一類二階常微分方程邊值問題的格林函數的討論*

李 莉

（南京財經大學應用數學學院，江蘇 南京210046 ）

引言

在微分方程的研究中，格林（Green）函數起著非常重要的作用，它可以用來求解弦振動［1］等動力問題.但在不同的文獻中，Green 函數的求法是不統一的.本文研究二階常微分方程

在多種邊界條件［2］下的Green 函數.該方法可求出很多微分方程邊值問題的Green 函數.

本文首先給出Green 函數的定義及其構造方法，其次是研究二階常微分方程（1）在周期邊界條件下的Green 函數，再次對相關的幾種邊界條件，直接給出所述問題的Green 函數，最后是算例.

1 Green 函數的定義［3］及其構造方法

給定二階常微分方程（1）及邊界條件:

設y（a），y＇（a），y（b），y＇（b）的一次式V1，V2是線性獨立的.

定義1 設ε為（a，b）中的任意點:a ＜ε ＜b ，具有以下4 個性質的函數G（x，ε），稱為邊值問題（1），（2）的Green 函數.

1）對每個固定的ε，G（x，ε）本身關于x 是連續的;

2）G（x，ε）關于x 的導數，以x = ε為第一類間斷點，且躍度為－1，即

3）對于x ≠ε，函數G（x，ε）關于x 是二次可微的且滿足常微分方程（1），即L［G］= 0;

4）對于x ≠ε，函數G（x，ε）關于x 滿足邊界條件（2），即Vk（G）= 0.

Green 函數的構造如下.

設y1（x），y2（x）是方程（1）的線性無關解.由性質3）知函數G（x，ε）在［a，ε）及（ε，b］上可由上述y1（x），y2（x）表出，即:

其中a1，a2，b1，b2是ε 的函數.

由性質1）知函數G（x，ε）在點x=ε 連續，故有［b1y1（ε）+b2y2（ε）］－［a1y1（ε）+a2y2（ε）］=0，又由性質2）有［b1y＇1（ε）+b2（ε）］－［a1（ε）+a2（ε）］=－1，設:

于是得到關于ck（ε）的線性方程組:

方程組（6）的系數行列式為Wronski 行列式W（y1（x），y2（x））在點x =ε 時的值，因為y1（x），y2（x）線性無關，所以W（y1（ε），y2（ε））≠0，故方程組（6）有唯一解ck（ε），（k=1，2）.

下求ak（ε），bk（ε）.將邊界條件（2）中的Vk（y）寫為:Vk（y）=Ak（y）+Bk（y），其中Ak（y）=αky（a）+αk（1）y＇（a ），Bk（y）=βky（b）+βk（1）y＇（b）.由式（4）得:

同理有Bk（G）=b1Bk（y1）+b2Bk（y2）.由性質4）可得Vk（G）=Ak（G）+Bk（G）=0.即:

又由式（5）知ak=bk－ck，則:

于是

方程組（7）為關于b1，b2的線性方程組，由V1，V2線性無關，知方程組的系數行列式:

因此，方程組（7）的解b1（ε），b2（ε）存在并且是惟一的.由ak=bk－ck（k=1，2）得知ak（ε）（k =1，2）也存在且惟一.將ak（ε），bk（ε）（k=1，2）代入式（4）就得到G（x，ε）.

上述過程證明了Green 函數的存在惟一性.于是有下面的引理1:

引理1 若邊值問題（1），（2）只有零解y（x）≡0，則算子L 有且只有一個Green 函數.

2 周期邊界條件下的Green 函數及其證明

首先設方程（1）具有周期邊界條件:

我們有下列結論.

定理1 二階邊值問題（1），（8）的Green 函數為:

證明 我們已知方程（1）的基本解組為coskx，sinkx，則通解為y =Acoskx +Bsinkx，其中A，B為任意常數.由邊界條件（8），可得A，B 滿足下列等式:

從而可得A=B=0，故由引理1 知Green 函數存在且惟一.由基本解組（coskx，sinkx），可設Green 函數的形式如下:

其中a1，a2，b1，b2為ε 的待定函數.

設ck（ε）=bk（ε）－ak（ε），k=1，2.由方程組（6）可得關于ck（ε）的線性方程組:

解得:

由性質4）知Green 函數應滿足邊界條件（2），則對問題（1），（8）應有G（a，ε）=G（b，ε），G＇（a，ε）=G＇（b，ε）.于是有:

由式（5），（12），（13）可得:

把所求系數ak，bk（k=1，2）代入式（10），（11），即得問題（1），（8）的Green 函數:

3 另外幾種邊界條件下的Green 函數

由于以下幾種邊界條件下的Green 函數的證明過程與周期邊界條件下的Green 函數的證明類似，所以直接給出所述問題的Green 函數.

4 計算Green 函數的示例

在實際求Green 函數時，可直接套用公式，也可不直接用公式，而按照定理1 的證明過程也可以求出該類二階常微分方程在不同邊界條件下的Green 函數.

例1 求二階常微分方程

在邊界條件

下的Green 函數.

解 我們已知常微分方程（18）的通解為y（x）=Acosx+Bsinx，其中A，B為任意常數.

其中a1，a2，b1，b2為ε 的待定函數.

設ck=bk－ak，k=1，2.由方程組（6）可得關于ck（ε）的方程組，解之得:

因為Green 函數具有性質4），應滿足邊界條件（19），所以對問題（18），（19）成立:G（0，ε）=G（1，ε），G＇（0，ε）=G＇（1，ε），即:

由式（5），（22），（23）可得:

把所求得的系數代入式（20），（21），即得問題（18），（19）的Green 函數為:

例2 求常微分方程（18）在邊界條件y＇（0）=y（1）=0 下的Green 函數.

解 本題中k=1，a=0，b=1，利用公式（17）可得Green 函數為:

［1］韓茂安，周盛凡，邢業朋，等.常微分方程［M］.北京:高等教育出版社，2011:163－164.

［2］王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程［M］.第3 版.北京:高等教育出版社，2006:370－371.

［3］Pokornyi Y V，Borovskikh A V.the connection of the green’s function and the influence function for nonclassical problems［J］.2004，119（6）:739－768.