離散周期系統多重正解的存在性

張 麗 娟

(白城師范學院 數學學院,吉林 白城 137000)

0 引言及預備知識

目前,關于非線性離散周期問題的研究已有許多結果[1-8].本文考慮周期系統:

(1)

其中:

ak(i+T)=ak(i);fk(i+T,x,y)=fk(i,x,y);k=1,2;T>0.

(2)

本文討論系統(1)非線性項在x=0處具有奇性,在x=+∞處是超線性的,利用Krasnoselskii不動點定理證明了系統(1)在一定的條件下存在周期正解.

1)x≠λφx,?λ∈[0,1],x∈K∩?Ωr;

2) 存在ψ∈K{0},使得x≠φx+δψ,?x∈K∩?ΩR,δ≥0.

注1在引理1中,若將1),2)分別替換為下列條件,則φ在K∩(x∈X:r<‖x‖

1 主要結果

假設條件:

(H0)fk:Z(-∞,+∞)×[0,+∞){0}→[0,+∞)是連續的,ak(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞)),ak(i+T)=ak(i)fk(i+T,x,y)=fk(i,x,y),k=1,2,T>0;

(3)

(H3) 存在p>0,使得當σ1p≤x≤p,σ2p≤y≤p時,fk(i,x,y)

(H4) 存在p>0,使得當σ1p≤x≤p,σ2p≤y≤p時,fk(i,x,y)>ak(i),0≤i≤T-1.

因此,求解離散方程組(1)的周期正解等價于求解下列方程組的周期正解:

(4)

注意到式(4)等價于方程(x,y)=φ(x,y),其中φ由下式定義:

?(x,y)∈X.

顯然,φ是連續的且為X上的全連續算子.

設K1={x∈Y:x(i)≥0且x(i)≥δ1‖x‖},K2={y∈Y:y(i)≥0且y(i)≥δ2‖y‖},K=K1×K2,其中δk(k=1,2)由式(3)定義,易證K是X中的錐.

引理2假設條件(H0)成立,則φ(K)?K.

證明：對任意的x∈K1,有

則(φx)(i)≥(A1/B1)‖φx‖=δ1‖φx‖,類似地有(φy)(i)≥(A2/B2)‖φy‖=δ2‖φy‖,因此φ(x,y)∈K.

定理1假設條件(H0),(H1),(H3)成立,則方程組(1)至少有兩個正解(x1,y1),(x2,y2),且0<(x1,y1)

證明：由(H1)的第一個不等式知,存在00,使得fk(i,x,y)≥ak(i)(1+ε),0≤x,y≤r,k=1,2.令ψ=(1,1),往證

u≠φu+δψ, ?u∈K∩?Ωr,δ≥0.

(5)

假設式(5)不成立,則存在u0=(x0,y0)∈K∩?Ωr及δ0≥0,使得u0=φu0+δ0ψ.由

f1(j,x(j),y(j))≥a1(j)(1+ε), 0≤x,y≤r,j∈Z(-∞,+∞),

即u≥u(1+ε),矛盾.

下證存在

p>0,u≠λφu, ?u∈K∩?Ωp,λ∈[0,1].

(6)

假設式(6)不成立,即?u0=(x0,y0)∈K∩?Ωp,λ0∈[0,1],使得u0=λ0φu0.不妨設λ0>0,由于u0=(x0,y0)∈K∩?Ωp,且‖(x0,y0)‖=p.不失一般性,設‖x0‖=p,即?j∈Z(-∞,+∞),有δ1p≤x0(j)≤p,從而由(H3)不等式,有f1(j,x0(j),y0(j))

即‖x0‖=p

由式(5),(6)及注1知,算子φ存在一個不動點(x1,y1)∈K,且r<‖(x1,y1)‖

由(H1)的第二個不等式知,存在r1>p及ε>0,使得fk(i,x,y)≥ak(i)(1+ε),x,y≥r1,k=1,2.令ψ=(1,1),往證

u≠φu+δψ, ?u∈K∩?ΩR,δ≥0.

(7)

即u≥u(1+ε),矛盾.

由式(6),(7)及引理1知,算子φ存在一個不動點(x2,y2)∈K,且p<‖(x2,y2)‖

同理有:

定理2假設條件(H0),(H2),(H4)成立,則方程組(1)至少有兩個正解(x1,y1),(x2,y2),且0<(x1,y1)

注2在定理1的解(x1,y1)∈K存在證明中,僅需要假設條件(H0),(H3)成立,且(H1)第一個不等式成立,而解(x2,y2)∈K的存在證明中,要求假設條件(H0),(H3)且(H1)的第二個不等式成立.

2 應 用

例1考察如下方程組:

(8)

其中:ak(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞));bk(i)∈C(Z(-∞,+∞),(0,+∞));ak(i+T)=ak(i),bk(i+T)=bk(i);k=1,2;T>0;α>0;β>0.

則假設條件(H4)成立.由定理2知上述結果成立.

[1] 郭大鈞.非線性泛函分析 [M].2版.濟南: 山東科學技術出版社,2004.

[2] Deimling K.Nonlinear Functional Analysis [M].New York: Springer-Verlag,1995.

[3] JIANG Da-qing,XU Xiao-jie,O’Regan D,et al.Multiple Positive Solution to Semipositone Dirichlet Boundary Value Problems with Singular Dependent Nonlinearities [J].Fasciculi Mathemation,2004,34(2): 25-37.

[4] GAO Hai-yin,LI Xiao-yue,LIN Xiao-ning,et al.Single and Multiple Positive Solutions of Periodic Boundary Value Problems for Second Order Singular Nonlinear Differential Equations [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2005,43(4): 411-416.(高海音,李曉月,林曉寧,等.二階奇異非線性微分方程周期邊值問題解的存在性和多重性 [J].吉林大學學報：理學版,2005,43(4): 411-416.)

[5] SUO Xiu-yun,WANG Bin,WANG Yue-hua.Singular Second Order Multi-point Nonlinear Boundary Value Problems with the First Derivative [J].Mathematics in Practice and Theory,2011,41(14): 250-254.(索秀云,王斌,王月華.非線性項含有一階導數的二階奇異多點邊值問題 [J].數學的實踐與認識,2011,41(14): 250-254.)

[6] XU Xiao-jie,FEI Xiang-li.Existence and Uniqueness of Positive Solutions for Third-Order Nonlinear Singular Boundary Value Problems [J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2009,29(6): 779-785.(許曉婕,費祥歷.三階非線性奇異邊值問題正解的存在唯一性 [J].系統科學與數學,2009,29(6): 779-785.)

[7] PANG Chang-ci,WEI Zhong-li.The Existence of Two Positive Solutions of Singular Boundary Value Problem of Fourth Order Differential Equations [J].Acta Mathematica Sinica,2003,46(2): 403-410.(龐常詞,韋忠禮.四階奇異邊值問題兩個正解的存在性 [J].數學學報,2003,46(2): 403-410.)

[8] QIAN Mei-hua,CONG Fu-zhong,XU Xiao-jie.Existence of Twin Positive Solutions for Singular Second Order Differential Systems [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2010,48(5): 755-760.(千美華,從福仲,許曉婕.奇異二階方程組兩個正解的存在性 [J].吉林大學學報：理學版,2010,48(5): 755-760.)