詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)

張 萬(wàn) 儒

(河西學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 張掖 734000)

本文所有的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán).對(duì)于環(huán)R,用R[x]表示R上的多項(xiàng)式環(huán),R[[x]]表示R上的冪級(jí)數(shù)環(huán),nil(R)表示R中所有冪零元做成的集合,nil(R)[[x]]表示R[[x]]中系數(shù)是冪零元的所有冪級(jí)數(shù)做成的集合,Mn(R)表示R上的n階矩陣環(huán).

定義1[1]如果R[x]中任意非零多項(xiàng)式f(x)和g(x),當(dāng)f(x)g(x)=0時(shí),存在非零元c∈R,使得f(x)c=0(cg(x)=0)成立,則稱(chēng)環(huán)R是右(左)McCoy環(huán).如果R既是左McCoy環(huán),又是右McCoy環(huán),則稱(chēng)R是McCoy環(huán).

定義2[2]如果R[[x]]中任意非零冪級(jí)數(shù)f(x)和g(x),當(dāng)f(x)g(x)=0時(shí),存在非零元c∈R,使得f(x)c=0(cg(x)=0)成立,則稱(chēng)環(huán)R是右(左)冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).如果R既是左冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),又是右冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),則稱(chēng)R是冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)是McCoy環(huán),文獻(xiàn)[2]中例2.6表明,反之并不成立.

定義3[3]如果R[x]中任意非零多項(xiàng)式f(x)和g(x),當(dāng)f(x)g(x)∈nil(R)[x]時(shí),存在非零元c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[x](cg(x)∈nil(R)[x])成立,則稱(chēng)環(huán)R是右(左)詣零McCoy環(huán).如果R既是右詣零McCoy環(huán),又是左詣零McCoy環(huán),則稱(chēng)R是詣零McCoy環(huán).

文獻(xiàn)[1,4-7]給出了McCoy環(huán)的相關(guān)性質(zhì)和實(shí)例；文獻(xiàn)[2]研究了冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán);文獻(xiàn)[3,8]給出了詣零McCoy環(huán)的相關(guān)性質(zhì)和實(shí)例.本文在冪級(jí)數(shù)環(huán)中討論環(huán)的詣零McCoy條件,引入了詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)的概念,給出了詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)的例子,并討論了詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)的基本性質(zhì)及詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)的擴(kuò)張.

定義4設(shè)R是環(huán),如果對(duì)R[[x]]中任意非零冪級(jí)數(shù)f(x)和g(x),當(dāng)f(x)g(x)∈nil(R)[[x]]時(shí),存在非零元c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[[x]](cg(x)∈nil(R)[[x]])成立,則稱(chēng)R是詣零冪級(jí)數(shù)右(左)McCoy環(huán).如果R既是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),又是左詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),則稱(chēng)R是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

設(shè)R是環(huán),Tn(R)表示R上的n×n上三角矩陣環(huán).記

按通常的矩陣加法和乘法,Sn(R)和Dn(R)分別構(gòu)成Tn(R)的子環(huán).

設(shè)R是環(huán),RMR是R雙模,T(R,M)={(a,x)|a∈R,x∈M}.規(guī)定T(R,M)上的加法為對(duì)應(yīng)分量相加,乘法為(a1,x1)(a2,x2)=(a1a2,a1x2+x1a2).按規(guī)定的加法和乘法,T(R,M)構(gòu)成一個(gè)環(huán),稱(chēng)為R借助于M的平凡擴(kuò)張.

