數學分析教學與創新思維

摘 要： 在數學分析教學中有意識地加強創新思維能力的培養是時代的需要，是大勢所趨。培養學生創新思維能力可以從培養觀察能力、抽象能力、應用能力、猜想能力等方面入手。

關鍵詞： 創新思維 數學分析教學 觀察能力 應用能力 猜想能力

21世紀經濟的發展直接依賴于知識信息的傳播和應用，這就要求我們不但要有豐厚的知識基礎，而且要涉及寬闊的知識領域，這一切關鍵在于知識的創新。知識創新的關鍵在于人的創造精神、知識的更新和靈活多樣的應變能力。因此，創新教育已成為我們當前教學改革的核心問題。如何進行創新教育？許多教育專家都從不同角度、不同層面、不同方式進行了很有實際意義的探討，闡述了加強創新教育的觀點，這對當前加強創新教育、不斷進行教學改革和探索起到了具有實際而深遠意義的作用。我們在數學分析教學中，培養學生創新能力方面做了有益的嘗試，收到了良好的效果。

1.培養學生的觀察能力和抽象能力

觀察能力對于自然科學工作者，是不可缺少的能力。沒有足夠的觀察作基礎，也就很難學習和掌握科學理論。只有通過觀察，抓住觀察對象的個性與共性，選擇好的思維起點，方可達到事半功倍的效果。達爾文曾說：“我既沒有突出的理解力，又沒有過人的機智，只是在觀察那些稍縱即逝的事物，并對其進行精細觀察的能力上，我可能在中人之上。”巴甫洛夫的座右銘是：“觀察、觀察，再觀察。”然而，良好的觀察力不是天生就有的，而是經過后天的培養和鍛煉逐步形成起來的。因此，在數學分析教學中，應該通過合理的程序和方法對學生進行數學觀察能力的培養。

例如，在數列極限概念的教學中，我們首先用古代的“割圓術”求一個圓的周長，通過仔細觀察這一現實例子，學生得到以下兩點啟示：

（1）人類認識研究無限的必要性：人們為了認識圓的周長，必須把圓的周長放在該圓的無限多個內接正多邊形的周長數列之中，才能認識圓的周長。這表明，人們為了認識某些客觀事物的本質，必須把它們放在無限的過程之中，才能完成這個認識。

（2）人類認識無限的辯證方法：圓的無限多個內接正多邊形的周長數列的變化是沒完沒了的，永無終結的。如果僅停留在有限過程或沒完沒了地變化下去，人們永遠也不能認識圓的周長。這表明，人們的客觀實踐永遠也不可能完成無限的過程，但是人們的認識總要發展，總不能停留在有限的過程上。與此相適應地存在著人們認識無限的思維方法，即辯證邏輯的飛躍式的思維方法。這種科學的思維方式引導人們飛躍式地看到無限過程的“終結”。因而，這一辯證邏輯的飛躍式的思維方法，不僅使人們看到圓的無限多個內接多邊形的周長數列的變化是沒完沒了的，永無終結的，還使人們看到了無限變化過程飛躍式的“終結”，從而也就認識了圓的周長。

這時，我們可以直截了當地對學生指出，這一無限變化過程飛躍式的“終結”，就是極限。

通過這一教學過程，學生的觀察能力、抽象能力得到了進一步提高，讓他們了解數學的抽象概念均來源于客觀事物的具體性質，只不過是經過了一次又一次的抽象而已，盡可能地消除他們對抽象概念的恐懼感，樹立學好數學分析的信心。

2.培養學生的應用能力

數學分析的主要教學內容——微積分是人類兩千多年智慧的結晶，它的形成和發展直接得益于力學、物理學、天文學、幾何學等研究領域的進展和突破，從開普勒的行星三大定律到牛頓的萬有引力，宇宙速度和火箭運動方程的微積分導出，等等，其中無不充滿著極深刻的數學思想和卓越的數學應用，這也是豐富的數學模型題材。此外，作為微積分的實際應用舉例，還可以通過對物理學、生物學、社會學、經濟學與自然現象中許多數量變化關系的分析，建立簡單的行星運動模型、引力場模型、傳染病模型、人口模型、公共資源模型、經濟問題模型和生態模型等，這些內容的添加加大了課程的信息量，豐富了教學內容，拓寬了學生的思路和視野，激發了學生的學習興趣和積極性，從而有利于提高學生的基本數學素質，逐步將學生引入科學的殿堂。

例如在講授了導數及其應用后可以布置實際應用題：

例1：“谷賤傷農”是我國流傳已久的一種說法，它描述的是這樣一種經濟現象：在豐收的年份，農民的收入卻反而減少。試解釋這一現象。

講授了指數函數后，可以讓學生解釋為什么銀行以“我們按連續復利計算”作為一種吸引顧客的手段。講授了定積分，我們可以讓學生動手做：

例2：只用一個計算器、一根繩子和一把尺子如何估計一個花瓶的體積？

3.培養學生的猜想能力

在科學中，當面臨新情況時，我們從某個猜想開始，我們的第一個猜想失敗，會離目標很遠，但是我們再試它一下，按照成功的程度，我們稍作修改。在觀察的推動下及類比的引導下，作過幾次試驗及幾次修正之后，我們終于可以得到一個更滿意的猜想。愛因斯坦曾說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。因為解決問題也僅僅是一個數學上或實驗上的技能而已。而提出新的問題，新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要有創造思維能力，而且標志著科學的進步。”提出問題，其實就是提出猜想，說明科學的進步首先是猜想的提出。因而，嚴格地說，數學事實首先是被猜想然后才是被證實。美國著名數學家、教育家G.波利亞指出，必須不僅教學生“證明”，而且教學生“猜想”。而在教科書中，“猜想”過程卻是缺少的，這就使教“猜想”在教學過程中顯得更為重要。

總之，創新思維教育是一種全新的教育思想，同時又表現為一種實踐模式。高等院校大力推進素質教育的改革與嘗試，提高學生專業素質和綜合素質，是素質教育的迫切需要，也是提高全民族整體素質的重要保證。我們在數學分析教學中努力探索創新思維培養的方法，只能說是改革路上的一點嘗試，還有待于進一步實踐、總結與提高。

參考文獻：

[1]林文賢.反例在數學分析教學中的作用[J].高師理科學刊，2008，28（4）：93-95.

[2]林文賢.高師數學分析課程對學生數學素質的培養[J].韓山師范學院學報，2006，27（3）：92-94.