例說包裝問題的數學建模方略

摘 要：近年來，各地市的中考數學卷中，常出現與包裝有關的數學實際問題。這類問題常蘊含許多重要的數學思想與方法，深入剖析這類包裝問題，嘗試進行數學建模，尋求問題解決方法，定能對緊張的中考復習起到較好的示范作用.

關鍵詞：包裝問題；數學建模；策略

模型思想是數學課程標準提出的核心關鍵詞之一，它是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段.近幾年來，各地市中考數學試卷中出現的一類包裝型問題，由于其取材貼近生活，背景樸實而又為學生所熟悉，且題中蘊含許多重要的數學思想與方法，因此，正逐漸被命題老師所青睞.深入剖析這類包裝問題，嘗試進行數學建模，尋求問題解決方法，定能對緊張的中考復習起到較好的示范作用.

一、直角三角形模型

生活中對一些柱體進行外包裝較為常見.在解決這類問題的過程中，往往需要將立體圖形通過剪切展開成平面圖形，將問題置于平面中來尋求解題思路.其中常通過現成的或構造而成的直角三角形，運用三角函數、勾股定理等相關知識解決問題.

例1.如圖1，是一個側棱長為15 cm的直三棱柱包裝盒，它的底面是正三角形.現將寬為4 cm的彩色矩形紙帶AMCN裁剪成一個平行四邊形ABCD（如圖2），然后用這條平行四邊形紙帶按如圖3的方式把這個三棱柱包裝盒的側面進行包貼（要求包貼時沒有重疊部分），紙帶在側面纏繞四圈，正好將這個三棱柱包裝盒的側面全部包貼滿.則在圖2中，裁剪的角度∠BAD的正弦值是 .

評析：如何將平行四邊形紙帶ABCD包貼到三棱柱上？一種是將AD與三棱柱底邊棱重合進行包貼；一種是將AB邊與三棱柱底邊棱重合進行包貼.前者無法將紙帶“螺旋上升”以至包貼整個三棱柱側面；后者可以按題目要求進行包貼.故AB長即為三棱柱的底邊周長.求∠BAD可轉化到直角三角形中求解.本題所涉及的知識點有：三棱柱側面展開圖，解直角三角形，平行四邊形和平移等一些實踐操作知識.解決本題，關鍵是能否在有限的時間里審清題意，能否理解“包貼”的方法和理解“側面全部包貼滿”等字眼，能否通過圖2與圖3找出解決此題的切入口.處理立體圖形往往是要將立體圖形展開成平面圖形.同時平面圖形與立體圖形之間又有著密切的聯系.

二、方程模型

膠帶紙對學生來說是相當熟悉的，靈活利用它，同樣可命制一類好題.解決過程中往往會涉及有關面積的知識，有時也不乏用到不等式等知識.其中常根據隱含的有關面積的等量關系，通過建立方程模型來解決問題.

例2.小明買來一卷包裝用膠帶紙（如圖4）.他突發奇想：這卷膠帶紙拉開來到底有多長？他首先想到可以拉開來直接測量，顯然這是不切實際的.思考后，他想到了用數學知識來解決.他從網上查得這種包裝膠帶紙的厚度約為0.005 cm，他量得整卷膠帶紙的內徑為5 cm，外徑為10 cm.請你幫助小明解決這個問題（結果精確到1米）.

評析：利用學生熟悉的膠帶紙，對此進行聯想而編制成本題.解決該問題需要有思維的開放性和深刻性.一方面它提供了一個生活情境的再現，呈現“活生生”的數學知識應用場景，考查學生對現實問題的理解能力和解決問題的能力，即數學建模能力；另一方面，作為該試題，體現了命題的“公平性”原則，人人都接觸過膠帶紙，不會給學生帶來陌生感.再者，還在于它解法的巧妙：以面積法求得膠帶紙的長度.想象中把整卷膠帶紙拉開，拉開后的膠帶紙的截面可看做是長未知、寬為0.005 cm的很扁很扁的矩形，若設全長為x cm，則圓環面積可表示為0.005x，利用面積建立等量關系，列出方程，從而求得x的值.顯然，直接去求長度的難度要大得多，這需要思維的廣闊性與發散性，沒有較強的抽象思維能力與建模能力，要比較輕松地解決本題是有一定難度的.

三、不等式模型

建立不等式模型來解決生活中的包裝問題，看似風馬牛不相及，然通過巧設載體，將它們有機結合起來，運用不等式等相關知識，硬是解決了一些包裝問題中的包裝帶長度問題，彰顯數學的無窮魅力.

例3.（1）比較大小：

（3）利用上述猜想解決下列問題：如圖5，有一等腰梯形的工件（厚度不計），其面積為1800 cm2，，現要用包裝帶如圖包扎（點E、F、G、H分別為四邊中點），則最少需要包裝帶的長為 .

評析：本題通過一些數式的大小比較，從中抽象概括出一般結論，進而將此結論應用于平面圖形中（厚度不計的等腰梯形工件的外包裝帶的長度估算），體現了從特殊到一般的思考問題的思想與方法，同樣也滲透了數形結合的思想.學習不等式的根本目的，就是要初步形成利用不等式進行數學建模的能力，能把它作為一種有效的數學工具和數學模型，去解決實際問題和數學本身的問題.（1）（2）兩小題比較常規，在解決第（3）小題時，要弄清以下幾個問題：①厚度不計的一個等腰梯形的工件用包裝帶如圖包扎，計算包裝帶的長就是計算什么？②EG與HF的長度與等腰梯形的面積之間有什么聯系？③EG與HF的位置關系如何？為什么有這種位置關系？④如何將第（2）小題的結論用上去？解決了上述問題，本題也就解決了.而題中的（1）（2）兩問與第（3）問看起來是風牛馬不相及的，然而實質上它們有著如此讓人驚詫的聯系，再次體現了數學的無窮魅力.

中考試題承載著課標理念與教學導向，對它們的跟蹤關注與研究是數學教師的最愛.數學模型可以有效地描述自然現象和社會現象，通過呈現學生所熟悉的生活背景與實際，讓學生通過抽象概括，提煉歸納建立數學模型進而獲得問題的解決，這無疑是考查學生抽象思維能力與數學建模能力的好載體，也無疑將成為命題老師的命題思路與編制方向.愿我們一起潛下心來，認真研究課標與考試說明，為切實提高中考復習的有效性與針對性，真正達到“輕負高效”的目標而努力.

（作者單位 浙江省上虞市實驗中學）