computation,2007,188(1): 1908-1920.

[10] YANG Shou-zhi,LI You-fa.Two-Direction Refinable Function and Two-Direction Wavelet with High Approximation Order and Orthogonal [J].Science in China Series A: Mathematics,2007,37(7)：779-795.(楊守志,李尤發(fā).具有高逼近階和正則性的雙向加細(xì)函數(shù)和雙向小波 [J].中國(guó)科學(xué)A輯：數(shù)學(xué),2007,37(7)：779-795.)

[11] XIE Chang-zhen.Constrution of Biorthogonal Two-Direction Refinable Function and Two-Direction Wavelet with Dilation Factorm[J].Computers and Mathematics with Application,2008,56(7): 1845-1851.

[12] YANG Shou-zhi,CHENG Zheng-xing.Orthonormal Multi-wavelet Packets with Scalea[J].Mathematica Applicata,2000,13(1): 61-65.(楊守志,程正興.a尺度多重正交小波包 [J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2000,13(1): 61-65.)

[13] LI Lan,CHEN Qing-jiang,LI Na,et al.Biorthogonal Two-Direction Wavelet Packets with a Positive Integer Dilation Factor [J].Chinese Journal of Engineering Mathematics,2010,27(5): 901-910.