兩類相依樣本密度函數核估計的相合性

胡 學 平

(安慶師范學院 數學與計算科學學院,安徽 安慶 246133)

0 引言與預備知識

概率密度估計在數理統計中應用廣泛,概率密度估計方法很多,如直方圖估計、Rosenblatt法[1]、Parzen估計[2]以及最鄰近估計[3]等.文獻[3-6]討論了獨立同分布隨機樣本和一些相依隨機樣本密度函數的核估計,獲得了其相合性、收斂速度及漸近正態性等性質.此外,相依序列的極限理論在金融數學、生存數據以及水文、電力系統等領域應用廣泛.Joag-Dev等[7]引入了NOD(negatively orthant dependent)概念,并指出任何NA列都是NOD的,并給出了一個是NOD但不是NA的實例,即NOD是嚴格弱于NA的.本文在NOD樣本和m相依[8]樣本下分別進一步探討概率密度函數核估計的性質,獲得了核估計的強相合性、r階相合性及依概率一致收斂性,推廣并改進了文獻[5-6]的相關結論.本文約定C表示正常數,在不同處取不同值.

引理1[3]設K(u)和g(x)都是定義在(-∞,∞)上的Borel可測函數,滿足下列條件:

1)K在(-∞,∞)上有界;

(1)

又若g在(-∞,∞)上有界且一致連續,則

(2)

引理2[9]設隨機變量序列X1,…,Xn為NOD的,f1,…,fn均為非降函數(或非增函數),則隨機變量f1(X1),…,fn(Xn)仍為NOD的.

證明：易驗證?x∈1有ex≤1+x+x2e|x|/2,從而對t>0,根據條件|Xk|≤an和EXk=0,可得

(3)

再利用引理2、引理3及式(3)可得

(4)

結合Markov不等式和式(4)有

1 主要結果

定理1設{Xn,n≥1}為同分布的NOD隨機變量序列,K(u)為有界變差概率密度函數.如果:

1)

(5)

2) 密度函數f(x)在(-∞,∞)上有界或

(6)

同理可證

根據Borel-Cantelli引理可知結論成立.

證明:根據Cr-不等式,有

結合定理1的證明過程、Cr-不等式及引理4可得

對r∈(0,2],利用Jensen不等式可得

注1定理1和定理2減弱了文獻[6]中相應定理的條件,且推廣到更廣泛的NOD隨機樣本情形.

從而只需證明Ik→0,k=1,2.對于I1,有

易證若K(u)滿足引理1的條件,則K2(u)也滿足,因此根據式(1)可得

利用Jensen不等式,對r∈(0,2],有

定理4設{Xn,n≥1}為嚴平穩的m相依隨機序列,K(u)為概率密度函數.如果滿足下列條件:

2) 密度函數f(x)在(-∞,∞)上一致連續;

證明:沿用定理3的記號,有

由條件3)和反演公式得

(8)

[1] Rosenblatt M.Remarks on Some Nonparametric Estimates of a Density Function [J].Ann Math Statist,1956,27(3):832-837.

[2] Parzen E.On Estimation of a Probability Density Function and Mode [J].Ann Math Statist,1962,33(3):1065-1076.

[3] 陳希孺,方兆本,李國英,等.非參數統計 [M].上海:上海科技出版社,1989.

[4] LIU Yong-hui,WU Qun-ying.Consistency of Nearest Neighbor Estimator of Density Function for Negatively Dependent Samples [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2012,50(6):1141-1145.(劉永輝,吳群英.ND樣本最鄰近密度估計的相合性 [J].吉林大學學報:理學版,2012,50(6):1141-1145.)

[5] YU Zhuo-xi,DONG Zhi-shan,WANG De-hui.Consistency for the Kernel-Type Density Estimator in the Case ofm-Dependent Samples [J].Journal of Jilin University:Science Edition,2007,45(4):507-510.(于卓熙,董志山,王德輝.m相依樣本概率密度函數核估計的相合性 [J].吉林大學學報:理學版,2007,45(4):507-510.)

[6] WEI Lai-sheng.The Consistencies for the Kernel-Type Density Estimator in the Case of NA Samples [J].Journal of Systems Science and Mathematical Sciences,2001,21(1):79-87.(韋來生.NA樣本概率密度函數核估計的相合性 [J].系統科學與數學,2001,21(1):79-87.)

[7] Joag-Dev K,Proschan F.Negative Association of Random Variables with Applications [J].Ann Statist,1983,11(1):286-295.

[8] Chung K L.A Course in Probability Theory [M].New York:Academic Press,1974.

[9] Bozorgnia A,Patterson R F,Taylor R L.Limit Theorems for Dependent Random Variables [C]//Proceedings of the First World Congress on World Congress of Nonlinear Analysts.Hawthorne:Walter de Grutyer &Co,1996:1639-1650.

[10] Kim H C.The Hjek-Rényi Inequality for Weighted Sums of Negatively Orthant Dependent Random Variables [J].Int J Contemp Math Sci,2006,1(6):297-303.