開放性問題在數學教學中的應用

摘 要： 開放性問題是數學教學的一種新模式，具有新穎性、動態性、發散性和創新性等特點，其類型可分為歸納型、存在型、條件探索型.開放性問題具有一定的知識教育價值、能力發展教育價值和人文教育價值，在數學教學中有廣泛的應用.

關鍵詞： 開放性問題 數學教學 應用

實施教育改革以來，以培養人的能力為核心的問題解決、數學建模等教學模式受到越來越多的數學教育工作者的重視.教師的教學觀與學生的學習觀都發生了很大的變化.教師不再是教學的“主角”而是“導演”，教師的作用是主導而不是主宰，學生不是知識的被動接受者，而是教學活動的中心和主體，學生的學習是一個“建構”的過程，是一個創造或再創造的過程.所有這些觀念已成為共識，為人們普遍接受.但是，教育觀念的轉變并不等于教學實踐也隨之發生變化.

開放性問題教學是相對封閉式的教學而言的，是一種新的教學思想指導下的新的教學模式.教師不再主宰課堂，而是讓學生充當主角.教師的注意力集中于創設情境，設計問題，為學生思考、探索、發現和創新提供最大的空間，不對學生預先設置任何框框.既有獨立思考的學生個體活動，又有學生之間、師生之間的合作、討論、交流的群體活動，在寬松、民主的教學環境中促進學生主體精神、創新意識和創新能力的發展.

一、借助開放性趣味題，激發學生探究的興趣

在新知識的導入中巧設趣味性的，新穎奇特的開放性問題，能誘發學生的好奇心，激發學生的探究興趣，調動學生學習的主動性和積極性.

例如在六年級代數式的課題引入中，可以給學生這樣引入：

師：“每個同學心里想一個10以內的數，按如下要求計算，把結果記在心里.把想的這個數加上7，在乘以2，再減去6，再除以2，再減去原來的那個數.”

師：“我能猜出你們的答案！”

生：“不可能！老師你說說看！”

師：“答案肯定是4！”

課堂氣氛熱鬧起來.很多同學不明白為什么互不相同的數，卻能得到相同的結果，更不明白老師是怎么知道的.探究的興趣一下子就被激發出來了.這時，老師就可以順勢引導學生說：“數學中經常用字母表示數.”……平時，教師要注意收集一些有趣的、帶有懸念的、能引起學生興趣的問題，如“中央電視臺的《焦點訪談》節目為什么首播時間要放在19：38呢？”；“將一張厚度為0.09mm的紙對折42次后，其厚度是多少？是否能夠從地球到達月球？”前者應用于“鐘面上的追擊問題”的教學中，后者應用于“數的乘方”的教學中.通過這些饒有情趣的數學問題，創設出開放性的問題情境，激發了學生的學習興趣，引發了學生積極主動地思考.

二、將封閉性問題改為開放性問題，引導學生多角度探究

開放性問題有利于學生形成發散思維，為學生的自主探究創造了條件.很多原有的包含了數學思想和數學方法精髓的封閉型問題稍加改變，成為開放性問題后，學生學習興趣會大大提高.

例1：已知，如圖3，在△ABC中，點D，E是BC邊上的點，且BD=CE，AD=AE，求證：AB=AC.

可以將題目改編為一道開放性的問題，學生有了興趣和信心，再對學生進行多方面的引導，促使他們進行多方面的思考和探究，既可強化學生對知識的理解和應用，提高學習效率，又能增強他們的思維能力.

（1）改編成條件開放性問題：

已知：如圖3，在△ABC中，點D，E是BC邊上的點，且AD=AE，要證明△ABD？艿△ACE，還需要補充一個怎樣的已知條件？

（2）改編為結論開放性問題：

已知：如圖3，在△ABC中，點D，E在BC邊上，且BD=CE，AD=AE，從已知條件你能得到哪些結論？

（3）改編成綜合開放性問題：

已知：如圖3，在△ABC中，點D，E在BC上，現在有4個論斷：①∠BAD=∠CAE，②AD=AE，③AB=AC，④BD=CE，請你從中選出兩個論斷作為題設，另兩個論斷作為結論組成一個真命題，并加以證明.

通過一題多變，讓學生感受到，同一個圖形背景下的問題，卻能從不同的角度變化出多樣化的問題.使學生學會多方面、多角度地思考問題和探究問題，加強知識的連貫性和應用的靈活度.

例2：如圖4，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于G，求證：AD=BE.

我們只要隱去結論改為開放性問題就能得到不同的解答.

如圖4，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC邊和CA邊上，BD=2DC，CE=2EA，AD與BE相交于G，試就有關圖形的形狀、大小和關系得出盡可能多的結論.

本題的答案：

先考慮三角形的全等關系，有：

（1）△ACD？艿△BAE（因為AC=AB，CD=AE，∠BAE=∠C）由此可以推出

（2）AD=BE

（3）∠DAC=∠EBA

（4）∠ADC=∠BEA

再考慮特殊角：

（5）顯然，∠ABC=∠BCA=∠CAB=60°

（6）聯系（1），有∠AGE=∠EBA+∠GAB=∠EAG+∠GAB=∠EAB=60°

進一步推出：

（7）∠DGE=120°

（8）D，G，E，C四點共圓

（9）AE·AC=AG·AD或BG·BE=BD·BC

（10）2AG·AD=BG·BE

（11）∠GDC+∠CEG=180°

（12）AG：AE：GE=AC：AD：CD，BG：BD：GD=BC：BE：CE

三、用引發爭論的焦點問題，引導學生合作與交流

合作與交流是開放式學習所倡導的一種學習方式.在教學過程中，通過焦點問題，引發學生相互探討，互補學習，增強合作意識和交往能力.

例3：若關于x的方程（k-1）x■+2kx+k+3=0（k為整數）有實數根，求k的最大值.

一些學生通過求△=（2k■）-4（k-1）（k+3）>0得出k<■，又由于k為整數，故k的最大值為0.

但立即有學生反駁道：必須使二次項系數k≠1時，才能考慮判別式的值.于是許多同學馬上求得k的最大值為0.

但也有學生說：“當k=1時，是一元一次方程.”方程有實數根-2，于是k的最大值仍然是1.這個結果讓同學們既感到有趣，又感到困惑.這不是從終點又回到了起點了嗎？

通過同學之間的熱烈討論，相互質疑，相互補充，最后同學們達成了共識：k的最大值確應唯1，但是此“1”非彼“1”也.學生通過相互間的交流與合作，更加深了對判別式的理解和對分類討論的認識.

當然，開放性問題也不是完美的，也有其不足之處.如：開放性問題在單一的技能訓練、知識學習上費時費力，效率較低；在教學時易受課時的制約，在課堂上出現學生的思維在低層次上重復現象，不易進行深入的研究；開放性問題的教學對教師要求較高，不易推廣，等等.因而，我們應該把開放性問題和封閉性問題在教學中結合起來.開放性問題和封閉性問題在數學教學中應是并存而非排斥的.封閉性問題主要引起認知結構的同化，而開放性問題則是引起認知結構的順應.在認知變化的過程中，同化說明成長，一種量的變化，而順應則說明發展，是一種質的變化.這兩種心理過程結合在一起進行很多次循環，乃是智慧的適應和解決問題能量的發展的原因.