完全樣本下威布爾分布參數的加權最小二乘估計

李春萍

(湖北工程學院 數學與統計學院，湖北 孝感 432000)

完全樣本下威布爾分布參數的加權最小二乘估計

李春萍

(湖北工程學院 數學與統計學院，湖北 孝感 432000)

借助圖法估計的思想和次序統計量的性質，給出了完全樣本下威布爾分布參數的改進最小二乘估計與加權最小二乘估計。

威布爾分布；改進最小二乘估計；加權最小二乘估計

威布爾分布在可靠性工程中被廣泛應用，尤其適用于機電類產品的磨損累計失效的分布形式[1]。二參數威布爾分布由于其不同的形狀參數能反映各種不同的失效機理，因此在可靠性分析中常用的壽命分布之一，其參數估計中常用的估計方法有圖法估計、最小二乘估計、極大似然估計等[1-2]。其中圖法估計是將估計出的可靠度函數取對數，從而將威布爾分布的曲線方程轉化為直線方程，此時可通過擬合直線得到參數的估計，但這種方法降低了參數的估計精度；采用極大似然估計法時，需要使用牛頓迭代法進行數值計算，而且，當樣本為小樣本時，極大似然估計法可能不穩定[1]。本文借助圖法估計的思想和次序統計量的性質，提出了完全樣本下兩參數威布爾分布參數的另外兩種估計：改進最小二乘估計和加權最小二乘估計。

1 威布爾分布，極大似然估計與最小二乘估計

1.1兩參數威布爾分布

假設隨機變量X服從兩參數的威布爾分布，其密度函數為

其相應的分布函數為

(1)

其中a>0,b>0分別為其尺度參數與形狀參數。

由文獻[1,3]可知：當b<1 時，故障率λ(t;a,b)呈遞減分布，模型適于描述早期失效的特征；當b=1 時，故障率λ(t;a,b)為常數，模型適于描述隨機失效的特征；當b>1時，故障率λ(t;a,b)呈遞增分布，模型適于描述老化或磨損失效的特征。

1.2極大似然估計

假設T1,T2,…Tn為來自兩參數威布爾分布的大小為n的樣本，T(1)

對似然函數取對數，并求偏導，可得參數估計如下

1.3最小二乘估計

由(1)式，得到基于威布爾分布參數的直線方程

ln{-ln[1-F(t;a,b)]}=-blna+blnt

從而對于次序觀測值t(1)≤t(2)≤…≤t(n)，有

ln{-ln[1-F(t(i);a,b)]}=-blna+blnt(i),

i=1,2,…，n

則得到目標函數為

對上式分別求a,b偏導，并令其為0，解方程組則有

2 改進的最小二乘估計與加權最小二乘估計

2.1改進的最小二乘法

下面給出未知參數a,b的改進最小二乘估計。由(1)易知

對于次序觀測值t(1)≤t(2)≤…≤t(n),有

眾所周知，假設X為隨機變量其分布函數為F(X) ，則隨機變量Y=F(X)服從(0,1)上的均勻分布，而隨機變量Z=-ln[1-F(X)]服從參數為1的指數分布。由上式可知,Z=-ln[1-F(t;a,b)]服從參數為1的指數分布。

設z(1)≤z(2)≤…≤z(n)為次序統計量，于是由文獻[1]可知，次序統計量Z(i)的數學期望

可選擇E[Z(i)]為Z(i)的點估計,即令

則構造目標函數為

對上式分別求a,b偏導，并令其為0，解方程組得

2.2加權最小二乘估計

下面采用加權最小二乘法來估計完全樣本下兩參數威布爾分布的參數a,b。 在利用加權最小二乘法估計分布參數估計時，首先解決的就是權重wi設計的問題，文獻[1,3]給出了三種wi的取法:

(3)按總試驗時間長短設計的權：

其中ni表示第i次試驗的樣本數，ti表示第i次試驗的時間，n為試驗的總次數。下面本文提出wi的另一種設計方法。

由上面的討論可知，次序統計量Z(i)的數學期望與方差分別為:

其中選擇E[Z(i)]為Z(i)的估計。

構造加權最小二乘估計的目標函數為:

對上式分別求a,b的偏導，并令其為0，可得參數a,b的加權最小二乘估計分別為:

[1] Lawless J F.壽命數據中的統計模型與方法[M].北京：中國統計出版社，1998:16-17.

[2] 羅純.再論Gumbel分布參數估計及在水位資料分析中應用[J].上海理工大學學報，2005,27(3):278-282.

[3] 茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數理統計[M].北京：高等教育出版社， 2005:134-139.

(責任編輯：張凱兵)

WeightedLeastSquaresEstimatorforParametersofWeibullDistributionBasedonCompleteSamples

Li Chunping

(SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiEngineeringUniversity,Xiaogan,Hubei432000,China)

The paper utilizes the notion of graph estimator and property of order statistic to develop an improved least squares estimators and a weighted least squares estimators for the Weibull distribution parameters under complete samples.

Weibull distribution;improved least squares estimator; weighted least squares estimator

O211.2

A

2095-4824(2013)06-0083-03

2013-09-22

湖北省教育廳科學技術研究項目(Q20122603)

李春萍(1980- )，女，青海西寧人，湖北工程學院數學與統計學院講師，碩士。