基于實數(shù)編碼量子進化算法的IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設計

哈爾濱電氣集團阿城繼電器有限責任公司 孫成發(fā)

1.引言

IIR數(shù)字濾波器是一類重要的濾波器，具有較高的計算精度，且能夠用較低的階數(shù)獲得很好的頻率選擇特性，已在很多領域得到了應用。IIR數(shù)字濾波器設計是信號處理中的一個重要課題。許多學者在IIR數(shù)字濾波器設計方面作了大量的工作[1-4]，主要分為兩類：一類是先設計模擬濾波器，然后利用雙線性變換轉變?yōu)閿?shù)字濾波器，方法簡單易行，但設計結果有時不是十分理想[1]；另一類是基于某一優(yōu)化準則，將數(shù)字濾波器設計問題轉化為優(yōu)化問題的求解，以使設計的數(shù)字濾波器性能達到最優(yōu)，但由于相應的優(yōu)化問題均是復雜的多參數(shù)非線性函數(shù)優(yōu)化問題，在求解過程中極易陷入局部極值，難以得到全局最優(yōu)解或滿意解。近年來，隨著智能優(yōu)化算法的發(fā)展，已有學者將遺傳算法（GA）[2]和粒子群算法（PSO）[3，4]應用到IIR是字濾波器設計中，但GA算法存在著難以克服的“早熟”和“停滯”問題；PSO雖然運行速度快，簡單，但仍有很大可能陷入局部極值。

實數(shù)編碼量子進化算法（Read-coded quantum evolutionary algorithms，RQEA）是基于量子計算的相關概念和原理形成的一種概率性搜索算法，具有收斂速度快，全局搜索能力強的特點[5，6]。RQEA為數(shù)字濾波器的設計提供了一種新的工具，文中將RQEA用于IIR數(shù)字濾波器的優(yōu)化設計，給出了IIR數(shù)字濾波器設計的優(yōu)化模型，介紹了RQEA的基本原理和應用RQEA設計IIR數(shù)字濾波器的具體實現(xiàn)過程，最后，通過仿真試驗表明應用RQEA設計IIR數(shù)字濾波器不僅可行，而且有效。

2.IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設計

2.1 IIR濾波器的優(yōu)化模型

設N階IIR數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)描述為：

如采用(1)式進行IIR數(shù)字濾波器設計，則待優(yōu)化參數(shù)共有M +N+2個，且各參數(shù)的取值范圍難以確定。為了便于采用優(yōu)化算法進行IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設計，通常采用二階節(jié)的級聯(lián)結構形式對(1)式進行變形，即：

式中A是增益，是一個常數(shù)，N為二階節(jié)的個數(shù)，ak、bk、ck和dk是待優(yōu)化設計參數(shù)。當IIR濾波器采用(2)式結構時，頻率響應對系數(shù)變化的敏感度低，便于調整頻率響應。(2)式對應的IIR數(shù)字濾波器的頻率響應為：

式中：

2.2 參數(shù)取值范圍的確定

將(3)式代入(5)式得：

可見，E是增益A和濾波器系數(shù)ak、bk、ck和dk(N k=1,…,)的非線性函數(shù)，而增益A不是獨立參數(shù)，可由其它參數(shù)參數(shù)確定，則優(yōu)化問題（5）式含有4k個參數(shù)。

將(6)式對A求微分并令其為0，可推導出最佳增益A的解析表達式，即：

可得：

表1 IIR數(shù)字濾波器設計結果Table1 Results of IIR digital filter design

圖1 不同算法進化過程Fig.1 Evolutionary procures of different algorithms

由于只考慮幅度響應誤差，A的正負值對結果沒有影響。但是，為了保證設計濾波器的穩(wěn)定性，需要對優(yōu)化參數(shù)范圍進行限制。由(2)式可知，只要使每個二階節(jié)的極點都在Z平面的單位園內，即：的零點zk都滿足由此可以確定ck和dk的取值范圍為：-2＜ck＜2，-1＜dk＜1，(k=1,…,N )。若參數(shù)在此范圍內取值，優(yōu)化結果仍然出現(xiàn)不穩(wěn)定極點，可以用該極點在單位圓內的映像代替該極點(相當于級聯(lián)了一個全通網(wǎng)絡)，可以在不改變?yōu)V波器幅頻響應的基礎上，保證得到穩(wěn)定的濾波器。如果要求設計的濾波器同時具有最小相移特性，對ak和bk的取值范圍作同樣的限制。

