計算分岔規范型和普適開折的同調方法

彭國俊,陳潮填

(廣東技術師范學院 計算機科學學院,廣州 510665)

0 引 言

考慮如下向量場：

(1)

其中：x∈n,n≥2;α∈2;f:n×2→n充分光滑.向量場(1)在變換x→-x下保持不變,當α=α*時有平衡點x=0,f的Jacobi矩陣J在(x,α)=(0,α*)處非零并且有二重零特征值.文獻[1-4]給出了向量場(1)的規范型和普適開折如下：

其中：當n=2時,ω=x；當n>2時,ω為限制在分岔中心流形上的狀態變量.關于式(3)的分岔結構,可參考文獻[5-6].一般的參數向量場(1)可約化為規范型(2),必須要求分岔是非退化的,而進一步可約化為普適開折(3)并且遍歷其所有分岔結構,還要求分岔是橫截的.目前,對于非對稱情形的規范型已有一些顯式計算結果[7-10],而對于對稱情形的規范型尤其是普適開折的顯式計算還未見文獻報道.

為計算方便及顯式地檢驗非退化條件,本文采用如下規范型和普適開折：

容易驗證,采用如下線性坐標和時間變換：

1 規范型的計算公式

當考慮規范型時,分岔參數取臨界參數值,即α=α*.由向量場(1)的對稱性,可將其展開為如下形式：

(6)

定理1設向量場(1)相應于double-zero分岔的規范型為式(4),則其系數計算公式如下：

其中：qi和pi(i=1,2)分別是矩陣A和AT的廣義特征向量,且滿足：

Aq1=0,Aq2=q1,ATp2=0,ATp1=p2,

(9)

(10)

證明：假設此臨界情形時的中心流形如下：

x=H(ω),H:2→n.

(11)

將式(11)代入式(6),根據臨界中心流形的不變性可得如下同調方程：

(12)

由向量場(1)的對稱性,H可以表示為如下形式：

(13)

于是可得式(8).證畢.

若進一步有c30c21≠0,則對應的double-zero分岔是非退化的,即余維2的.

2 普適開折的計算公式

此時,參數α在臨界值α*附近擾動.引入Δ=α-α*,由向量場(1)的對稱性,將其展開為如下形式：

(16)

定理2設向量場(1)相應的double-zero分岔是非退化的,且具有普適開折(5).將原始參數與開折參數間的關系表示為η=V-1(Δ),并進一步采用如下平方逼近：

(17)

則線性項系數a和b由如下線性代數方程的解唯一給出：

二次項系數c,d和e由如下線性代數方程的解唯一給出：

其中hijkl(i+j=1,k+l=1)是如下奇異線性代數方程的任意解：

證明：假設參數依賴的中心流形如下：

x=H(ω,η),H:2×2→n.

(30)

將式(30)代入式(16),根據此時參數依賴中心流形的不變性,可得如下同調方程：

由向量場(1)的對稱性,H可以表示為如下形式：

(32)

根據Fredholm擇一性定理,上述奇異線性方程都是可解的.

(43)

(44)

將方程(48)～(50)分別代入式(45)～(47),并消除h10kl(k+l=2),即得方程(25)～(27).于是確定了參數變換Δ=V(η),從而可求得普適開折參數η=V-1(Δ).分岔的橫截性條件為

如果向量場(1)的double-zero分岔是非退化和橫截的,則當分岔參數α在α*附近擾動時,普適開折(5)對不同的c30(Δ)和c21(Δ),其分岔圖和相圖的拓撲結構都與c30=c30(0)和c21=c21(0)時相同.

3 應用實例

考慮如下改變的van der Pol振子[7]：

(51)

其中：s和t為任意非零實數.多線性函數C,A1,C1和A2按下式計算：

C1=A2=0.

由式(7),(8),立即可得規范型系數

因此,當m≠-n,m+n≠r(m-n)時,分岔是非退化的.擾動參數如下：

橫截性滿足,因為

因此,當m≠-n,m+n≠r(m-n)時,δ和β可以作為分岔參數,使系統(51)產生完整的double-zero分岔.取(m,n,r)=(-2,-1,1),根據文獻[6],對應的分岔為異宿情形,計算可得如圖1所示的分岔曲線：

圖1 系統(51)在(δ,β,m,n,r)=(-1,1,-2,-1,1)附近以(δ,β)為分岔參數的分岔曲線Fig.1 Bifurcation curves of system (51) at (δ,β,m,n,r)=(-1,1,-2,-1,1) with bifurcation parameter (δ,β)

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