詣零冪級數McCoy環

張 萬 儒

(河西學院 數學與統計學院,甘肅 張掖 734000)

本文所有的環都是有單位元的結合環.對于環R,用R[x]表示R上的多項式環,R[[x]]表示R上的冪級數環,nil(R)表示R中所有冪零元做成的集合,nil(R)[[x]]表示R[[x]]中系數是冪零元的所有冪級數做成的集合,Mn(R)表示R上的n階矩陣環.

定義1[1]如果R[x]中任意非零多項式f(x)和g(x),當f(x)g(x)=0時,存在非零元c∈R,使得f(x)c=0(cg(x)=0)成立,則稱環R是右(左)McCoy環.如果R既是左McCoy環,又是右McCoy環,則稱R是McCoy環.

定義2[2]如果R[[x]]中任意非零冪級數f(x)和g(x),當f(x)g(x)=0時,存在非零元c∈R,使得f(x)c=0(cg(x)=0)成立,則稱環R是右(左)冪級數McCoy環.如果R既是左冪級數McCoy環,又是右冪級數McCoy環,則稱R是冪級數McCoy環.

冪級數McCoy環是McCoy環,文獻[2]中例2.6表明,反之并不成立.

定義3[3]如果R[x]中任意非零多項式f(x)和g(x),當f(x)g(x)∈nil(R)[x]時,存在非零元c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[x](cg(x)∈nil(R)[x])成立,則稱環R是右(左)詣零McCoy環.如果R既是右詣零McCoy環,又是左詣零McCoy環,則稱R是詣零McCoy環.

文獻[1,4-7]給出了McCoy環的相關性質和實例；文獻[2]研究了冪級數McCoy環;文獻[3,8]給出了詣零McCoy環的相關性質和實例.本文在冪級數環中討論環的詣零McCoy條件,引入了詣零冪級數McCoy環的概念,給出了詣零冪級數McCoy環的例子,并討論了詣零冪級數McCoy環的基本性質及詣零冪級數McCoy環的擴張.

定義4設R是環,如果對R[[x]]中任意非零冪級數f(x)和g(x),當f(x)g(x)∈nil(R)[[x]]時,存在非零元c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[[x]](cg(x)∈nil(R)[[x]])成立,則稱R是詣零冪級數右(左)McCoy環.如果R既是右詣零冪級數McCoy環,又是左詣零冪級數McCoy環,則稱R是詣零冪級數McCoy環.

設R是環,Tn(R)表示R上的n×n上三角矩陣環.記

按通常的矩陣加法和乘法,Sn(R)和Dn(R)分別構成Tn(R)的子環.

設R是環,RMR是R雙模,T(R,M)={(a,x)|a∈R,x∈M}.規定T(R,M)上的加法為對應分量相加,乘法為(a1,x1)(a2,x2)=(a1a2,a1x2+x1a2).按規定的加法和乘法,T(R,M)構成一個環,稱為R借助于M的平凡擴張.

定理1設R是環,n≥2是正整數,則下列結論成立:

1)Tn(R)是詣零冪級數McCoy環;

2)Sn(R)是詣零冪級數McCoy環;

3)Dn(R)是詣零冪級數McCoy環;

4)T(R,M)是詣零冪級數McCoy環.

證明:設Eij(1≤i,j≤n)是矩陣單位.取C=E1n∈Tn(R).容易驗證:對任意的A∈Tn(R),AC和CA都是Tn(R)中的冪零元.所以Tn(R)是詣零冪級數McCoy環.同理,Sn(R)和Dn(R)也是詣零冪級數McCoy環.

任取0≠(0,m)∈T(R,M).容易驗證:對任意的A∈T(R,M),A(0,m)和(0,m)A都是T(R,M)中的冪零元.所以T(R,M)是詣零冪級數McCoy環.

定理2如果R是Reduced環(沒有非零冪零元的環),n≥2是正整數,則Mn(R)既不是右詣零McCoy環,也不是左詣零McCoy環,從而Mn(R)不是詣零冪級數McCoy環.

證明:取

容易驗證:f(x)g(x)=0∈nil(Mn(R))[x].由于f(x)=E11+E12x+…+Ennxn2-1,如果存在C∈Mn(R),使得f(x)C∈nil(Mn(R))[x],則對任意的1≤i,j≤n,EijC∈nil(Mn(R))成立.不妨設C=(cij)n×n.由于E11C,E12C,…,E1nC∈nil(Mn(R)),而

所以c11,c21,…,cn1∈nil(R).由于R是Reduced環,所以c11=c21=…=cn1=0,從而

同理,由于E21C,E22C,…,E2nC∈nil(Mn(R)),而

所以c12=c22=…=cn2=0.類似地,可證對任意的1≤i,j≤n,cij=0,所以C=0,從而Mn(R)不是右詣零McCoy環.類似可證:Mn(R)也不是左詣零McCoy環.證畢.

根據定理1,可能猜想:當n≥2時,R上的n×n矩陣環Mn(R)也是詣零冪級數McCoy環.定理2 表明這個猜想不成立.

例1設R是環,S=M2(R).取

顯然,f(x)g(x)=0∈nil(S)[[x]].但

?nil(S).

所以S不是詣零冪級數Armendariz環.根據文獻[9]命題7可知,Tn(S)也不是詣零冪級數Armendariz環.但根據定理1,Tn(S)是詣零冪級數McCoy環.

顯然,詣零冪級數Armendariz環是詣零冪級數McCoy環.例1表明,反之并不成立.

