高中數學復習課例題設置的思考

數學復習課以系統復習所學知識為主要任務，把平時所學的局部的、分散的知識縱橫聯系，使之系統化、結構化。使學生進一步明確各部分內容的地位與作用，加深理解各部分內容之間的內在聯系，以此達到螺旋上升的目的。

與新授課不同，復習課采用的數學教學內容需要教師根據學生的學習情況，自主進行遴選和組織，而例題的安排，常常出現漫無目的和隨意設置，造成復習教學低效的現象。因此，精選數學復習課典型例題是一項十分重要的工作，對幫助學生查漏補缺、揭示解題規律、總結解題方法、提高數學能力具有重要意義。下面以江蘇教育出版社出版的高中數學必修2中單元復習課“直線與方程的單元復習”為例，側重于例題的教學功能，談談高中數學復習課例題設置的思考。

一、夯實基礎，突出“鞏固”功能

數學復習課教學的例題設置首先要依“標”靠“本”，注重基礎，教師在選擇例題時，依然要緊抓基礎知識復習與基本技能訓練，加深學生對知識的理解與掌握。同時要突出重點，提高針對性，注意學生的薄弱環節，緊扣知識的易混點、易錯點設計例題，突出鞏固功能，做到有的放矢，對癥下藥。

例1.求直線方程：

（1）過點P（3，1），且在兩坐標軸上截距相等；

（2）與直線2x+5y-1=0垂直，且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為5。

說明：“直線與方程”單元的教學內容包括：“直線的斜率”、“直線的方程”、“兩條直線的平行與垂直”、“兩條直線的交點”、“平面上兩點之間的距離”、“點到直線的距離”六節，其中“直線的方程”和“兩條直線的平行與垂直”是本單元的重點內容，也是平面解析幾何的基礎。設置例1的目的，一是復習鞏固這部分知識內容，二是求解例1時，例1（1）、（2）都有兩種不同情況，是學生學習中的易錯點和易混點。例1（1）中，設所求直線方程時要分過原點的y=kx和不過原點的■+■=1（a≠0）兩種情況；例1（2）中，可設所求直線方程為5x-2y+m=0，求出其在兩坐標軸上的截距，再利用三角形的面積公式列出方程求解。

本例的教學形式可以采用先學生自主練習，然后學生板演或用實物投影儀展示，也可以先讓學生自主練習，然后教師巡視、巡批。

二、強化規范，提高“示范”功能

復習教學的例題設置要進一步強化示范功能，提高規范性，這里主要包括數學語言的規范表達、數學推理步步有據、解題步驟規范有序、書寫結構合理完整等方面。使學生解題時能做到：想明白、寫清楚、算準確。摒棄語言書寫不當、解題過程跳步或繁雜、分析過程雜亂等不規范的解題情況。

例2.直線l與直線3x+4y+1=0平行且距離為4，求直線l的方程。

說明：在本例的求解過程中，可以先用待定系數法設直線l的方程，然后在已知直線上取一點，再利用點到直線的距離公式列出方程求解。因此在本例中，可以體現步步有據的推理，規范有序的解題步驟和書寫格式如下。

解：因為直線l與直線3x+4y+1=0平行，

所以可設直線l的方程為3x+4y+m=0.

在直線3x+4y+1=0取點A（1，-1）.

因為直線l與直線3x+4y+1=0的距離為4，

所以點A到直線3x+4y+m=0的距離為4.

所以■=|4|.

解得m=-19或m=21.

所以直線l的方程為3x+4y-19=0或3x+4y+21=0.

