一類非線性波方程時間周期解的存在性

趙 昕

(吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院,長春 130118)

考慮如下問題:

(1)

其中f是連續(xù)函數(shù)并且關(guān)于t是2π-周期的.

Rabinowitz[1]首先應(yīng)用變分法,在非線性項滿足超線性增長且嚴(yán)格單調(diào)的條件下,證明了波方程(1)非平凡時間周期解的存在性,之后,文獻(xiàn)[2-6]進(jìn)一步探討了非線性波方程(1)時間周期解的存在性與多重性.為了研究非線性波方程的時間周期解,通常要求f單調(diào)[1-2].Coron[7]通過引入對稱子空間,避免了波算子無窮維核空間所導(dǎo)致的緊性缺失,將問題轉(zhuǎn)化為在子空間上研究波方程的周期解,從而在非線性項非單調(diào)且滿足超二次條件下,得到了自治波方程的非平凡解.文獻(xiàn)[5]應(yīng)用Coron的技巧,在非線性項超線性增長且滿足非二次條件時得到了問題(1)非平凡時間周期解的存在性.文獻(xiàn)[4]應(yīng)用該技巧得到了在非線性項滿足漸近線性增長時問題(1)非平凡時間周期解的存在性.本文應(yīng)用該技巧在非線性項滿足超線性增長條件下研究問題(1),并且在超二次條件和非二次條件可能不滿足[8]時研究問題(1)在非單調(diào)條件下非平凡時間解的存在性.

假設(shè):

(H1)f∈C([0,2π]×[0,π]×,);

(H2) 存在p>2和a1,a2>0,使得

(H3) 當(dāng)|u|→0時,f(t,x,u)=o(|u|)關(guān)于(t,x)∈Q一致成立;

(H5) 存在常數(shù)C0>0,使得

H(t,x,u)?uf(t,x,u)-2F(t,x,u)≤H(t,x,v)+C0,

其中0

(H6)f(t,x,u)=f(π+t,π-x,u),?(t,x,u)∈Q×.

定義‖·‖r為空間Lr(Q)(r∈[1,∞))中的范數(shù),(·,·)r為相應(yīng)的內(nèi)積.設(shè)空間

其范數(shù)為

其中

易見,E是自反Banach空間.令

定義函數(shù)Φ:E→,

(2)

由假設(shè)條件(H1),(H2)可知,Φ∈C1(E,)且Φ為強不定泛函.易知問題(1)的一個弱解對應(yīng)于Φ的一個臨界點.因為E0是無窮維的,故可用Coron技巧把泛函Φ限定在一個合適的子空間X,使得X∩Ker□={0}.實際上,設(shè)

X={u∈E:u(t,x)=u(π+t,π-x)},

記X+=X∩E+,X-=X∩E-,則有X=X-⊕X+,并且X在范數(shù)‖·‖X?‖·‖E定義下是Banach空間.記‖u‖X為‖·‖,只需尋找Φ在X中的臨界點即可.按照重數(shù)重新排列□的特征值為

…≤λ-,3≤λ-,2≤λ-,1<0<λ+,1≤λ+,2≤λ+,3≤…,

分別記φi(ej)為對應(yīng)于λ+,i(λ-,j)的特征函數(shù),則

在定理1的條件下， 類似于文獻(xiàn)[5]的證明， 可得下列3個引理， 即Φ具有環(huán)繞結(jié)構(gòu)并滿足(C)c條件.

引理1若條件(H1)～(H3)成立,則存在ρ>0,使得

κ?infΦ(?Bρ∩X+)>0,

(3)

其中Bρ?{u∈X: ‖u‖≤ρ}.

引理2假設(shè)條件(H1)～(H6)成立,則存在R>0,使得

supΦ(?Γ)≤0,

(4)

其中

Γ?{u=u-+sφ1:u-∈X-,s≥0,‖u‖≤R},

且‖φ1‖2=1.

引理3假設(shè)條件(H1)～(H6)成立,則泛函Φ滿足(C)c條件.

定理1假設(shè)條件(H1)～(H6)成立,則問題(1)至少存在一個非平凡弱解.

證明: 由條件(H1)～(H3),(H5),可得F(t,x,u)≥0,并且對于任意的u∈X,Ψ(u)≥0.于是根據(jù)f的增長性和X緊嵌入到Lr(Q)(r∈[1,∞))易知,Ψ弱下半連續(xù)且Ψ′弱連續(xù).又由引理1和引理2可知,存在泛函Φ的(C)c序列{un},使得c≥κ>0.再利用引理3可知,序列{un}在X中一致有界,且存在u0∈X,使得在X中un→u0,從而Φ(u0)=c>0,且

?φ∈X.

因此,u0是問題(1)的一個非平凡弱解.

[1] Rabinowitz P H.Free Vibrations for a Semilinear Wave Equation [J].Comm Pure Appl Math,1978,31(1): 31-68.

[2] Brézis H,Coron J M,Nirenberg L.Free Vibrations for a Nonlinear Wave Equation and a Theorem of P.Rabinowitz [J].Comm Pure Appl Math,1980,33(5): 667-684.

[3] Castro A,Preskill B.Existence of Solutions for a Semilinear Wave Equation with Non-monotone Nonlinearity [J].Discrete Contin Dyn Syst,2010,28(2): 649-658.

[4] CHANG Xiao-jun,LU Jing-jing.Nontrivial Time-Periodic Solutions of a Class of Asymptotically Linear Wave Equations [J].Journal of Jilin University: Science Edition,2013,51(3): 373-376.(常小軍,路京京.一類漸近線性波方程的非平凡時間周期解 [J].吉林大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版,2013,51(3): 373-376.)

[5] Costa D G,Magalh?es C A.A Unified Approach to a Class of Strongly Indefinite Functionals [J].J Differential Equations,1996,125(2): 521-547.

[6] JI Shu-guan,LI Yong.Time Periodic Solutions to the One-Dimensional Nonlinear Wave Equation [J].Arch Ration Mech Anal,2011,199: 435-451.

[7] Coron J M.Periodic Solutions of a Nonlinear Wave Equation without Assumption of Monotonicity [J].Math Ann,1983,262: 273-285.

[8] WEI Yuan-hong,CHANG Xiao-jun,Lü Yue,et al.Superlinear Fourth-Order Elliptic Problem without Ambrosetti and Rabinowitz Growth Condition [J].Commun Math Res,2013,29(1): 23-31.