拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)的探究

摘 要：對拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行系列探究，推導(dǎo)并歸納出12個性質(zhì)，對拋物線的定義、直線方程、根與系數(shù)的關(guān)系和平面幾何等知識的綜合應(yīng)用，考察數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的題目和相應(yīng)客觀題，提高思維起點(diǎn)，迅速求解。

關(guān)鍵詞：拋物線 焦點(diǎn) 弦 性質(zhì) 直線 方程 相切

中圖分類號：G623 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）07（c）-0178-02

平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.由于拋物線定義的特殊性，使得它有許多其他圓錐曲線所沒有的特征，特別是拋物線過焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)尤其突出，同時也是高考中經(jīng)常要考查的熱點(diǎn)內(nèi)容。下面筆者就拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)進(jìn)行一系列探究，請各位方家不吝賜教。

若拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（如圖1），

證明：如圖6，由導(dǎo)數(shù)知識可得曲線，在處切線的斜率為，所以過點(diǎn)A的切線方程為。

D是M，N的中點(diǎn)，則，由性質(zhì)1可知，，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，D點(diǎn)坐標(biāo)滿足切線方程。

所以直線DA與拋物線相切，同理可得直線DB也與拋物線相切。

注：（1）過拋物線上一點(diǎn)的切線方程還可寫成。

（2）利用性質(zhì)12就可以解釋拋物線的光學(xué)性質(zhì)。連接DA并延長到P點(diǎn)，過A作，則AQ為法線，如圖6，在圓內(nèi)接四邊形AMDF中，，而，所以，而，所以，。若PA為入射光線，則AF為反射光線。所以當(dāng)一束平行于拋物線的軸的光線，經(jīng)過拋物線反射交于焦點(diǎn)；根據(jù)光線的可逆性，從焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的軸.

上述結(jié)論如果能夠理解掌握、靈活應(yīng)用，對于那些重在考察拋物線的定義、直線方程、根與系數(shù)關(guān)系和平面幾何等知識的綜合應(yīng)用題目，考察數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的題目和相關(guān)客觀題的處理，均可以提高思維起點(diǎn)、拓展思路，并迅速求解。

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