定時截尾下具有缺失數據兩個Rayleigh分布總體參數的估計和檢驗

趙志文,M.S.Abdalroof,盛丹姝

(1.吉林大學 數學學院,長春 130012;2.吉林師范大學 數學學院,吉林 四平 136000)

數據缺失問題是統計學中的常見問題,如在產品的壽命實驗中,由于觀測方法、實驗設備或其他原因常會導致某些實驗觀測數據缺失,因此對不完全數據的處理是統計學的一個重要研究領域[1].此外,在可靠性壽命實驗中,為減少人力、物力及財力的浪費,實驗者常會采用定時或定數截尾實驗[2-4].當產品的壽命分布為Rayleigh分布時,文獻[5]討論了具有缺失數據的兩個Rayleigh分布總體參數的估計問題及兩總體參數相等的假設檢驗問題.對于定數截尾數據,Harter等[6]給出了未知參數的極大似然估計;Howlader等[7]進一步討論了未知參數的Bayes估計及未來觀測值的預測問題.對于步進刪失樣本,Wu等[8]考慮了未知參數的Bayes估計及未來觀測值的預測區間問題.本文在此基礎上進一步討論定時截尾下,具有缺失數據的兩個Rayleigh總體參數的極大似然估計及兩個總體參數相等的假設檢驗問題,給出了參數的極大似然估計量,并證明了估計量的強相合性、漸近正態性及檢驗統計量和檢驗統計量的極限分布.

1 極大似然估計及其漸近性質

下面考慮參數λ1的極大似然估計.在得到觀測值(Zi,δi,αi)(i=1,2,…,n)后,相應的似然函數為

其中:Ai=αiδi(αiδi+1)/2;Bi=αiδi(αiδi-1)/2;i=1,2,…,n.進一步,取對數有

同理,基于樣本觀測值(Mj,ηj,βj)(j=1,2,…,n),可得參數λ2的極大似然估計

(1)

其中:Cj=βjηj(βjηj+1)/2;Dj=βjηj(βjηj-1)/2;j=1,2,…,n.

證明:由于{αiδi,1≤i≤n}為獨立同分布的隨機變量序列,故由強大數定律知

由Slusky定理可知

由引理1可知

其中

2 兩個總體參數相等的檢驗及兩個總體參數之差的漸近置信區間

在實際問題中,人們通常關心兩組樣本是否來自同一個總體,該問題可以歸結為假設檢驗:H0:λ1-λ2=0 ?H1:λ1-λ2≠0.

(2)

特別地,在原假設H0下,有

(3)

證明：由命題1和命題2可知

由Slutsky定理可知式(2)成立.證畢.

因此,對于給定的置信水平α,Δλ的置信區間為

3 隨機模擬

表1 n=50時估計的偏差和覆蓋率Table 1 Estimate bias and coverage probability when n=50

表2 n=100時估計的偏差和覆蓋率Table 2 Estimate bias and coverage probability when n=100

表3 n=300時估計的偏差和覆蓋率Table 3 Estimate bias and coverage probability when n=300

由表1～表3可見,無論對于較小的樣本量還是較大的樣本量,本文的估計方法都有較小的誤差,并且|Δλ|的置信區間覆蓋率非常接近置信水平0.90,表明本文方法具有較高的精度.

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(責任編輯：趙立芹)

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