數學歸納法的再認識

摘 要： 本文試圖通過第一、第二數學歸納法的邏輯推理證明過程，指出數學歸納法的實質和邏輯原理，并通過各種典型的例子對數學歸納法歸納推理的方法和技巧問題進行了探討和剖析.

關鍵詞： 數學歸納法 添項法 裂項法

定理1：（第一數學歸納法）已知一個與自然數有關的命題P（n），如果

（i）對于數1它是正確的，即P（1）真.

（ii）當假定對自然數k，P（k）真時，能夠證明P（k+1）也真，那么命題P（n）對所有的自然數n都為真.

定理2：（第二數學歸納法）設P（n）是一個含有自然數n的命題，如果

（1）P（n）當n=1時成立；

（2）在P（m）對于所有適合1≤m≤k的自然數m成立的假定下，可以證明P（k+1）成立.

那么，P（n）對任意自然數n都成立.

數學歸納法是數學中一種重要而獨特的證明方法，對與自然數n有關的命題的證明一般是行之有效的.下面結合題型實例給出方法和技巧，同時體現其應用.

一、添項法

如何添項，添項后怎么處理，是證明恒等式和不等式經常遇到的問題之一.在使用數學歸納法進行證明的過程中添項的關鍵是要找準式子形成的規律，然后利用歸納假設推證出所需的式子.