非定常Oseen方程的有限差分流線擴散法

周國霞，李 敏，陳豫眉

(西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637009)

非定常Oseen方程的有限差分流線擴散法

周國霞，李 敏，陳豫眉

(西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637009)

本文對非定常Oseen方程采用有限差分流線擴散法，證明了此方程在FDSD格式下的穩定性以及速度和壓力離散解的誤差估計。

非定常Oseen方程;有限差分流線擴散法

粘性流體力學是流體力學中的一個重要分支。粘性流動與生活密切相關，例如天氣的數值預報，空氣繞過汽車、地面建筑物和飛機的流動，人造腎、人造心臟等與血液循環相關的問題。不可壓縮粘性流動的基本方程組為Navier-Stokes方程，它是不可壓縮流體的控制方程，對它的研究一直備受關注。但Navier-Stokes方程是偏微分方程組且對流項呈非線性，對其求解困難，且計算量大。而Oseen方程是Navier-Stokes方程的線性形式，它描述了一個在小雷諾數下的粘性不可壓縮流體的流動，是研究Navier-Stokes方程的一個重要基礎。

在上世紀八十年代，Brooks和Hughes提出了流線擴散法(SD)和流線迎風Petrov-Galerkin法(SUPG)，此方法中增加的穩定項只在流線方向起作用[1]。Johnson和Navert等人運用流線擴散法研究了含時間的線性問題，獲得的解具有相應的穩定性和較高的精度[2-3]。而之前的有限元方法不具有這兩種特性，如Galerkin方法雖有高階精度但并不穩定，甚至精確解的不光滑也會導致偽震蕩;又如人工粘性法(或迎風法)包含了人工擴散系數，雖然能得到穩定性的解，但其精度不高。二十世紀九十年代，Saranen等人提出了在高雷諾數下非定常Navier-Stokes方程的流線擴散有限元方法[4-5]。

1998年，孫澈等人提出了有限差分流線擴散法，此方法既保留了傳統SD方法的本質特征又簡化了算法結構，克服了SD方法計算量較大的不足[6-7]。對空間區域Ω∈Rd以及時間層t=tn到tn+1層，SD方法需要解決空間-時間區域Ω×[tn,tn+1]上的d+1維離散問題，而FDSD方法只需解決Ω區域上的d維離散問題。FDSD方法的計算規模和算法復雜度相當于全離散的Galerkin有限元方法。

2001年和2002年，孫同軍和羊丹平先后運用SD方法和FDSD方法研究了對流占優的Sobolev方程[8-9]。2008年，駱艷和馮民富將壓力梯度投影和間斷有限元方法相結合，對可壓縮線性化Navier-Stokes方程提出了一種穩定化間斷有限元格式[10]。2011年，劉程熙和朱登標研究了瞬態Oseen方程的全離散局部投影穩定化方法，給出了穩定性證明，并使用一個具有正交性的插值得出誤差估計[11]。

本文安排如下: 第1部分給出了非定常Oseen方程的FDSD格式。第2部分給出此格式的穩定性。第3部分給出速度和壓力相應離散解的誤差估計[11]。

1 Oseen方程和FDSD格式

考慮非定常Oseen方程

(1)

其中Ω?R2為具有多邊形邊界?Ω的有界區域,u=u(x,t)∈R2為速度向量,p(x,t)∈R為壓力,f(x,t)為體力,u0(x)為初值向量函數。表示梯度,△表示Laplacian算子,ν>0為黏性系數,α>0為標量,流域a滿足·a=0。

令時間步長Δt>0,N=[T/Δt],tn=nΔt(n=0,1,…,N),Θ={K}為區域Ω上的正則三角剖分.令0

定義

Qh={q∈H1(Ω)|q|K∈(P1(K)),?K∈Θ},

其中P1(K)表示K上的一次多項式。

1.1 FDSD格式

(2)

其中?n(x)?(x,tn),Rn=-()n為截斷誤差.

對方程(1)采用FDSD法:求(Un,Pn)∈Vh×Qh(n=1,2,…,N)滿足

=(fn,ν+δ1(a·ν+q)),?(ν,q)∈Vh×Qh,

(3)

U0=u0,

Un=0,在?Ω上,

其中δ1=ci(Δt)2,c1是獨立于h,ν,α的正常數。

2 FDSD格式的穩定性

令v=Un,q=Pn則(3)為

=(fn,Un+δ1(a·Un+Pn))

(4)

分別估計上式中每一項,結合δ1=c1(Δt)2,得

(a·Un+Pn,δ1(a·Un+Pn))+ν(Un,Un)

=δ1‖a·Un+Pn‖+ν‖Un‖2,

(αUn,δ1(a·Un+Pn))≤‖a·Un+Pn‖2+Pn‖2+α2δ1‖Un‖2

綜上所述,當Δt適當小且c1滿足0

(5)

