值得思考的一道定理證明

“三角形內角和定理”運用十分廣泛，而這個定理的證明也成為數學教師普遍關注的問題.在初二數學期末考試中就出現了這個定理證明（要求畫圖，寫已知，求證，證明）.閱卷時，我發現學生的解法五花八門。有的學生的解題方法值得我們探究，也或者說是對我們的教學有很大的啟示作用.現將學生的幾種解法展示如下.

一、學生解法

解法一：如圖1：延長BC到E，過C作CD∥AB.

∴∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等），

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）.

∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定義），

∴∠A+∠3+∠B=180°（等量代換）.

即∠A+∠ACB+∠B=180°.

圖1 圖2

解法二：如圖2：延長BC到D.

∵∠1是△ABC的外角（外角定義），

∴∠1=∠A+∠B（三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和）.

∵∠1+∠2=180°（平角定義），

∴∠A+∠2+∠B=180°（等量代換）.

我們在閱卷時發現很多學生使用解法二，乍一看這種解法無懈可擊，順理成章，而且十分簡單明了，讓人一看便懂.但是通過仔細分析發現這種解法根本不正確.因為在此解法中用到了三角形內角和定理的推論，即“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”證明，即用定理的推論證明了定理.這樣的解法看似正確，實質上反映了學生經常會犯的邏輯循環錯誤.

再看另一種解法：

解法三：如圖3：過C作CD∥AB.

∴∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等），

∠DCB+∠B=180°（兩直線平行，同旁內角互補），

即∠1+∠2+∠B=180°.

∴∠A+∠2+∠B=180°（等量代換），

即∠A+∠ACB+∠B=180°.

圖3

二、解法的討論

經過調查分析，學生之所以選擇解法二是受解法一的影響，而解法一是正確的，用了“特殊化思想”解決問題.所謂“特殊化思想”就是針對具體的“探究問題”而產生的一種“特殊思路”.但它不能脫離“用已有知識解決新問題”這一一般規律.正如三角形內角和定理的證明，先讓學生通過畫不同三角形，度量各角，得出三內角和為180°，讓學生有了感性認識.同時在平時的教學中我們還采用剪下兩角與剩余一角相拼成一個平角這一“特殊化思想”說明“三內角和為180°”這個定理，這種從實踐中得來的感性認識給學生留下了深刻的印象.

其實用解法二的學生在學習該定理證明時，可能也記得要用平角180°證明，但不理解是剪下兩角后將三個角拼在一起，而盲目地用外角證明.

對于解法三，在肯定學生答案的同時，讓他們比較解法一和解法三.對于這種另辟蹊徑的做法，學生展開了熱烈討論.通過比較，學生驚喜地發現這兩種解法的不同之處在于添加輔助線的不同，雖然解法三只有一條輔助線，但通過平行線性質的靈活運用，也達到了意想不到的效果.思路較第一種更開闊，更簡便，不覺讓人眼前一亮，學生不禁為這種解法的思路拍案叫絕.

對于解法三，在聽了羅增儒教授的報告后我也有了更新的認識，且看：

∠A+∠B+∠C=180°.

在這個變化過程中，看到了三角形內角和為常數，

這個常數就是180°，因為

∠ACA=∠BAC（兩直線平行，內錯角相等），

所以∠BAC+∠B+∠ACB=∠ACA+∠B+∠BCA=180°

（兩直線平行，同旁內角互補）.

三、啟示

教師要善于發現學生解題中的有研究價值的問題，這些問題的挖掘與探究有利于培養學生的發散思維，對今后的解題教學有很大的幫助.平面幾何的魅力不僅在于其說理的嚴密與優雅，而且思路的開放往往能夠使學生獲得意想不到的驚喜.解法的多樣性是幾何問題的特征之一，好的問題可讓學生從不同的角度打開思路，激發學生發現和創造解題方法的強烈欲望，加深學生對所學知識的深刻理解，訓練學生對數學思想和數學方法的嫻熟運用，鍛煉學生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創性.從而培養學生的思維品質，發展學生的創造性思維，提高學生的發散思維能力.

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”.數學思維方式的培養，對于學生今后的數學學習和數學知識的應用將產生深遠的影響.多角度的思維方式真正讓學生從解題中看到了幾何學的無盡魅力，在數學天地里暢游，領會到“柳暗花明又一村”的無窮妙處.

參考文獻：

[1]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐.

[2]馬小為.中學數學解題思想方法技巧（初中）.