回歸模型參數(shù)檢驗(yàn)及多克隆抗體效價(jià)的回歸分析

彭毳鑫,杜泊船

(1.吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000;2.吉林大學(xué) 生命科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

線性回歸模型在生物學(xué)、氣象學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)及地理學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.對(duì)于該模型的參數(shù)估計(jì)及相關(guān)假設(shè)檢驗(yàn)方法的研究目前已取得了豐富的成果[1-8].經(jīng)驗(yàn)似然方法是Owen[1]提出的一種非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷方法,與經(jīng)典的或現(xiàn)代的統(tǒng)計(jì)方法相比,經(jīng)驗(yàn)似然方法有很多突出的優(yōu)點(diǎn),如由經(jīng)驗(yàn)似然方法構(gòu)造的置信域除了具有變換不變性、域保持性及置信域的形狀由數(shù)據(jù)自身決定外,還具有無(wú)需構(gòu)造軸統(tǒng)計(jì)量等優(yōu)點(diǎn).本文利用經(jīng)驗(yàn)似然方法研究響應(yīng)變量Y與協(xié)變量X之間是否存在相關(guān)性的檢驗(yàn)問(wèn)題,建立了經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量,并在原假設(shè)下獲得了統(tǒng)計(jì)量的極限分布.

考慮一元線性回歸模型:

Y=α0+α1X+ε,

(1)

其中:X是協(xié)變量;α=(α0,α1)T是未知參數(shù)向量;ε是隨機(jī)誤差項(xiàng),滿足Eε=0,Eε2=σ2.此外,假設(shè)ε和X相互獨(dú)立.

1 主要結(jié)果

假設(shè)(Yi,Xi)(i=1,2,…,n)是來(lái)自模型(1)的一組觀測(cè)樣本,考慮如下檢驗(yàn)問(wèn)題:

1)H0:α1=0 vsH1:α1>0或2)H0:α1=0 vsH1:α1<0.

其中Zi=(1,Xi)T.進(jìn)一步,令

易證S1和S2是凸緊集,并且f(p)是一個(gè)凸函數(shù).因此,存在

使得

f(p(1))=min{f(p):p∈S1},f(p(2))=min{f(p):p∈S2}.

L(p(1))=max{L(p):p∈S1},L(p(2))=max{L(p):p∈S2}.

因此,對(duì)于檢驗(yàn)問(wèn)題1),可建立如下非參數(shù)似然比檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

(2)

假設(shè)如下條件成立:

對(duì)于非參數(shù)似然比統(tǒng)計(jì)量R(α1),有如下結(jié)果:

定理1假設(shè)條件(H1)成立,則對(duì)于任意的t>0,

由定理1,對(duì)于檢驗(yàn)問(wèn)題1),可以利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量-2logR(α1)進(jìn)行檢驗(yàn).

引理1假設(shè)條件(H1)成立.則當(dāng)n→∞時(shí),有

由獨(dú)立同分布中心極限定理易證引理1成立.

定義

類似文獻(xiàn)[9]中定理1的經(jīng)驗(yàn)似然方法,可證明如下引理.

考慮如下優(yōu)化問(wèn)題(P):

其中f(x),gi(x)和hj(x)在開(kāi)集X?n中有定義,并且可行域D={x:gi(x)≥0,i=1,2,…,m}是X的子集.進(jìn)一步,令I(lǐng)(x*)={i:gi(x*)=0},有:

下面證明定理1.

(3)

(4)

如果λ(2)<0,則g(p(2))=0.由式(3)可知

如果λ(2)<0,則

即定理1成立.

對(duì)于檢驗(yàn)問(wèn)題2),類似定理1易得如下結(jié)果:

定理2假設(shè)條件(H1)成立.則對(duì)于任意的t>0,

2 應(yīng) 用

多克隆抗體是由多種B細(xì)胞產(chǎn)生的,可識(shí)別多種抗原決定簇的抗體集合.多克隆抗體由于具有可識(shí)別多個(gè)表位、可引起凝集反應(yīng)和沉淀反應(yīng)等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于免疫學(xué)診斷領(lǐng)域.目前常用酶聯(lián)免疫吸附劑測(cè)定法進(jìn)行多克隆抗體的效價(jià)測(cè)定.該方法采用抗原與抗體的特異反應(yīng)將待測(cè)物與酶連接,然后通過(guò)酶與底物產(chǎn)生顏色反應(yīng),利用連接于固相載體上的抗體和酶標(biāo)抗體分別與樣品中被檢測(cè)抗原分子上抗原決定簇結(jié)合,形成固相抗體-抗原-酶標(biāo)抗體免疫復(fù)合物.復(fù)合物的形成量與待測(cè)抗原的含量成正比.測(cè)定復(fù)合物中的酶催化加入底物后生成的有色物吸光度值(OD值),即可確定待測(cè)抗原含量.仍能產(chǎn)生陽(yáng)性結(jié)果的最大稀釋度,稱為該抗體的效價(jià).通過(guò)對(duì)多克隆抗體稀釋倍數(shù)與OD值的回歸分析,可建立估算抗體效價(jià)的數(shù)學(xué)模型,以提高抗原效價(jià)的準(zhǔn)確性和工作效率.利用本文給出的檢驗(yàn)方法,對(duì)稀釋倍數(shù)與OD值之間的相關(guān)性進(jìn)行檢驗(yàn),可得檢驗(yàn)的p<0.01.檢驗(yàn)結(jié)果表明,稀釋倍數(shù)與OD值之間存在顯著的相關(guān)性.進(jìn)一步對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合,可得稀釋倍數(shù)與OD值之間的回歸方程為Y=5 984.498-2 332.248X,其中:Y表示稀釋倍數(shù);X表示OD值.

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