3.實數(shù)編碼量子進化算法(RQEA)

RQEA基本思想[5]：(1)構造實數(shù)編碼三倍體染色體；(2)利用量子旋轉門和基于高斯變異的互補雙變異算子一起進化染色體；(3)通過離散交叉實現(xiàn)染色體之間的信息交流，擴大算法搜索范圍；(4)采用“爬山”選擇，加快算法收斂速度。

實數(shù)編碼三倍體染色體的等位基因由復雜函數(shù)自變量向量x的一個分量xi和量子比特的一對概率幅組成，即：，則實數(shù)編碼三倍體染色體可描述為：

式中，αi和βi滿足歸一化條件，i=1,…,n。n為染色體長度，由復雜函數(shù)的維數(shù)決定。

RQEA對每一個染色體實施單基因變異[7]。設第t代時群體為N為群體規(guī)模。對于，隨機選擇第i基因位對變量進行高斯變異，可得：

圖2 不同算法設計濾波器幅頻特性Fig.2 Magnitude of filter designed by different algorithms

若由(10)式生成的新染色體優(yōu)于原染色體，則為有效進化，可令否則為無效進化，并由量子旋轉門更新和，即：

式中，θ0為初始旋轉角，γ為進化尺度，θ0和γ控制旋轉角大小；符號函數(shù)sgn（·）控制旋轉角方向，以確保算法收斂。

4.算例分析

為了驗證文中提出方法的有效性和優(yōu)越性，采用RQEA設計低通濾波器（例1）和高通濾波器（例2），同時，出于比較的目的，采用GA求解相同的問題。

例1：設計一個低通濾波器，其技術指標為：

例2：設計一個高通濾波器，其技術指標為：

在例1和例2中，數(shù)字濾波器均選用3個二階節(jié)，即N=3，則濾波器參數(shù)共有個，頻域采樣點數(shù)均取為21。RQEA相關參數(shù)為：群體規(guī)模、初始旋轉角θ0=0.3π、進化尺度、實數(shù)編碼三倍體染色體基因位中的概率幅均取為連續(xù)“求精”和“求泛”次數(shù)分別為mf=6，mc=2；GA相關參數(shù)為：群體規(guī)模，是RQEA群體規(guī)模的2倍，最優(yōu)個體保留，蒙特卡羅選擇，交叉概率pc=0.7，變異概率pm=0.1。兩種算法均以運算代數(shù)作為終止條件，且運算代數(shù)取為500，為消除單次運算存在的偶然性，各種算法均在給定參數(shù)下獨立運算10次，取其中最好的一次作為最終優(yōu)化結果。圖1描述了設計數(shù)字濾波器的優(yōu)化過程。圖2描述了設計數(shù)字濾波器的幅頻特性。

由圖1可以看出，RQEA無論是收斂速度，還是優(yōu)化結果均優(yōu)于GA。由圖2不難發(fā)現(xiàn)，應用RQEA設計的數(shù)字濾波器的通帶波動、過度帶斜率以及阻帶衰減均要優(yōu)于GA設計的數(shù)字濾波器，應用RQEA設計數(shù)字濾波器具有更好的綜合性能。表1列出了數(shù)字濾波器設計結果，濾波器各個參數(shù)均保留6位小數(shù)，能夠發(fā)現(xiàn)RQEA設計數(shù)字濾波器與理想濾波器的均方誤差更小，性能更優(yōu)。

5.結論

鑒于IIR數(shù)字濾波器優(yōu)化設計本質上是一個多維非線性函數(shù)優(yōu)化問題，文中將具有全局收斂性好，收斂速度快特點的RQEA引入IIR數(shù)字濾波器設計中。仿真實驗表明，應用RQEA優(yōu)化設計IIR數(shù)字濾波器較GA具有更優(yōu)良的性能，具有實際意義。

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