淺談高等數學發散思維教學*

孟立平，王國興

（蘭州商學院信息工程學院，甘肅 蘭州730020）

發散思維，就是求異思維，它是一種創造性思維［1］.它的思維方式就是從已知信息出發，從多角度、多層次去思考，從而產生新的、獨特的結論和解決問題的途徑.它包括橫向發散、縱向發散、求異發散和窮舉發散.它的特點是多向性、變通性、流暢性和獨特性，即思考問題時注重多思路、多方案，解決問題時注重多途徑、多方式.它要求善于聯想、思路寬闊，要求分解組合，引申推導、靈活變通.

對于同一個問題，從不同的方向、不同的層次橫向拓展、逆向深入，采用探索、轉化、構造、分解等方法得到最佳的解法和方案.只有通過發散思維，才能獲得可供分析，綜合的信息，以便對問題進行全面、深入的研究.在探索中掌握知識的內在聯系，深刻的理解知識、鞏固知識和靈活的運用知識.

發散思維在高等數學教學中的典型體現就是“一題多解”和“一題多變”，發散思維貫穿著高等數學教學的各個方面.本文結合題例，討論“一題多解”和“一題多變”，探討在高等數學教學中對學生發散思維能力的培養問題.

1 一題多解［2］

例題1 設f（x）在［0，1］上具有二階導數，且f″（x）＜0，求證:

分析2 考慮到題目涉及定積分，于是想到對f（x）的原函數進行泰勒展開式.

分析3 將積分上限常量看成變量，構造輔助函數兩次使用Lagrange 定理來證明.

所以F（x）在［0，1］上單調遞減，F（1）≤F（0），即:.

2 一題多變

2.1 將例題1 中的積分區間推廣為［a，b］的情形

例題2 設f（x）在［a，b］上具有二階導數且f″（x）≤0，求證:.

由定積分的性質可得:

因為F（x）在［a，b］單調遞減，所以F（b）≤F（a），即:.

2.2 將被積函數f（x）變成f（xn）的情形

例題3 設f（x）在［0，1］上具有二階導數且f″（x）＜0，求證.

兩邊積分得:

證畢.

2.3 將區間變為［0，a］，被積函數變為f（u（t））的情形

例題4 設f（x）在［0，a］上具有二階導數且f″（x）≥0，u（t）為任意連續函數，求證:.

證明 由題設知，f（u（t））在區間［0，a］連續，兩端的定積分均存在，將區間［0，a］n 等分，令:

則:

3 結束語

通過上述問題的討論可以看出，在高等數學的教學中，所體現出的發散思維的最大特征是發散性、可變性、變通性、獨特性.高等數學發展的實質就是創新，而發散思維是創新思維的重要成分，所以，在高等數學的教學中應當重視學生發散思維能力的培養.

培養發散思維的方法很多，一題多解是一種重要的方法，通過一道習題抓一類問題，讓思維從多個角度，多個方面、以各種觀點去分析、去思考，擴充思維領域、培養思維機遇，從多渠道求異途同歸的解題新方法;一題多變是另一種重要方法，它使知識縱向深入，橫向擴散，從而培養學生分析問題、解決問題的能力.

發散思維是一種求異式、展開式思維，思維從一點出發，可以沿著不同的方向展開，我國數學家徐利治教授指出:“數學中的新思想、新概念和新方法往往來源于發散思維.”他總結概括出了數學創造能力公式:創造能力= 知識量× 發散思維能力.可見發散思維在數學學習中起著非常重要的作用.

［1］宋枚，王愛云，馬軍英.在高等數學教學中培養學生創造性思維能力［J］.山東師范大學學報:自然科學版，2002，3（1）:81－83.

［2］閻溯，柳森，董芳馳，等.從一道試題談一題多解與多變［J］.高等教育研究，2002，5（4）:44－46.

［3］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（上、下）［M］.第3 版.北京:高等教育出版社，1992.