選修專題《矩陣與變換》的教學建議

【摘 要】目前，普通高中《數學》選修4-2《矩陣與變換》的教學應試味道太濃，完全違背了選修專題課程設置的初衷和“課標”的精神。本文就該專題教學的基本原則和主要內容的處理展開論述，給出該專題的教學建議。

【關鍵詞】《矩陣與變換》專題 教學原則 內容處理

《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《課標》）關于選修系列課程的設置是這樣表述的：“……是為對數學有興趣和希望進一步提高數學素養的學生而設置的，所涉及的內容反映了某些重要的數學思想，有助于學生進一步打好數學基礎，提高應用意識，有利于學生終身的發展，有利于擴展學生的數學視野，有利于提高學生對數學的科學價值、應用價值、文化價值的認識。其中的專題將隨著課程的發展逐步予以擴充，學生可根據自己的興趣、志向進行選擇。”

現行的江蘇高考理科數學試卷II（附加題）共四道題，其中選做題與必做題各兩道。選做題是從選修4-1《幾何證明選講》、選修4-2《矩陣與變換》、選修4-3《坐標系與參數方程》、選修4-4《不等式選講》中任選兩道。由于選修4-2《矩陣與變換》的題目操作程序性強、易上手、易得高分，而被絕大部分市級區域學校和師生“青睞”。這本無可厚非，但現實教學中，教師不展示知識的發生發展過程，學生只是被告知，狂練程式；教師不揭示其中的數學文化與數學思想方法；錯失與信息技術整合的絕佳機會；由于教學時學生只是“不知所以然”地被灌輸，所以遺忘嚴重，高三復習時只是到高考之前才被強行“喚醒”解題程式。顯然上述“青睞”應試味道太濃，違背了這門課程設置的初衷及《課標》的精神，值得引起我們的重視。

基于以上現象，筆者提出教學《矩陣與變換》的折中之道——既貫徹執行《課標》精神又贏得高考的一種教學基本原則及教學建議。

一、基本原則

1.以已有的知識為平臺，用實例感悟抽象的原則。

矩陣作為一種重要的數學思維工具，是許多數學分支的基礎，且在各行各業中都有廣泛的應用，但這部分內容比較抽象，因此，以已有的知識為平臺，結合具體實例理解并研究矩陣顯得很重要。這樣不僅讓學生認識到矩陣產生于實際生活又廣泛應用于實際問題，更重要的是，使他們體驗到數學的抽象，其適度形式化有助于人們對問題的思考與解決。

例如，從歌唱比賽成績和方程組系數的矩陣表示（貫穿本專題的始終）引入矩陣的概念，從幾何體三視圖的角度引入投影變化，從彈簧的擠壓與拉伸來理解伸壓變換，從紙牌推移引入切變變換，應用矩陣知識解決密碼學、天氣預報、動畫制作、生物種群問題等，體現了本專題與已有知識以及實際生活的聯系。這樣處理符合學生的認知規律，使他們體會到學習矩陣知識既自然又有用，而不僅僅是為應考。

2.滲透數學思想方法和數學文化的原則。

本專題的教學不僅要以已有的知識為平臺，用實例感悟抽象，而且要注重數學思想方法的滲透。如矩陣與變換蘊含的數形結合的思想，二階矩陣與列向量的乘法與函數y=f（x）中對應法則f對自變量x作用的類比，特征向量的取法與空間向量中平面的法向量的取法的類比等類比思想，“三角函數圖像的變換→矩陣確定的伸壓變換→選修4-4伸縮變換”之間聯系與發展的思想等。

另外本專題的教學還要“大氣”——不能僅僅局限于知識傳承層面的學校教學，更要注重數學文化的延續與傳播。如古時河圖洛書的矩陣表示，我國古代線性方程組的解法“推物求價”問題，當今計算機顯像技術中像素的矩陣刻畫、影視傳媒的動畫制作，矩陣創始人英國數學家凱萊（A.Cayley）的介紹，等等。如果學生在學習矩陣知識的同時，能夠接受數學文化的熏陶，就能形成良好的數學情感體驗。

