時標線性微分方程組的Massera準則

張 宇,索忠林,任 彪

(1.空軍航空大學 基礎部,長春 130022；2.山西建筑職業(yè)技術(shù)學院,太原 030006)

在微分方程理論中,周期解的存在性研究已取得了豐富成果.Massera[1]證明了常微分方程x′=A(t)x+f(t)存在ω-周期解的充要條件是方程有一個在1上有界的解;文獻[2-3]對其進行了不同形式的推廣;Hilger[4]初步建立了時標上動態(tài)方程的基本理論.目前對時標理論的研究已引起人們廣泛關(guān)注[5-7].本文討論時標線性微分方程組的Massera準則.

參考文獻[8],時標理論的相關(guān)定義及性質(zhì)如下.

定義1時間標度(time scales)簡稱時標,即實數(shù)集的任意一個非空閉子集,用 T表示.

定義2令 T是一個時標,對t∈T,前向跳躍算子σ: T→T,后向跳躍算子ρ: T→T和步差函數(shù)μ: T→[0,∞)分別由σ(t)∶=inf{s∈T:s>t},ρ(t)∶=sup{s∈T:s

下面考慮定義在時標上的函數(shù)f,可以定義它在點t∈Tk處的Δ導數(shù).

定義3設函數(shù)f: T→n,t∈Tk,對任意的ε>0,存在t的鄰域U,使得對任意的s∈U,有|[f(σ(t))-f(s)]-fΔ(t)[σ(t)-s]|≤ε|σ(t)-s|成立,則稱f在t處Δ可導.

注11) 令 T=,則σ(t)=t,μ(t)=0,fΔ=f′是通常意義下的導數(shù);2) 令 T=,則σ(t)=t+1,μ(t)=1,fΔ=Δf是通常意義下的前移差分算子.

定義4設f(t)在 T上有定義,如果存在一個不為零的常數(shù)ω,使得當t∈T時,f(t+ω)=f(ω)都成立,則稱函數(shù)f(t)為ω-周期函數(shù).

下面給出本文的主要結(jié)果.考慮一階線性時標微分方程組

yΔ=A(t)y+f(t),y(t0)=y0,

(1)

其中:A(t)為 T上的n×n矩陣值函數(shù);A: T→n×n和f: T→n是右連續(xù)的;t0∈T;y0∈n.則由常數(shù)變易公式,方程(1)有唯一解y: T→n,且其解為

(2)

其中ΦA(t,t0)是初值問題yΔ=A(t)y,y(t0)=y0的基本解矩陣.顯然有下列性質(zhì):

Φ0(t,s)=I,ΦA(t,t)=I;

(3)

ΦA(t,s)ΦA(s,r)=ΦA(t,r).

(4)

定理1若A(t)和f(t)在 T上有定義,并且是ω-周期函數(shù),則方程組(1)存在ω-周期解的充要條件是方程(1)有一個在 T上的有界解.

證明：必要性顯然,只需證明充分性.

設y=y0(t)是方程(1)于 T上有界的解.由A(t)和f(t)在 T上是ω-周期函數(shù),對任意正整數(shù)k,y0(t+(k-1)ω)是滿足初始條件y0=y0((k-1)ω)的解,則由式(2)及式(4)有

從而

y0(kω)=ΦA(ω,0)y0((k-1)ω)+v,k=1,2,3,…,

(5)

聯(lián)合式(5),(6)可得

uTy0(kω)=uTy0(0)+kuTv,k=1,2,3,….

(8)

又由于式(7)成立,而y0(t)是有界的,故當k充分大時,式(8)不可能成立.從而方程(1)有ω-周期解.

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