記δ1=c1(Δt)2≤C,得

(fn,Un+δ1(a·Un+Pn))≤C‖fn‖2+c1‖Un‖2+‖a·Un+Pn‖2

(6)

由(5)和(6)得

(7)

將上式兩端同時乘以ζn-1,由0<ζn<ζn-1<1得

將上式進行累加,結合ζn<ζi(i=1,2,…,n-1)得

當Δt適當小且0<4(c1Δt+α2δ1Δt)≤1/2時,得

≤(1+16(c1Δt+α2δ1Δt))N

=(1+16(c1Δt+α2δ1Δt))T/Δt≤e16(c1+α2δ1)T,

由Gronwall不等式得

由上式可得下列結論。

定理1 當Δt適當小且c1滿足0

(8)

3 FDSD方法的誤差估計

+α‖un-Un‖2}≤C(h3+(Δt)2)。

(9)

令雙線性形式

則方程(2)和(3)等價于

(10)

和

(11)

由(10)和(11)得

(12)

當Δt適當小且0

(13)

估計(12)右端每一項,得

|(Rn,δ1(a·ξn+γn))|≤‖a·ξn+γn‖2+4δ1‖Rn‖2,

對上式得

(diνηn,γn)=-(ηn,γn).

則

+α(ηn+ξn)+ν(ηn+ξn)+δ1(a·ηn+βn,a·ξn+γn)

+16δ1‖a·ηn+βn‖2+(16+16α2δ1)‖ηn‖2

綜上所述,得

(14)

由(13)和(14)得

+16δ1‖a·ηn+βn‖2+‖ηn‖2+Cδ1‖ηn‖2+A1‖ξn‖2+‖βn‖2

(15)

‖η‖W1,4(Ω)≤Ch‖u‖W2,4(Ω),‖η‖L∞(Ω)+h‖η‖L∞(Ω)≤Ch‖u‖W1,∞(Ω),

‖η‖+‖β‖+h(‖η‖+‖β‖)

≤Ch2(‖u‖2+‖p‖2),‖Rn‖2

‖a·ηn+βn‖2≤2‖a·ηn‖2+2‖βn‖2≤Ch2.

綜上所述,結合(15)得

由定理1,當Δt適當小且0

由上式,利用三角不等式可得

[1] Brooks A N,Hughes T J R.Streamline upwith/Petrov-Galerkin formulations for convection dominated flows with particular emphasis on the incompressible Navier-Stokes equations[J].Comput Meth Appl Mech Engrg,1982,32(1-3):199-259.

[2] Johnson C,Navert U.An analysis of some finite element methods for advection-diffusion problem[J].North-Holland Mathematics Studies, 1981,47:99-116.

[3] Johnson C,Navert U,PITKARANTA J.Finite element methods for linear hyperbolic problems[J].Comput Meth Appl Mech Engng,1985,45:285-312.

[4] Johnson C,Saranen J.Streamline diffusion problems for the incompressible Euler and Navier-Stokes equations[J].Math Comp,1986,47(175):1-18.

[5] Hansbo P,Szepessy A.A velocity-pressure streamline diffusion finite element method for the incompressible Navier-Stokes equations[J].Comput Meth Appl Mech Engrg,1990,84(2):175-192.

[6] Sun C,Shen H.The finite difference streamline diffusion method for time-dependent convection-diffusion equations[J].Numer Math J(English Series),1998,7(1):72-85.

[7] 張強.不可壓縮N-S方程的差分流線擴散法[J].計算數學,2003,25(3):311-320.

[8] Sun T J.Finite difference streamline diffusion method for quasi-linear Sobolev equation with convection-dominated term[J].Numer Math J(Chinese Series),2001,23(4):340-356.

[9] Sun T J,Yang D P.The finite element difference streamline diffusion methods for Sobolev equation with convection-dominated term[J].Appl Math Comput,2002,125(2):325-345.

[10] 駱艷,馮民富.可壓縮Navier-Stokes方程的壓力梯度局部投影間斷有限元法[J].應用數學和力學，2008,29(2):157-168.

[11] 劉程熙,朱登標.瞬態Oseen方程的全離散局部投影穩定化方法[J].內江師范學院學報, 2011,4(26):1-6.

(責任編輯：張凱兵)

O241. 82

A

2095-4824(2013)06-0090-05

2013-09-22

國家自然科學基金項目(11271390)，西華師范大學基金項目(10B013)

周國霞(1986- ),女,重慶人,西華師范大學數學與信息學院碩士。

李 敏(1986- ),女,山西朔州人,西華師范大學數學與信息學院碩士。

陳豫眉(1972- ),女,四川眉山人,西華師范大學數學與信息學院教授,博士。