本例的教學形式可以是學生自主練習后板演或者學生說解題思路，教師板演。此外本例也可利用兩平行直線間的距離公式求解。

三、舉一反三，凸顯“通法”功能

復習課的例題設置要揭示典型的數學解題方法，突出規律性。這樣才能引導學生從數學思想方法的層面，去分析問題、解決問題，進一步認識其內在的特點和規律，以點帶面、舉一反三，真正通曉數學思想方法。這里的方法不僅有平面解析幾何中用代數方程表達幾何問題的方法、待定系數法等常用的一般方法，還有解決一些特定類型問題的具體的特殊方法，例如在解決一些直線之間對稱問題過程中的轉化化歸的方法等。復習課的通法功能更多的是對一類方法的提煉、概括和總結。

例3.如圖1，在△ABC中，∠C的平分線所在的直線l的方程為y=2x，若點A，B的坐標分別是A（-4，2），B（3，1）.求點C的坐標，并判斷△ABC的現狀。

說明：本例中，因為△ABC中∠C的平分線為y=2x，所以點A關于直線y=2x的對稱點A'在直線BC上。設點A'的坐標為（x1，y1），則由AA'的中點在直線l上，及kl·kAA'=-1，便可求出點A'的坐標。

于是可求出直線BC的方程，同理可求出直線AC的方程。繼而可求點C的坐標，并可判斷△ABC的現狀。

圖1

本例中采用的一個重要方法就是將直線與直線之間的對稱關系轉化為點與點之間的對稱關系求解。這類問題還有很多，教學時可以根據學生的情況，選用不同的例題。

例4.如果直線l與l1：x+2y-3=0關于點（0，-1）對稱，求直線l的方程。

例5.已知光線通過點A（-2，3），經x軸反射，其反射光線通過點B（1，1），求入射光線和反射光線所在直線的方程。

例6.在△ABC中，BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0，角A的平分線所在直線的方程為y=0，如果點B的坐標為（1，2），求點A和點C的坐標。

說明：例4、例5、例6都是直線與直線關于點的對稱問題。例4中，只要在l1上取兩個點，求出這兩個點關于點（0，-1）對稱的點，便可求出直線l的方程；例5中，求出點A、點B關于x軸的對稱點，便可求出入射光線和反射光線所在直線的方程；例6中，直線x-2y+1=0與直線y=0的交點為點A，求出點B關于直線y=0的對稱點B'的坐標，則可求出直線AC的方程，由BC邊上的高線的方程及點B的坐標，可以求出直線BC的方程，繼而可求點C的坐標。

這類例題的教學形式，可以采用師生交流解決問題的方法，然后由學生自主完成，概括提煉方法。

四、拓展延伸，滲透“探究”功能

復習課的例題設置要有彈性，要關注不同學生的數學學習需要，要根據不同的內容目標、學生的知識背景和數學活動經驗，給學生留下延伸、拓展的空間和時間，從而加深學生對知識的理解、運用、延續和深化，使之成為培養學生思維能力的有效載體，使每一位學生都得到應有的發展。基于此，教師要善于提出適合學生的有一定思維價值、有探索性和挑戰性的問題，并在教學中加大學生的參與度，提高學生的探究能力。

例7.過點P（3，0）作直線l，使它被兩相交直線2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的線段恰好被點P平分，求直線l的方程。

說明：本例中，如果直線l垂直于x軸，可得直線l與直線2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的線段不被點P平分，所以直線l不垂直于x軸。如果設直線l的方程為y=k（x-3）（k≠0），分別求出直線l與直線2x-y-2=0和x+y+3=0的交點，再利用所截得的線段被點P平分，列出方程求解。此種解法運算量很大，因此作為單元復習課，可以引導學生探究新的解題途徑，例如，分別設直線l與直線2x-y-2=0和x+y+3=0的交點為A（a，2a-2）、B（b，b+3），再利用點P是線段AB的中點求解。

本例的教學形式，可以采用師生共同探討解題思路，然后由學生嘗試解決。

總之，高中數學復習課的例題設置，除了要思考內容、形式、教學方法外，更要關注學情，從問題出發，精心設置復習課例題，重視發揮例題的教學功能，并且通過例題教學，提高數學復習課教學效益，使學生在原有基礎上得到較快發展。

（責任編輯 郭振玲）