順 從 算 子 的 穩 定 性

石洛宜,武玉婧

(1.天津工業大學 理學院,天津 300387;2.天津職業大學 基礎部,天津 300402)

Johnson[1]首先在Banach代數上引入了算子順從性的概念.之后,Bade等[2]和Monfared[3]在Banach代數上分別引進了弱順從性和特征順從性的概念.目前，算子代數的順從性及順從性相關的性質已引起人們廣泛關注,并取得了許多研究結果,推動了C*代數、Von Neumman代數和抽象調和分析的發展[1,4-5].具有順從性的算子代數都相似于C*代數,但“每個具有順從性的算子代數是否都一定相似于一個C*代數”的猜測目前還沒有完全解決.

B(H )中由單個算子生成的Banach代數是B(H )的一類特殊Banach子代數.假設T∈B(H ),令AT表示由T生成的Banach子代數,若AT是順從(弱順從或特征順從)的,則稱T是順從(弱順從或特征順從)的;如果Aπ(T)是順從(弱順從或特征順從)的(π(T)表示T在Calkin代數中的像),則稱T是本性順從(弱順從或特征順從)的.Willis[6]首次研究了緊算子的順從性,并且得到了緊算子是順從的當且僅當其相似于正規算子.Farenick等[7]利用譜的語言給出了正規算子的順從和弱順從性以及上三角算子順從性的完全刻劃,證明了:

1) 如果T是順從的,則T的譜σ(T)沒有內點并且補集連通;

2) 如果T是一個正規算子,則T是順從的當且僅當T是弱順從的,當且僅當T是特征順從的,當且僅當σ(T)沒有內點且補集連通;

3) 上三角算子T是順從的當且僅當T相似于一個正規算子,并且σ(T)沒有內點且補集連通.

如果σ(T)沒有內點且補集連通,則T一定是雙擬三角算子.即各種順從算子都是雙擬三角算子.本文研究B(H )中所有順從(弱順從、特征順從)算子構成的集合在B(H )中的百分比,并進一步研究順從算子在各種相似意義下的穩定性.結果表明,各種順從算子在取極限意義下都是不穩定的.

1 引 理

若A是一個含單位元的Banach代數,對任意的T∈A,令σA(T)表示T相對于A的譜.特別地,如果取A=B(H ),令σ(T)表示T相對于B(H )的譜.對任意的T∈B(H ),令σe(T)表示π(T)相對于Calkin代數的譜.如果RanT是閉的,而且nulT和nulT*中至少有一個有限的,則稱T是一個半Fredholm算子;此時,indT∶=nulT-nulT*稱為T的指標;ρs-F(T)∶={λ∈:λ-T是一個半Fredholm 算子}稱為T的半Fredholm域.如果對任意的λ∈ρs-F(T),indλ-T≥0,則稱T是擬三角的;如果對任意的λ∈ρs-F(T),indλ-T=0,則稱T是雙擬三角的.假設A是B(H )的一閉子代數,記A的換位代數

A ′∶={B∈B(H ):AB=BA,?A∈A }.

設M是H的一閉子空間,如果對任意的A∈A,均有AM?M,則稱M是A的一不變子空間.記Lat A表示A所有不變子空間構成的集合,并稱為A的不變子空間格;Lat A ′中每個元素稱為A的一個超不變子空間.如果對任意的M∈Lat AT,存在N∈Lat AT，使得MN=H,則稱算子T∈B(H )是Banach 約化的.

則稱T與S是近似相似的;如果存在單射稠值域的算子X和Y,使得TX=XS,YT=SY,則稱T與S是擬相似的.

引理1[3,7]設A,B是交換的Banach代數,φ: A→B是連續的同態,并且φ(A )在B中稠.如果A是順從(弱順從或特征順從)的,則B也是順從(對應的弱順從或特征順從)的.

引理2[3,5]設A是一個交換的Banach代數,I是A的一個雙邊閉理想,滿足A/I和I都是順從(弱順從或特征順從)的,則A也是順從(對應的弱順從或特征順從)的.

由引理1和引理2可得:

引理3設T∈B(H ).如果T是順從(弱順從或特征順從)的,則:

1) 對所有的λ∈,λT也都是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

2) 對所有的λ∈,λI+T也都是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

3) 對所有B(H )中的可逆算子S,STS-1也都是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

4) 如果M是T的不變子空間,則T|M也是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

5)π(T)也是順從(對應的弱順從或特征順從)的;

6)T*也是順從(對應的弱順從或特征順從)的.

引理4假設A是一個含有單位元的Banach代數,T∈A是順從(弱順從或特征順從)的,則σAT(T)=σA(T)沒有內點且補集連通.

