基于集對分析的膨脹土脹縮性Vague集評價模型

魏東方，汪明武*，李 健，徐 鵬

（合肥工業大學土木與水利工程學院，合肥 230009）

膨脹土主要由親水性黏土礦物組成，具有非飽和土的基本特性和顯著的吸水膨脹、失水收縮特性[1]，且具有隨時間、氣候和區域變化的長期潛在危害性[2～4]，直接威脅建筑物安全。工程實踐表明，對膨脹土脹縮性等級誤判或漏判都可能引發工程安全事故從而造成巨大經濟損失。因此，在膨脹土地區修建重要工程，準確地判定膨脹土脹縮性等級，對采取有效措施確保工程安全具有重要實際意義。

膨脹土脹縮性受諸多不確定性因素影響與控制，其評價是一個復雜的不確定系統分析問題，國內外許多學者對此問題開展研究并提出了相應的方法[5～11]。這些方法的提出使膨脹土脹縮性等級的評價由定性描述轉為定量、定性全面分析，一定程度上提高了膨脹土脹縮性等級評價的準確性。但各方法都有其適用范圍和局限性，膨脹土脹縮性等級評價問題至今未得到很好解決。而近期發展起來的Vague集理論在處理不確定性問題時較傳統的模糊集有更強的表示能力[12]；集對分析理論則可以完整刻畫確定不確定系統中的對立統一關系[13]，兩者耦合可取長補短，為膨脹土脹縮性等級評價提供了新的途徑。為此，本文擬提出用集對分析來構造Vague集中隸屬函數的新方法，以建立膨脹土脹縮性等級的Vague集和集對分析耦合的評價模型，并結合實例驗證分析模型的可行性和合理性。

1 Vague集和集對分析理論簡介

Vague集理論是Gau和Buehrer于1993年提出的處理模糊問題的新理論[12]。對于論域U中任意一個元素x，Vague集A在點x的Vague值用[0,1]的子區間[tA(x),1-fA(x)]表示，tA(x)和fA(x)為隸屬度的界限值，其中tA(x)為真隸屬函數，表示支持“x屬于A”成立的程度；fA(x)為假隸屬函數，表示反對“x屬于A”成立的程度。tA(x)，fA(x)∈[0,1]，并且tA(x)＋fA(x)≤1。通過tA(x)、fA(x)計算記分值，以記分值來判定待評樣本符合某一等級要求的可能性。用Vague集方法來描述不確定性問題，雖然能在一定程度上克服傳統模糊集方法的隸屬度單一且不能反映肯定與否定狀態的缺點，但是該方法不能表達介于支持和反對之間的不確定狀態。

集對分析是趙克勤先生于1989年提出的處理不確定性問題的系統分析方法，在諸多領域得到廣泛應用[14～18]。集對分析理論通過對事物同、異、反的分析和刻畫，能全面表達確定不確定的狀態，并用聯系數來表達這種關系。可見，Vague集和集對分析都是解決不確定性問題的理論，若在Vague集的方法中引入集對分析，可很好解決Vague集對介于支持和反對之間的不確定狀態的描述問題。

2 評價模型構建

本文基于評價樣本實測值與評價標準間的同異反關系來構建Vague集隸屬函數，并結合與理想類別之間的相似度及權重綜合計算記分值，以判定膨脹土的脹縮等級。

2.1 脹縮性評價指標和分類標準確定

基于可操作性、廣泛性和實用性原則，以及文獻報導和以往成功經驗，脹縮性評價選用天然含水率、液限、塑性指數、自由膨脹率、總脹縮率五個指標，以j(j=1,2,…,5)表示；脹縮性等級D={d1, d2, d3, d4}分別對應極高Ⅰ、高Ⅱ、中Ⅲ、低Ⅳ。膨脹土脹縮性等級評價指標標準值見表1。

表1 膨脹土脹縮性等級評價指標標準值Table 1 Classif i cation standard for the swelling-shrinkage grade of expansive clay

2.2 Vague集隸屬度計算模型

Vague集中隸屬函數的確定是其應用的關鍵。本文引入集對分析理論，以解決某些樣本中真、假隸屬度tA(x)、fA(x)可能出現負值或大于1的情況，使Vague集和集對分析耦合的評價模型具有更廣的適用性。

