兩變量聯合分布在水文頻率分析中的應用研究

摘 要：本文以汀江流域上某站點的實測洪水資料為樣本，利用Gumbel-Hougaard Copula 函數構建兩個邊緣分布為P-III型分布的年最大洪峰流量系列與年最大七日洪量之間的聯合分布。實測資料的率定結果表明，年最大洪峰流量和年最大七日洪量的聯合觀測值的理論概率分布與經驗概率分布擬合得很好。并基于此理論聯合分布，進行了一些分析計算。

關鍵詞：設計洪水；copula；聯合分布；年最大洪峰流量；年最大七日洪量

在以往的工程實踐中，對于水文極值事件的描述，往往是選取能代表此極值事件的一個重要特性，再采用單變量極值分布來對其加以分析研究，卻忽略了水文事件各個屬性之間存在的相互聯系。例如在設計洪水的時候，我們往往是對其洪峰流量或時段洪量進行單獨的分析研究，而沒有考慮一定洪峰流量和時段洪量同時發生的情況。事實上，同一水文事件的不同屬性之間以及不同水文事件之間都或多或少地存在一定的相關性，采用單變量極值分布來進行頻率分析顯然不能較為全面的了解水文事件的某些統計特性且存在一定的局限性[1]。為了較全面地了解認識某水文事件，就需要從多角度對水文事件進行分析研究。目前已有很多的研究表明，采用兩變量聯合分布相比于單變量分布能更好地描述水文事件的統計特性，能更準確地分析各屬性之間的相互關系。

本文以汀江流域某站點實測的洪量資料為基礎資料[2]，利用P-III型分布作為邊緣分布來構建聯合分布，對此站的年最大洪峰流量和年最大七日洪量之間的聯合分布情況進行研究。

1 Copula函數

近年來，Copula函數在多變量的水文頻率分析中得到了廣泛的應用，其優點是Copula聯接函數的邊緣分布函數不必屬于同一分布族，數學表達上相對簡潔，各個變量之間的相依結構和邊緣分布可以獨立考慮[3]。Copula函數的構造方法比較多，常見的類型有橢圓型、阿基米德型和二次型[4]。本文采用的Gumbel-Hougaard Copula 函數是屬于阿基米德Copula家族的。

設為連續的隨機變量，是變量的聯合分布函數，若他們的邊緣函數都為連續函數，則存在唯一的copula函數）使得：

式中：θ為copula函數的參數，其值反映了隨機變量之間的相關性，可以根據之間的相關系數ρ進行估計：

由式（2）可以知道，年最大洪峰流量X和年最大七日洪量Y的分布函數F（x）和F（y）的聯合分布函數為：

由此聯合分布，我們可以得到不同事件的發生概率[5]，存在以下幾類情況：

（1）事件或事件單獨發生的概率為

（2）事件和同時發生的概率為

（3）在事件條件下，事件發生的概率為

（4）在事件條件下，事件發生的概率為

2 兩變量聯合分布的經驗概率分布推求

關于隨機變量聯合分布的累積概率分布的推求，首先是要構造一個二維數據表，并將觀測值分別按升序進行排列，則兩變量聯合分布的經驗概率分布可由下式計算得到[6]，

式中：是聯合觀測值的個數，是聯合觀測值發生的次數。

3 實例研究

本文從汀江流域某站點51年的流量資料中摘取出年最大洪峰流量和年最大七日洪量，分別用P-III型分布來作為其擬合分布函數，采用Gumbel-Hougaard Copula 函數對年最大洪峰流量和年最大七日洪量的聯合分布進行研究。

經計算，年最大洪峰流量系列和年最大七日洪量系列之間的相關系數為ρ=0.76。據公式（3）可得到，理論聯合分布函數，即式（4）中的參數θ=2.04。分布參數的估計方法有很多，如矩法、權重矩法、概率權重矩和線性矩法等。本文采用統計特性比較穩健的線性矩法，并結合目估適線法進行微調，對分布函數中的有關參數進行估計。據年最大洪峰流量系列所擬合的P-III型分布函數的均值、變差系數和偏態系數分別為，Cvx=0.36，Csx=0.95。而據年最大七日洪量系列Y所擬合的P-III型分布函數的均值、變差系數和偏態系數分別為，將求得的邊緣分布、θ參數代入到公式（4），得到的聯合理論分布函數。

根據公式（9）和（10）分別求得年最大洪峰流量系列和年最大七日洪量系列的聯合經驗頻率和理論聯合分布值，點繪于圖3。求得兩變量的相關系數ρ=0.988，斜率為κ=0.93，說明兩變量的經驗聯合分布和理論聯合分布擬合得很好。

再求出年最大洪峰流量與年最大七日洪量之間的聯合分布函數，我們可進一步推求出某個洪峰流量和某個七日洪量同時發生的概率，或者是某洪峰發生的條件下，某七日洪量發生的概率等。

經年最大洪峰流量X和年最大七日流量Y的擬合的概率分布函數可得，概率為0.1的設計洪峰流量和設計七日洪量分別為：

4 結論

本文用汀江流域某站點的流量資料，采用常用的Gumbel-Hougaard Copula 函數構建兩個邊緣分布函數為P-III型的年最大洪峰流量和年最大七日洪量之間的聯合分布。實際資料的擬合表明，經驗分布和理論分布函數擬合得很好。根據此理論聯合分布函數，我們可以進一步推求某一洪峰流量和某一時段洪量同時發生的概率，或是推求在一個變量發生前提下，另一個變量發生的概率，有助于對水文事件的統計規律從多角度更加全面地認識，以便更好的服務于工程實踐。

參考文獻

[1] 張娜， 郭生練， 肖義等. 基于聯合分布的設計暴雨方法[J]. 水力發電， 2008， 34（1）：18-21.

[2] 河海大學. 青溪水庫設計報告[R]. 江蘇南京：河海大學，2004.

[3] 許月萍， 李佳， 曹飛鳳等. Copula在水文極值事件分析中的應用[J]. 浙江大學學報（工學版）， 2008， 42（7）：1119-1122.

[4] 馮平， 毛慧慧， 王勇. 多變量情況下的水文頻率分析方法及其應用[J]. 水利學報， 2009， 40（1）：33-37.

[5] 熊立華， 郭生練. 兩變量極值分布在洪水頻率分析中的應用研究[J]. 長江科學院院報， 2004， 21（2）：35-37.

[6] 劉次華， 萬建平. 概率論與數理統計[M] . 北京：高等教育出版社，施普林格出版社，2002.