3.與信息技術整合的原則。

本專題有很多內容適合使用信息技術，如果條件允許，教學要盡可能與信息技術進行整合，充分利用幾何畫板、EXCEL等軟件開展數學探究活動。如利用幾何畫板探究旋轉變換，利用EXCEL研究切變變換、矩陣的乘法，求解行列式，求解逆矩陣，模擬種群數量的變化趨勢等。

4.不難、不偏、不怪的原則。

本專題開設的目的是要求學生了解矩陣與變換的基本知識和思想方法，為他們今后的學習打下良好的基礎，因此，不能將大學的矩陣知識作簡單下放，更不能挖一些難題、偏題、怪題去考學生，而要準確把握教學要求。

二、對主要內容的教學建議

1.從平面圖形變換的角度研究矩陣。

《矩陣與變換》作為一個專題進入中學數學，首先要對其正確定位。如上文所說，它不是大學教材中矩陣內容的簡單下放，不是通過行列式、線性方程組的求解來引入矩陣的相關知識，而是通過平面圖形的幾何變換來講解二階矩陣，所以，應當把矩陣作為研究平面圖形變換的基本工具，作為廣泛意義上的一種“代數”來學習與研究。求平面變換矩陣就是求列向量被變換成的新向量用原向量坐標線性表示的結果。即若xyTMx′y′=ax+bycx+by=a bc dxy，則M=a bc d。

【例1】如圖，求垂直投影到直線y=x上的投影變換矩陣。

【解析】設A（x，y）被投影變換成B（a，a），由kAB=-1，■=-1得a=■+■，即xyTMaa=■+■■+■=■ ■■ ■xy，故所求的投影變換矩陣M=■ ■■ ■。

2.用聯系發展的觀點研究本專題。

“一元二次方程組→行列式→矩陣的特征值與特征向量→轉移矩陣（馬爾可夫鏈）”是本專題的知識與認知發展主線，抓住這條主線，用聯系和發展的觀點，可以做到主要內容的“一線牽”。

轉移概率矩陣（又叫“躍遷矩陣”）是前蘇聯數學家馬爾可夫提出的，他在20世紀初發現：一個系統的某些因素在轉移中，第n次結果只受第n-1次結果的影響，即只與當前所處狀態有關，而與過去狀態無關。所以馬爾可夫鏈就是以當前狀態來預測下一時段狀態的概率模型。這是本專題的難點內容，舉例如下。

【例2】某種電路開關閉合后，會出現紅燈或綠燈閃動，已知開關第一次閉合后，出現紅燈和出現綠燈的概率都是■。從開關第二次閉合起，若前次出現紅燈，則下一次出現紅燈的概率是■，出現綠燈的概率是■；若前次出現綠燈，則下一次出現紅燈的概率是■，出現綠燈的概率是■。試問：開關閉合10次時，出現綠燈的概率是多少？（解答過程略）

3.“一線串珠”本專題。

一道好題可以“一線串珠”，起到綱舉目張的作用。下面是值得參考的一道原創題：

【例3】二階矩陣A確定的平面變換是先將平面圖形上所有點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的2倍，再將所得到的圖形繞坐標原點順時針旋轉90°。

（1）求矩陣A及其逆矩陣B。

（2）若a=81在矩陣B確定的變換作用下變為■，M=3 32 4且M50■=mn，求m+n被5整除后的余數。（解答過程略）

這道題涉及平面變換——矩陣的乘法——逆矩陣——矩陣的特征值與特征向量——高次變換（以及二項式定理）等知識，如果說以上知識點是零散的珍珠，那么這道題就是一條金線，做到了“一線串珠”，也可謂“一題打盡”《矩陣與變換》！

總之，作為一線教師，怎樣貫徹落實好《課標》精神，讓學生對數學學習有興趣肯鉆研，同時又在高考中取得好成績，是一個永遠值得研究的課題。

（作者單位：江蘇省錫山高級中學）