以樣本p(p=1,2,…,P)來說明，vpj表示樣本p中某評價指標j的實際值，tij表示針對指標j待評樣本屬于等級di(i=1,…,4)的程度，不屬于di的程度用fij表示。樣本p中指標j的界限值為M1,j，M2,j，…，Mn,j，若樣本指標屬于獲益型指標，則：M1,j＞M2,j＞…＞Mn,j。若vpj∈[Mi+1,j，Mi,j)則評價指標值位于該等級標準集之內，表示完全支持，即為同，相應的tij=1，fij=0；與[Mi+1,j，Mi,j)不相鄰的等級標準集同vpj的關系為完全反對，即為反，此時tij=0，fij=1；與[Mi+1,j，Mi,j)相鄰的等級標準集[Mi,j，Mi-1,j)、[Mi+2,j，Mi+1,j)同vpj的關系為支持、反對共存，即為異，此時隸屬函數計算模型如下：

式中，Mi,j為指標j的界限值，vpj為待評樣本p中指標j的實測值。

而對于損失型指標，M1,j＜M2,j＜…＜Mn,j，將區間的上下限互調即可。

2.3 脹縮性等級評價模型

任意兩個Vague集之間的相似程度可用相似度表示，對Vague值分別為X=[tx，1-fx]，Y=[ty，1-fy]的兩個集合，相應的X、Y的相似度Ψ(X,Y)可按下式求得：

Vague集方法以記分值來判定樣本屬于某一等級的可能性，即記分值越大，樣本屬于該等級的可能性越大。記分值的大小由記分函數求得，由于每個人對不確定性問題的認識和理解的程度不同，記分函數的確定常受主觀性影響，為克服此缺陷，Vague集方法以相似度來構造記分函數。若待評樣本的每個指標值都落在某一等級限定的范圍內，稱這樣的類別為理想類別[19]。可知，對于理想類別的所有評價指標均有：t=1，f=0，Vague值為V=[1,1]。根據相似度公式(3)，以理想類別Vague值V代替X，則X=[1,1]；以待評樣本p的Vague值Ap代替Y，則Y=[tij,1－fij]，考慮各指標等級判別影響程度不同，賦予其不同的權重值ωj(j=1，2，…,5)，Vague集方法定義樣本p屬于等級di的記分函數如下：

式中：V表示理想類別的Vague值；Ap為樣本p的Vague值；tij、fij分別表示針對指標j待評膨脹土樣本脹縮性屬于等級di的真、假隸屬度。ΨD(V,Ap)可簡寫為ΨD(Ap)。

由公式(4)計算樣本p屬于各個等級的記分值D(Ap)={Ψ1(Ap),Ψ2(Ap),Ψ3(Ap),Ψ4(Ap)}，基于計算的記分值，以最大記分值對應的等級作為評價結果，即Ψ1(Ap)、Ψ2(Ap)、Ψ3(Ap)、Ψ4(Ap)中最大值對應的等級即為膨脹土樣本p脹縮性的等級。

3 實例應用及討論

為驗證以上模型的可行性和應用效果，現以文獻[20]資料進行分析和對比。樣本評價指標實測值見表2。為便于對比分析，本文各評價指標的權重直接取自文獻[20]，即：ωj={0.23，0.22，0.20，0.19，0.16}，∑ωj＝1。由Vague集評價模型得到的評價結果及與其它方法判別結果的對比如表3所示。

在此以樣本1中的液限指標來說明模型的計算過程。根據表1和表2可知：v11=60，M11=100，M21=55，M31=50，M41=45，M51=40，由于v11∈[55～100)，此時t11=1，t31=0，t41=0；f11=0，f31=1，f41=1。由公式(1)和(2)分別計算t21=0.667，f21=0.111；同理，可計算出樣本1中其它指標的真、假隸屬度。最后據公式（4）求得樣本1中各指標的記分值為：Ψ1(A1)=0.800，Ψ2(A1)=0.926，Ψ3(A1)=0.104，Ψ4(A1)=0.000。可以看出Ψ2(A1)值最大，故可判斷樣本1的脹縮性等級為Ⅱ。同理可以求出其它樣本的記分值，進而判定各樣本所屬脹縮性等級。

