和與積相等的矩陣對及其多項式表示

陳梅香,呂洪斌,馮曉霞,楊忠鵬,徐晨雨

(1.莆田學院 數學系,福建 莆田 351100；2.北華大學 數學學院,吉林 吉林 132033；3.漳州師范學院 數學系,福建 漳州 363000；4.廈門大學 數學科學學院,福建 廈門 361005)

0 引 言

由于和與積相等的矩陣對[1]性質優良,因此引起人們廣泛關注[2-9].約定矩陣類(A,B)∈Tn()={A,B∈n×n|A+B=AB},用C(A)={X∈n×n|AX=XA}和W(A)={g(A)|g(x)∈[x]}分別表示由給定A∈n×n所確定的n×n交換子空間和多項式子空間,顯然W(A)?C(A).由文獻[2-3]知,當(A,B)∈Tn()時,必有AB=BA.

命題1[1]設(A,B)∈Tn(),若A有n個不同的特征值,則存在u(x)∈[x]且degu(x)≤n-1,使得B=u(A).

本文先證明了(A,B)∈Tn()的Jordan標準形具有互為確定的關系,然后作為應用,給出了用mA(x),fA(x),C(A),W(A)所確定的積與和相等的矩陣對A,B的多項式表示的新結論,從而推廣了文獻[1]的相應結果.

1 積與和相等的矩陣對的Jordan標準形

由n次冪零矩陣的性質易得: 由λ(≠0)∈所確定的Jordan塊矩陣J=λE+Nn∈n×n,從而

(1)

由此及Jordan標準形的性質易得:

引理1設可逆矩陣A∈n×n的Jordan標準形

JA=diag(J1(A),J2(A),…,Js(A)),

(2)

(3)

則A-1的Jordan標準形

JA-1=diag(J1(A-1),J2(A-1),…,Js(A-1)),

(4)

由式(1)知,Jordan塊矩陣J=λE+Nn(λ≠0)的逆J-1一般不再是Jordan塊矩陣,因此,一般Ji(A-1)≠Ji(A)-1,但Ji(A-1)與Ji(A)具有相近的密切關系(見式(3),(4)).

引理2[1]設(A,B)∈Tn(),則:

1)AB=BA；

2)A,B的特征值均不為1；

4)A-E與B-E互為逆矩陣.

當(A,B)∈Tn()時,由引理3知JA-E=JA-E,JB-E=J(A-E)-1,這樣由式(1)及引理1和引理2易得:

定理1設(A,B)∈Tn(),A的Jordan標準形如式(2),(3),則B的Jordan標準形為

diag(J1(B),J2(B),…,Js(B))=JB,

引理3[6]設A∈n×n的所有不同特征值為λ1,λ2,…,λt,則A的最小多項式其中ki為特征值λi確定的Jordan塊的最高階數；同時,A可對角化?mA(x)=?A的每個Jordan塊都是1階的.

由引理2和定理1可得:

定理2設(A,B)∈Tn(),如果λ1,λ2,…,λt是A的所有兩兩不同的重數分別為n1,n2,…,nt的特征值,且A的特征多項式和最小多項式分別為

(5)

(6)

fA(x)=mA(x) ?fB(x)=mB(x).

(7)

定理1和定理2表明,當(A,B)∈Tn()時,JA與JB互為確定,從而fA(x)與fB(x),mA(x)與mB(x)與也互為確定.于是由引理3和定理2及式(5),(6)可知: 當(A,B)∈Tn()時,A可對角化?B可對角化;當(A,B)∈Tn()時,A有n個不同的特征值 ?B有n個不同的特征值.

于是命題1可改進為：

推論1設(A,B)∈Tn(),如果A,B之一有n個不同的特征值,則存在u(x),v(x)∈[x]且degu(x),degv(x)≤n-1,使得B=u(A),A=v(B).

2 和與積相等的矩陣對的多項式表示

非減次矩陣是一類重要的矩陣,且A是非減次矩陣的充要條件是

fA(x)=det(xEn-A)=mA(x),A∈n×n.

(8)

非減次矩陣A∈n×n具有如下性質[6]：B∈n×n與A可交換?存在u(x)∈[x]且degu(x)≤n-1,使得B=u(A).

設A∈n×n,則有[5,7]：

C(A)=W(A) ? degmA(x)=n? dimC(A)=n? dimW(A)=n,

(9)

式中dimC(A)和dimW(A)分別表示C(A)和W(A)的維數.

定理3設(A,B)∈Tn(),且A的Jordan標準形如式(2),(3)所示.如果滿足下列條件之一,則存在u(x),v(x)∈[x]且degu(x),degv(x)≤n-1,使得B=u(A),A=v(B)：

1) degmA(x)=n;

2) degmB(x)=n;

3)C(A)=W(A);

4)C(B)=W(B);

5) dimC(A)=n;

6) dimC(B)=n;

7) dimW(A)=n;

8) dimW(B)=n.

證明: 1) 當degmA(x)=n時,由degfA(x)=n和mA(x)整除fA(x)知fA(x)=mA(x),由式(8)知A是非減次的,又由引理2和非減次矩陣的性質知,存在u(x)∈[x]且degu(x)≤n-1,使得B=u(A)；此時由式(7)可得fB(x)=mB(x),再由引理2和非減次矩陣的性質知,存在v(x)∈[x]且degv(x)≤n-1,使得A=v(B).

2) 當degmB(x)=n時,類似1)知fB(x)=mB(x),再應用式(7)知,必有degmA(x)=n,從而由1)知存在u(x),v(x)∈[x]且degu(x),degv(x)≤n-1,使得B=u(A),A=v(B).

1)和2)的討論表明,當(A,B)∈Tn()時,degmA(x)=n? degmB(x)=n,因此由式(9)可得

從而由1)和2)知定理3所有的結論成立.證畢.

顯然,文獻[1]所得命題1是定理3的一個特例.

比較得B=u(A)=-A-A2-A3,即有u(x)=-x-x2-x3,使得B=u(A),類似可知有v(x)=-x-x2-x3,使得A=v(B).

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