定理1設(shè)R是環(huán),n≥2是正整數(shù),則下列結(jié)論成立:

1)Tn(R)是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán);

2)Sn(R)是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán);

3)Dn(R)是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán);

4)T(R,M)是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

證明:設(shè)Eij(1≤i,j≤n)是矩陣單位.取C=E1n∈Tn(R).容易驗(yàn)證:對(duì)任意的A∈Tn(R),AC和CA都是Tn(R)中的冪零元.所以Tn(R)是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).同理,Sn(R)和Dn(R)也是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

任取0≠(0,m)∈T(R,M).容易驗(yàn)證:對(duì)任意的A∈T(R,M),A(0,m)和(0,m)A都是T(R,M)中的冪零元.所以T(R,M)是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

定理2如果R是Reduced環(huán)(沒(méi)有非零冪零元的環(huán)),n≥2是正整數(shù),則Mn(R)既不是右詣零McCoy環(huán),也不是左詣零McCoy環(huán),從而Mn(R)不是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

證明:取

容易驗(yàn)證:f(x)g(x)=0∈nil(Mn(R))[x].由于f(x)=E11+E12x+…+Ennxn2-1,如果存在C∈Mn(R),使得f(x)C∈nil(Mn(R))[x],則對(duì)任意的1≤i,j≤n,EijC∈nil(Mn(R))成立.不妨設(shè)C=(cij)n×n.由于E11C,E12C,…,E1nC∈nil(Mn(R)),而

所以c11,c21,…,cn1∈nil(R).由于R是Reduced環(huán),所以c11=c21=…=cn1=0,從而

同理,由于E21C,E22C,…,E2nC∈nil(Mn(R)),而

所以c12=c22=…=cn2=0.類(lèi)似地,可證對(duì)任意的1≤i,j≤n,cij=0,所以C=0,從而Mn(R)不是右詣零McCoy環(huán).類(lèi)似可證:Mn(R)也不是左詣零McCoy環(huán).證畢.

根據(jù)定理1,可能猜想:當(dāng)n≥2時(shí),R上的n×n矩陣環(huán)Mn(R)也是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).定理2 表明這個(gè)猜想不成立.

例1設(shè)R是環(huán),S=M2(R).取

顯然,f(x)g(x)=0∈nil(S)[[x]].但

?nil(S).

所以S不是詣零冪級(jí)數(shù)Armendariz環(huán).根據(jù)文獻(xiàn)[9]命題7可知,Tn(S)也不是詣零冪級(jí)數(shù)Armendariz環(huán).但根據(jù)定理1,Tn(S)是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

顯然,詣零冪級(jí)數(shù)Armendariz環(huán)是詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).例1表明,反之并不成立.

例2設(shè)R是環(huán),由文獻(xiàn)[3]例2.4可知,R上的n×n上三角矩陣環(huán)Tn(R)不是右McCoy環(huán),從而不是右冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).但根據(jù)定理1,Tn(R)是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

例2表明,詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)不是冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

定理3右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)的直積是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

1) 存在k∈I,使得fk(x)≠0,gk(x)≠0成立.由于Rk是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),因此存在非零元rk∈Rk,使得fk(x)rk∈nil(Rk)[[x]]成立.令r=(ri)i∈I,其中

則0≠r∈R,并且f(x)r∈nil(R)[[x]].

2) 對(duì)所有的i∈I,fi(x)≠ 0,gi(x)≠0不能同時(shí)成立.由于f(x)≠0,g(x)≠0,因此只有以下兩種情形:

① 存在k∈I,使得fk(x)≠0但gk(x)=0.令J={i∈I|fi(x)≠0},則J≠?.同時(shí)J≠I(mǎi),否則,所有的gi(x)=0,從而g(x)=0,矛盾.令r=(ri)i∈I,其中

則0≠r∈R,并且f(x)r=0∈nil(R)[[x]].

② 存在k∈I,使得fk(x)=0但gk(x)≠0.與情形①類(lèi)似可證,存在0≠r∈R,使得f(x)r∈nil(R)[[x]].

所以,R是右詣零McCoy環(huán).

推論1設(shè)R是環(huán),e∈R是中心冪等元.如果eR和(1-e)R都是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),則R是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

例3設(shè)R是Reduced環(huán),S=M2(R).根據(jù)定理1,T2(S)是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).但由定理2可知,S作為T(mén)2(S)的子環(huán)卻不是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).設(shè)

則I是T2(S)的理想,且T2(S)/I?S不是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).設(shè)E是S中的單位矩陣,

則e2=e且eT2(S)e?S不是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

例3表明,右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán)的子環(huán)和同態(tài)象不一定是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),并且如果R是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),e2=e∈R,eRe不一定是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

命題1設(shè)I是環(huán)R的理想.如果I?nil(R),并且R/I是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán),則R是右詣零冪級(jí)數(shù)McCoy環(huán).