表2 評價指標實測值Table 2 Measured values of evaluation indexes

表3 樣本評價結果及對比Table 3 Evaluation results of practical sample and comparison

由表3可知，用Vague集方法評價的結果與集對分析和三角模糊數方法評價所得結果完全吻合，與模糊數學以及可拓學方法所得評價結果基本吻合，此說明Vague集方法用來評價膨脹土脹縮性等級是可行的。Vague集方法的優勢是能通過記分值定量表示樣本屬于各等級的程度，以及向其它等級轉化的可能程度且判斷結果準確、易于操作。如在對樣本1的評價過程中，由表3可以看出，Vague集方法認為樣本1與屬于第Ⅱ類的理想類別的相似度為0.926，同時給出與屬于第Ⅰ類的理想類別的相似程度為0.800，雖然兩個值很接近，但通過比較大小仍可以看出其與第Ⅱ類的相似程度更高，故將樣本1判定為第Ⅱ類。Vague集方法給出記分值的意義在于設計和施工人員可以根據記分值做多方面的準備，避免了單一評價結果的不準確可能給工程建設帶來的隱患。

4 結語

膨脹土脹縮性受時間、地點、環境的影響，其等級的評價是工程界長期未解決的難題，然而卻是膨脹土治理工作中首先要解決的問題。本文基于Vague集和集對分析的理論，建立了以集對分析的方法優化Vague集中的隸屬函數的膨脹土脹縮性等級評價模型，并應用于工程實例分析。結果表明，基于Vague集的評價模型判斷膨脹土脹縮等級是有效可行的，此為解決膨脹土脹縮等級判定和分類提供了一條新途徑。但本文討論的模型中評價指標權重采用了主觀權重值，而權重的合理確定對評價結果有著重要影響，模型在實際應用中，權重合理確定尚有待深入研究和完善。

References)

[1]Wang M W, Li J, Ge S, et al. Moisture migration tests on unsaturated expansive clays in Hefei, China[J]. Applied Clay Science,2013,79:30-35.

[2]鄭少河,姚海林,葛修潤. 氣候影響下膨脹土開裂的力學分析[J].上海地質,2007,28(2):29-32.

Zheng S H, Yao H L, Ge X R. Mechanical analysis on cracking behavior of expansive soil due to climatic condition[J]. Shanghai Geology,2007,28(2):29-32.

[3]顧中華,高廣運,崔可銳. 合徐南段膨脹土分布及性質差異與地質構造的關系[J]. 上海地質,2003,24(2):15-17.

Gu Z H, Gao G Y, Cui K R. The discussion on the relationship among the distribution the quality difference of expansive soil of Hefei-Xuzhou expressway and the geological structure[J].Shanghai Geology,2003,24(2):15-17.

[4]崔可銳,周陽,管政亭,等. 合肥新橋國際機場膨脹土工程性質的試驗研究[J]. 上海地質,2010,31(S1):60-63.

Cui K R, Zhou Y, Guan Z T, et al. Testing research on engineering property of expansive soil in Hefei Xinqiao Ιnternational Airport[J].Shanghai Geology,2010,31(S1):60-63.

[5]余頌,陳善雄,余飛,等. 膨脹土判別與分類的Fisher判別分析方法[J]. 巖土力學,2007,28(3):499-504.

Yu S, Chen S X, Yu F, et al. Fisher’s discriminate analysis method for identif i cation and classif i cation of expansive soil[J]. Rock and Soil Mechanics,2007,28(3):499-504.

[6]宮鳳強,李夕兵. 膨脹土脹縮等級分類中的距離判別分析法[J].巖土工程學報,2007,29(3):463-466.

Gong F Q, Li X B. Distance discriminant analysis to the classification of the grade of shrink and expansion for the expansive soils[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2007,29(3):463-466.

[7]呂海波,趙艷林,孔令偉,等. 自適應模糊神經網絡在膨脹土脹縮等級分類中的應用[J]. 巖土力學,2006,27(6):908-912.

