關于特征函數教學過程中的一點探討

邢國東 梁 鑫 趙宣平

（廣西師范大學數學科學學院，廣西 桂林 541004）

1 引言

由概率論知識可知，隨機變量的分布函數全面地描述了隨機變量的統計規律，并以分布函數為基礎，較詳細地討論了隨機變量的數字特征，運算性質等問題。但在這些討論中，可發現分布函數或分布密度這些工具，有時使用起來并不方便，而概率論中特征函數這一工具，在解決上述和分布有關的問題時，具有極大的優勢[1]。按照上述思路，在通常的特征函數的教學過程中，一般先介紹完特征函數的定義以及相關的性質后，而后會介紹特征函數在解決其他有關概率論問題中的應用。但這樣的教學過程往往會使特征函數得不到學生們的足夠的重視。為此，我們探討了特征函數在解決其它常見的非概率論的數學問題中也有較為廣泛的巧妙的應用。通過上述問題的講解和分析，我們試圖讓學生們重視特征函數的學習并激發學生們學習概率論的興趣，從而提高教學效果和教學質量。

2 特征函數的定義及相關性質[2]

2.1 特征函數的定義

設ξ是任一隨機變量，稱 ?(t) = Eeitξ,-∞ ＜ t＜+∞是隨機變量ξ的特征函數。

2.2 特征函數的基本性質

性質2.2.1 若 E (Xl)存在 l =1,2,3,Λ ，則隨機變量X的特征函數 ?(t )可l次求導，且對 1 ≤k≤l ，有 ?(k)(0) =ikE(Xk)。

性質2.2.2 隨機變量X的特征函數? (t )在(- ∞,+ ∞)上一致連續。

性質2.2.3（逆轉公式）設 F(X)和?(t )分別為隨機變量X的分布函數和特征函數，則對F(X)的任意兩個連續點 x1＜x2，

性質2.2.4 ?(-t) = ?(t )，其中?( t )表示 ?(t )的共軛。特別，

大部分教師講完這些，就算把特征函數的定義和性質講解完畢。學生們經常感覺到到很抽象，又很枯燥。覺得沒有實用性。為了避免給學生留下這種印象，在教學中，我們添加了下面第三部分的內容，使學生覺得特征函數在解決一些數學分析等方面非常簡便，從而大大增加了學生們學習的興趣。

3 特征函數在解決其他常見的非概率論的數學問題中的應用

3.1 在證明恒等式中的應用

我們利用特征函數的定義及其性質，建立概率模型，簡便的證明一些恒等式。

例1[3]證明：

證明：由參考文獻[3]知，上述恒等式的證明需要利用傅里葉變換計算但過程是非常繁雜的。因此，考慮能否用其他的方法進行計算，經觀察，發現，恒等式左邊積分的被積函類似于柯西分布的密度函數，而恒等式的右邊則類似于柯西分布的特征函數，因此，考慮用特征函數這一工具的相關性質進行證明。

3.2 在求解積分中的應用

數學中求積分，除了利用一些常用的積分公式和分離變量法對積分求解外，我們還可以利用概率論中特征函數的相關性質對積分進行求解。

例2[4]計算積分的值，其中（α∈R）

[4]可知，上述積分求解可利用魏爾斯特拉斯M判別法及含參數反常積分的性質進行計算，也可以通過構造輔助函數和輔助路徑，利用留數定理進行計算，但上述方法都非常繁瑣，且不易求解。經觀察，發現被積函數中e-x2類似于標準正態分布的密度函數，因此考慮利用特征函數的性質求解。

由特征函數的定義及性質2.2.4，得：

4 結論

通過上述的幾個例子的教學，我們發現：學生們自覺地重視特征函數的學習并且學習概率論的興趣確有增加，教學效果令人滿意。

【參 考 文 獻】

[1] 魏宗舒.概率論與數理統計[M].高等教育出版社,1999.

[2] 茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].高等教育出版社,2004.

[3] 李建林.復變函數與積分變換典型題分析解集[M].西北工業大學出版社,2001:188-190.

[4] 華東師范大學數學系.數學分析(下)[M].高等教育出版社,2005:187-188.