對(duì)于0≠f(x)∈R[x],用degf表示f(x)的次數(shù).如果f(x)=0,則規(guī)定degf=0.R[x;x-1]表示環(huán)R上的Laurent多項(xiàng)式環(huán).

定理4如果環(huán)R滿(mǎn)足nil(R[x])=nil(R)[x],則R是右詣零McCoy環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[x]是右詣零McCoy環(huán).

證明:假設(shè)0≠p(y)=f0+f1y+…+fnyn,0≠q(y)=g0+g1y+…+gmym∈R[x][y],使得p(y)q(y)∈nil(R[x])[y],其中fi,gj∈R[x].取正整數(shù)k=degf0+…+degfn+degg0+…+deggm+1,f(x)=f0+f1xk+f2x2k+…+fnxnk,g(x)=g0+g1xk+g2x2k+…+gmxmk.則f(x)(g(x))的系數(shù)做成的集合和所有fi(x)(gi(x))的系數(shù)做成的集合相等.由于p(y)q(y)∈nil(R[x])[y] 且nil(R[x])=nil(R)[x],因此容易驗(yàn)證f(x)g(x)∈nil(R)[x].因?yàn)镽是右詣零McCoy環(huán),所以存在0≠c∈R,使得f(x)c∈nil(R)[x].從而對(duì)任意的0≤i≤n,fic∈nil(R)[x]成立.由于nil(R[x])=nil(R)[x],所以p(y)c∈nil(R[x])[y].從而R[x]是右詣零McCoy環(huán).

設(shè)0≠f(x)=a0+a1x+…+anxn,0≠g(x)=b0+b1x+…+bmxm∈R[x],滿(mǎn)足f(x)g(x)∈nil(R)[x].令p(y)=a0+(a1x)y+…+(anxn)yn,q(y)=b0+(b1x)y+…+(bmxm)ym∈R[x][y].由于nil(R[x])=nil(R)[x],則p(y)q(y)∈nil(R[x])[y].又由于R[x]是右詣零McCoy環(huán),因此存在0≠c(x)=c0+c1x+…+csxs∈R[x],使得p(y)c(x)∈nil(R[x])[y],從而對(duì)任意的0≤i≤n,(aixi)c(x)∈nil(R[x])成立.由于nil(R[x])=nil(R)[x],所以(aixi)c(x)∈nil(R)[x].從而對(duì)任意的0≤i≤n和0≤j≤s,aicj∈nil(R).又由于0≠c(x),因此存在0≠ck∈R,使得對(duì)任意的0≤i≤n,aick∈nil(R)成立.從而f(x)ck∈nil(R)[x].故R是右詣零McCoy環(huán).

定理5設(shè)R是環(huán),下列條件等價(jià):

1)R[x]是右詣零McCoy環(huán);

2)R[x;x-1]是右詣零McCoy環(huán).

2)?1).假設(shè)0≠f(y)=f0+f1y+…+fnyn,0≠g(y)=g0+g1y+…+gmym∈R[x][y],滿(mǎn)足f(y)g(y)∈nil(R[x])[y],其中fi,gj∈R[x].顯然f(y)g(y)∈nil(R[x;x-1])[y].又由于R[x;x-1]是右詣零McCoy環(huán),因此存在0≠c(x)∈R[x;x-1],使得f(y)c(x)∈nil(R[x;x-1])[y].由于c(x)∈R[x;x-1],因此存在正整數(shù)k,使得c(x)xk=c′(x)∈R[x].容易驗(yàn)證f(y)c′(x)∈nil(R[x])[y].所以R[x]是右詣零McCoy環(huán).

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