Lv H B, Zhao Y L, Kong L W, et al. Application of adaptivenetwork-based fuzzy inference systems to classif i cation of swellingshrinkage grade of expansive soils[J]. Rock and Soil Mechanics,2006,27(6):908-912.

[8]師旭超,郭志濤. 膨脹土等級判別的遺傳支持向量機多分類方法[J]. 土木建筑與環境工程,2009,31(4):44-48.

Shi X C, Guo Z T. Multi-classification method of GA-SVM on identifying grade of expansive soils[J]. Journal of Civil,Architectural & Environmental Engineering,2009,31(4):44-48.

[9]汪明武,金菊良,李麗. 可拓學在膨脹土脹縮等級評判中的應用[J]. 巖土工程學報,2003,25(6):754-757.

Wang M W, Jin J L, Li L. Application of extension method to the evaluation of the grade of shrinkage and expansion for the expansive soil[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2003,25(6):754-757.

[10]高衛東,劉永建. 熵權可拓模型在膨脹土脹縮等級判別中的應用[J]. 長江科學院院報,2012,29(11):91-94.

Gao W D, Liu Y J. Application of extenics model based on entropy weight to the classification of expansive soil’s swellshrink grades[J]. Journal of Yangtze River Scientific Research Institute,2012,29(11):91-94.

[11]Wang M W, Chen G Y. A novel coupling model for risk analysis of swell and shrinkage of expansive soils[J]. Computers &Mathematics with Applications,2011,62(7):2854-2861.

[12]Gau W L, Buehrer D J. Vague sets[J]. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics,1993,23(2):610-614.

[13]趙克勤. 集對論——一種新的不確定性理論方法與應用[J]. 系統工程,1996,(1):18-23,72.

Zhao K Q. The set pair theory[J]. Systems Engineering,1996,(1):18-23,72.

[14]趙克勤. 集對分析及其初步應用[J]. 大自然探索,1994,13(1):67-71.

Zhao K Q. Set pair analysis and its preliminary application[J].Exploration of Nature,1994,13(1):67-71.

[15]趙克勤. 基于集對分析的不確定性多屬性決策模型與算法[J]. 智能系統學報,2010,(1):41-50.

Zhao K Q. Decision making algorithm based on set pair analysis for use when facing multiple uncertain attributes[J]. CAAI Transactions on Intelligent Systems,2010,(1):41-50.

[16]汪明武,李健,徐鵬. 基于粗糙集對勢的優勢斷裂評價模型[J]. 地質論評,2013,59(4):796-800.

Wang M W, Li J, Xu P. A coupling model of rough set and set pair potential for evaluation of preferred fault.[J]. Geological Review,2013,59(4):796-800.

[17]葛松,汪明武,李健,等. 基于多屬性廣義集對聯系度的邊坡治理方案優選模型[J]. 上海國土資源,2012,33(4):64-67.

Ge S, Wang M W, Li J, et al. Optimization of slope treatment plans using a generalized multi-attribute set pair connection degree approach[J]. Shanghai Land & Resources,2012,33(4):64-67.

[18]鮑海君,曾蓉,王犁苑. 基于SPA的征地區片劃分和區片交界補償價修正[J]. 上海國土資源,2011,32(3):63-66,76.

Bao H J, Zeng R, Wang L Y. Region division for land requisition and compensation price adjustment between interfacing regions based on set pair analysis[J]. Shanghai Land & Resources, 2011,32(3):63-66,76.

[19]李凡,徐章艷. Vague集之間的相似度量[J]. 軟件學報,2001,12(6):922-927.

Li F, Xu Z Y. Measures of similarity between vague sets[J].Journal of Software,2001,12(6):922-927.

[20]蔡奕,王寶軍,施斌,等. GΙS環境下膨脹土脹縮等級的模糊數學評判[J]. 工程勘察,2002,(2):1-4.

Cai Y, Wang B J, Shi B, et al. To judge the swell and shrink grades of expansive soil under GΙS environment by fuzzy mathematics[J].Geotechnical Investigation & Surveying,2002,(2):1-4.