推論1假設T是一個順從算子,并且從AT到(σ(T))的Genlfand變換是下方有界的,則T相似于一個正規算子.

證明: 根據引理4,σ(T)是補集連通的且沒有內點.此外,由于Genlfand變換是下方有界的,即存在K>0,使得對任意的多項式p,‖p(T)‖≤K‖p‖∞,這里‖·‖∞表示極大模范數.從而σ(T)是T的K-譜集[8].再利用σ(T)沒有內點且補集連通,由文獻[9]中定理4可知,T相似于一個正規算子.

注1假設T∈B(H )相似于一個正規算子,且σ(T)沒有內點補集連通,根據文獻[10]中定理8.7知,AT相似于一個C*代數.反之,若T是一個順從算子,且AT相似于一個C*代數,根據推論1,T必相似于一個正規算子.綜上可知,對于單生成的Banach算子代數,每個順從算子代數都相似于C*代數的猜想等價于每個順從算子都相似于一個正規算子.

如果存在另外一個Hilbert算子H0和T0∈B(H0)及T0的一個不變子空間M,使得T酉等價于T0|M,則稱算子T∈B(H )是次正規的;如果T(T*T)1/2=(T*T)1/2T,則稱算子T是擬正規的.由于任意的次正規或擬正規算子都滿足推論1的條件,因此根據推論1和Putnam-Fuglede定理可知,如果T是次正規或擬正規算子,則T是順從的當且僅當T是正規的.

2 各種順從算子在B(H )中的百分比

由引理4可見,若T是一個順從、弱順從或特征順從算子,則T必是一個雙擬三角算子.記QT,BQT,AM,WAM,CAM分別表示B(H )中所有擬三角、雙擬三角、順從、弱順從和特征順從算子構成的集合.記EAM,EWAM,ECAM分別表示B(H )中所有使得其在Calkin代數A(H )中的像是順從、弱順從和特征順從算子構成的集合.下面研究這些集合的閉包、內點以及它們之間的集合包含關系.

定理1假設H是一個無窮維的Hilbert空間,則有下列集合包含關系:

1)AM?WAM?BQT?QT;

2)AM?CAM?BQT?QT;

3)EAM?EWAM?BQT?QT;

4)EAM?ECAM?BQT?QT;

5)CAM0=WAM0=AM0=?;

證明: 假設T屬于AM(WAM,CAM,EAM,EWAM或ECAM),根據引理1和引理4,1)～4)的包含關系顯然.

下面證明5).根據1),2)易知WAM0?AM0,CAM0?AM0,因此只需證明CAM0=WAM0=?即可.任取T∈B(H ),假設λ0∈σle(T),根據文獻[11]中定理3.49,對任意的ε>0,存在一無窮維Hilbert空間Hε?H及B(H )中的緊算子K1,使得‖K1‖<ε/2,(T+K1)Hε?Hε,并且T+K1在Hε上的限制Tε=(T+K1)|Hε=λ0I.此時任取Hε上一非零的緊冪零算子K2滿足‖K2‖<ε/2,根據引理3和文獻[6]可知,Tε+K2一定不是特征順從或弱順從的.從而根據引理3可知T+K1+(K2⊕0)不是特征順從或弱順從的.即CAM0=WAM0=?成立.

下面證明6).根據文獻[11]中定理6.15,

利用1)～4)及5)的證明和文獻[7]易知,

利用引理3可知,

AM?EAM,WAM?EWAM,CAM?ECAM,

從而

下面用反證法證明

假設存在一列{Tn}?B(H ),Tn→T,并且使得每個π(Tn)都是順從(對應的弱順從或特征順從)的,但T?BQT.即存在k≠0及σ(T)中的一個開區域Ω,使得對任意的λ∈Ω,ind(λ-T)=k.由于π(Tn)是順從(弱順從或特征順從)的,根據引理4,σe(Tn)沒有內點補集連通.此外,由于Tn→T,根據指標的穩定性,存在Ω的一個子區域Ω1和N>0,使得對任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)≠0.

情形1) 如果對任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)=+∞或ind(λ-Tn)=-∞,則對任意的n>N,Ω1?σe(Tn);

情形2) 如果對任意的n>N及λ∈Ω1,ind(λ-Tn)<+∞且ind(λ-Tn)>-∞,則當n>N時,σe(Tn)補集一定是不連通的.因此,當n>N時,σe(Tn)或者有內點或者補集不連通,這與σe(Tn)沒有內點補集連通矛盾.所以

注2由定理1可見,B(H )中所有順從(弱順從或特征順從)算子在BQT中是稠的,其補集在BQT中是稠的.即順從(弱順從或特征順從)算子和非順從(弱順從或特征順從)算子所構成的集合均沒有內點.因此,順從、弱順從和特征順從性在取極限的意義下都是不穩定的.

