回歸模型參數檢驗及多克隆抗體效價的回歸分析

彭毳鑫,杜泊船

(1.吉林師范大學 數學學院,吉林 四平 136000;2.吉林大學 生命科學學院,長春 130012)

線性回歸模型在生物學、氣象學、經濟學及地理學等領域應用廣泛.對于該模型的參數估計及相關假設檢驗方法的研究目前已取得了豐富的成果[1-8].經驗似然方法是Owen[1]提出的一種非參數統(tǒng)計推斷方法,與經典的或現代的統(tǒng)計方法相比,經驗似然方法有很多突出的優(yōu)點,如由經驗似然方法構造的置信域除了具有變換不變性、域保持性及置信域的形狀由數據自身決定外,還具有無需構造軸統(tǒng)計量等優(yōu)點.本文利用經驗似然方法研究響應變量Y與協(xié)變量X之間是否存在相關性的檢驗問題,建立了經驗似然比統(tǒng)計量,并在原假設下獲得了統(tǒng)計量的極限分布.

考慮一元線性回歸模型:

Y=α0+α1X+ε,

(1)

其中:X是協(xié)變量;α=(α0,α1)T是未知參數向量;ε是隨機誤差項,滿足Eε=0,Eε2=σ2.此外,假設ε和X相互獨立.

1 主要結果

假設(Yi,Xi)(i=1,2,…,n)是來自模型(1)的一組觀測樣本,考慮如下檢驗問題:

1)H0:α1=0 vsH1:α1>0或2)H0:α1=0 vsH1:α1<0.

其中Zi=(1,Xi)T.進一步,令

易證S1和S2是凸緊集,并且f(p)是一個凸函數.因此,存在

使得

f(p(1))=min{f(p):p∈S1},f(p(2))=min{f(p):p∈S2}.

L(p(1))=max{L(p):p∈S1},L(p(2))=max{L(p):p∈S2}.

因此,對于檢驗問題1),可建立如下非參數似然比檢驗統(tǒng)計量

(2)

假設如下條件成立:

對于非參數似然比統(tǒng)計量R(α1),有如下結果:

定理1假設條件(H1)成立,則對于任意的t>0,

由定理1,對于檢驗問題1),可以利用檢驗統(tǒng)計量-2logR(α1)進行檢驗.

引理1假設條件(H1)成立.則當n→∞時,有

由獨立同分布中心極限定理易證引理1成立.

定義

類似文獻[9]中定理1的經驗似然方法,可證明如下引理.

考慮如下優(yōu)化問題(P):

其中f(x),gi(x)和hj(x)在開集X?n中有定義,并且可行域D={x:gi(x)≥0,i=1,2,…,m}是X的子集.進一步,令I(x*)={i:gi(x*)=0},有:

下面證明定理1.

(3)

(4)

如果λ(2)<0,則g(p(2))=0.由式(3)可知

如果λ(2)<0,則

即定理1成立.

對于檢驗問題2),類似定理1易得如下結果:

定理2假設條件(H1)成立.則對于任意的t>0,

2 應 用

多克隆抗體是由多種B細胞產生的,可識別多種抗原決定簇的抗體集合.多克隆抗體由于具有可識別多個表位、可引起凝集反應和沉淀反應等優(yōu)點,廣泛應用于免疫學診斷領域.目前常用酶聯(lián)免疫吸附劑測定法進行多克隆抗體的效價測定.該方法采用抗原與抗體的特異反應將待測物與酶連接,然后通過酶與底物產生顏色反應,利用連接于固相載體上的抗體和酶標抗體分別與樣品中被檢測抗原分子上抗原決定簇結合,形成固相抗體-抗原-酶標抗體免疫復合物.復合物的形成量與待測抗原的含量成正比.測定復合物中的酶催化加入底物后生成的有色物吸光度值(OD值),即可確定待測抗原含量.仍能產生陽性結果的最大稀釋度,稱為該抗體的效價.通過對多克隆抗體稀釋倍數與OD值的回歸分析,可建立估算抗體效價的數學模型,以提高抗原效價的準確性和工作效率.利用本文給出的檢驗方法,對稀釋倍數與OD值之間的相關性進行檢驗,可得檢驗的p<0.01.檢驗結果表明,稀釋倍數與OD值之間存在顯著的相關性.進一步對實驗結果數據進行擬合,可得稀釋倍數與OD值之間的回歸方程為Y=5 984.498-2 332.248X,其中:Y表示稀釋倍數;X表示OD值.

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