例2設R是環,由文獻[3]例2.4可知,R上的n×n上三角矩陣環Tn(R)不是右McCoy環,從而不是右冪級數McCoy環.但根據定理1,Tn(R)是右詣零冪級數McCoy環.

例2表明,詣零冪級數McCoy環不是冪級數McCoy環.

定理3右詣零冪級數McCoy環的直積是右詣零冪級數McCoy環.

1) 存在k∈I,使得fk(x)≠0,gk(x)≠0成立.由于Rk是右詣零冪級數McCoy環,因此存在非零元rk∈Rk,使得fk(x)rk∈nil(Rk)[[x]]成立.令r=(ri)i∈I,其中

則0≠r∈R,并且f(x)r∈nil(R)[[x]].

2) 對所有的i∈I,fi(x)≠ 0,gi(x)≠0不能同時成立.由于f(x)≠0,g(x)≠0,因此只有以下兩種情形:

① 存在k∈I,使得fk(x)≠0但gk(x)=0.令J={i∈I|fi(x)≠0},則J≠?.同時J≠I,否則,所有的gi(x)=0,從而g(x)=0,矛盾.令r=(ri)i∈I,其中

則0≠r∈R,并且f(x)r=0∈nil(R)[[x]].

② 存在k∈I,使得fk(x)=0但gk(x)≠0.與情形①類似可證,存在0≠r∈R,使得f(x)r∈nil(R)[[x]].

所以,R是右詣零McCoy環.

推論1設R是環,e∈R是中心冪等元.如果eR和(1-e)R都是右詣零冪級數McCoy環,則R是右詣零冪級數McCoy環.

例3設R是Reduced環,S=M2(R).根據定理1,T2(S)是右詣零冪級數McCoy環.但由定理2可知,S作為T2(S)的子環卻不是右詣零冪級數McCoy環.設

則I是T2(S)的理想,且T2(S)/I?S不是右詣零冪級數McCoy環.設E是S中的單位矩陣,

則e2=e且eT2(S)e?S不是右詣零冪級數McCoy環.

例3表明,右詣零冪級數McCoy環的子環和同態象不一定是右詣零冪級數McCoy環,并且如果R是右詣零冪級數McCoy環,e2=e∈R,eRe不一定是右詣零冪級數McCoy環.

命題1設I是環R的理想.如果I?nil(R),并且R/I是右詣零冪級數McCoy環,則R是右詣零冪級數McCoy環.

對于0≠f(x)∈R[x],用degf表示f(x)的次數.如果f(x)=0,則規定degf=0.R[x;x-1]表示環R上的Laurent多項式環.

定理4如果環R滿足nil(R[x])=nil(R)[x],則R是右詣零McCoy環當且僅當R[x]是右詣零McCoy環.

證明:假設0≠p(y)=f0+f1y+…+fnyn,0≠q(y)=g0+g1y+…+gmym∈R[x][y],使得p(y)q(y)∈nil(R[x])[y],其中fi,gj∈R[x].取正整數k=degf0+…+degfn+degg0+…+deggm+1,f(x)=f0+f1xk+f2x2k+…+fnxnk,g(x)=g0+g1xk+g2x2k+…+gmxmk.則f(x)(g(x))的系數做成的集合和所有fi(x)(gi(x))的系數做成的集合相等.由于p(y)q(y)∈nil(R[x])[y] 且nil(R[x])=nil(R)[x],因此容易驗證f(x)g(x)∈nil(R)[x].因為R是右詣零McCoy環,所以存在0≠c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[x].從而對任意的0≤i≤n,fic∈nil(R)[x]成立.由于nil(R[x])=nil(R)[x],所以p(y)c∈nil(R[x])[y].從而R[x]是右詣零McCoy環.

設0≠f(x)=a0+a1x+…+anxn,0≠g(x)=b0+b1x+…+bmxm∈R[x],滿足f(x)g(x)∈nil(R)[x].令p(y)=a0+(a1x)y+…+(anxn)yn,q(y)=b0+(b1x)y+…+(bmxm)ym∈R[x][y].由于nil(R[x])=nil(R)[x],則p(y)q(y)∈nil(R[x])[y].又由于R[x]是右詣零McCoy環,因此存在0≠c(x)=c0+c1x+…+csxs∈R[x],使得p(y)c(x)∈nil(R[x])[y],從而對任意的0≤i≤n,(aixi)c(x)∈nil(R[x])成立.由于nil(R[x])=nil(R)[x],所以(aixi)c(x)∈nil(R)[x].從而對任意的0≤i≤n和0≤j≤s,aicj∈nil(R).又由于0≠c(x),因此存在0≠ck∈R,使得對任意的0≤i≤n,aick∈nil(R)成立.從而f(x)ck∈nil(R)[x].故R是右詣零McCoy環.

定理5設R是環,下列條件等價:

1)R[x]是右詣零McCoy環;

2)R[x;x-1]是右詣零McCoy環.

2)?1).假設0≠f(y)=f0+f1y+…+fnyn,0≠g(y)=g0+g1y+…+gmym∈R[x][y],滿足f(y)g(y)∈nil(R[x])[y],其中fi,gj∈R[x].顯然f(y)g(y)∈nil(R[x;x-1])[y].又由于R[x;x-1]是右詣零McCoy環,因此存在0≠c(x)∈R[x;x-1],使得f(y)c(x)∈nil(R[x;x-1])[y].由于c(x)∈R[x;x-1],因此存在正整數k,使得c(x)xk=c′(x)∈R[x].容易驗證f(y)c′(x)∈nil(R[x])[y].所以R[x]是右詣零McCoy環.

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