3 穩定性

對于Hilbert空間上的算子,相似和酉等價是重要的等價關系,此外還有許多其他等價關系.本文主要研究順從性在各種等價關系下的穩定性.

根據引理3可知,若T是一個順從(弱順從或特征順從)算子,S與T相似(酉等價),則S也是一個順從(對應的弱順從或特征順從)算子.

定理2假設T和S是近似相似的,且T是順從(弱順從或特征順從)算子,則S也是順從(對應的弱順從或特征順從)算子.

證明: 由T和S是近似相似的,存在常數K>0和可逆算子列{Xn},使得

定義從AT到AS的映射φ: AT→AS,其中對任意的多項式p,φ(p(T))=p(S).由于對任意的多項式p,‖p(S)‖

下面舉例說明各種順從性在漸近相似和擬相似下都是不穩定的.

注3綜上可知,順從、弱順從和特征順從性在相似、酉等價、漸近酉等價和近似相似這些等價關系下都是穩定的;在漸近相似和擬相似這些等價關系下是不穩定的.根據文獻[14]中引理3.9和引理3.13,雖然順從性在擬相似下是不穩定的,但與正規算子或緊算子擬相似的算子如果是順從的,則一定相似于正規算子.

命題1假設T是一個順從算子,且存在正規算子N及可逆算子列{Xn},{Yn},使得

即T與N漸近相似.如果Xn或Yn不按弱算子拓撲收斂到0,則存在T的不變子空間M≠{0},使得T|M相似于一個正規算子.

證明: 不失一般性,可以假設Xn是有界序列,并且不按弱算子拓撲收斂到0.從而存在X0≠0及{Xn}的子列{Xnk},使得Xnk按弱算子拓撲收斂到X0,于是可知X0T=NX0.此外,T與N是漸近相似的,根據譜的上半連續性可知σ(T)=σ(N).令A=N⊕T,直接驗證易得AA和AT是同構的,從而A也是一個順從算子.根據文獻[14]中定理3.11的證明過程易知,存在T的不變子空間M≠{0},使得T|M相似于一個正規算子.

命題1表明若順從算子T與一個正規算子漸近相似且滿足一定的條件,則T一定有相似于正規的部分.

[1] Johnson B E.Cohomology in Banach Algebras [M].Providence: American Mathematical Society,1972.

[2] Bade W G,Curtis P C,Dales H G.Amenability and Weak Amenability for Beurling and Lipschitz Algebras [J].Proc London Math Soc,1987,55(3): 359-377.

[3] Monfared M S.Character Amenability of Banach Algebras [J].Math Proc Cambridge Philos Soc,2008,144(3): 697-706.

[4] Pier J.Amenable Banach Algebras [M].Pitman Research Notes in Mathematics Series.Vol.172.Harlow: Longman Scientific &Technical,1988.

[5] Runde V.Lectures on Amenability [M].Lecture Notes in Mathematics.Vol.1774.Berlin: Springer-Verlag,2002.

[6] Willis G A.When the Algebra Generated by an Operator Is Amenable [J].J Operator Theory,1995,34(2): 239-249.

[7] Farenick D R,Forrest B E,Marcoux L W.Amenable Operators on Hilbert Apaces [J].J Reine Angew Math,2005,2005: 201-228.

[8] Mlak W.Partitions of Spectral Sets [J].Ann Polon Math,1971,25: 273-280.

[9] Douglas R G.On Operators Similar to Normal Operators [J].Rev Roumaine Math Pures Appl,1969,14: 193-197.

[10] Gamelin T W.Uniform Algebras [M].Englewood Cliffs: Prentice-Hall Inc,1969.

[11] Herrero D A.Approximation of Hilbert Space Operators [M].Vol.1.Pitman Research Notes in Mathematics Series.Vol.224.2nd ed.Harlow: Longman Scientific &Technical,1989.

[12] JI You-qing,SHI Luo-yi.Amenable Operators on Hilbert Spaces [J].Houston Journal of Mathematics,2012,38(4): 1165-1183.

[13] Apostol C,Fialkow L A,Herrero D A,et al.Approximation of Hilbert Space Operators: Vol.Ⅱ [M].Research Notes in Mathematics.Vol.102.Boston: Pitman (Advanced Publishing Program),1984.

[14] SHI Luo-yi,WU Yu-jing,JI You-qing.Invariant and Hyperinvariant Subspaces for Amenable Operators [J].J Operator Theory,2013,69(1): 87-100.