牛頓—萊布尼茨公式教學的新探索

摘 要：對牛頓-萊布尼茨公式的教學進行新探索，讓學生充分理解該公式背后所蘊含的豐富的哲學思想以及在發(fā)現(xiàn)、證明這個公式的過程中所體現(xiàn)出的解決問題的數學方法。

關鍵詞：牛頓-萊布尼茨公式 微積分基本定理 定積分

中圖分類號：O172.2文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2013）04（c）-0184-02

恩格斯說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發(fā)明那樣被看做人類精神的最高勝利了”。而這種最高勝利的集中體現(xiàn)就是微積分基本定理以及牛頓-萊布尼茨公式[1-2]（下文簡稱N-L公式），它們不僅揭示了導數和定積分的對立統(tǒng)一關系，同時也提供了計算定積分的一種簡單有效的方法，將一個看起來幾乎無法解決的高等數學的問題轉化為一個非常簡單的小學算術問題，為后面定積分的計算及應用奠定了基礎。

然而絕大部分同學在學習完N-L公式之后，僅僅限于知道這是個非常有用的工具，并能夠使用這個工具解決簡單定積分的計算，而對這個工具背后所蘊含的豐富的哲學思想以及在發(fā)現(xiàn)、證明這個工具的過程中所體現(xiàn)出的解決問題的數學方法，缺少深刻的了解，這不能不說是一種本末倒置，不利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。為了讓學生充分理解這個公式，達到既學習知識同時又培養(yǎng)能力的教學目標，作者對N-L公式的教學過程進行了精心設計，提出自己的新想法。

1 引入

首先通過回顧上節(jié)課的例子：用定積分的定義計算這樣一個簡單的定積分，讓學生認識到利用定義計算定積分過程相當復雜，而且計算量較大，當被積函數比較復雜時，這個方法甚至無法實現(xiàn)。然后開門見山，提出問題：計算定積分有沒有簡單有效的方法呢？從而引出本節(jié)課要學習的主要內容，即N-L公式。接下來，很自然地，讓學生思考：這樣一個公式是如何被發(fā)現(xiàn)的呢？

2 公式的發(fā)現(xiàn)

通過幾個特殊的例子，引導學生產生一般的數學猜想。

首先從幾個實際問題出發(fā)，看能否產生什么想法。先來看個幾何上的問題：引例1：求直線，軸及曲邊所圍曲面梯形的面積。

3 N-L公式的證明

把證明兩個“數”相等，轉化為證明兩個“函數”相等。

直接證明公式（2）比較困難，因為公式（2）的左右兩端是兩個數，而證明兩個數相等，最好的方法是把兩個數都算出來，右端的數計算非常簡單，小學生都能算的出來，而左端的數，到現(xiàn)在為止僅能利用定積分的定義，而利用定積分的定義卻是不現(xiàn)實的，應該如何來解決呢？

我們說，數學中到處都充滿著辯證法的思想，對立面的雙方是可以互相轉化的，剛才求曲邊梯形面積的的時候，我們采用的是從一般到特殊的方法，現(xiàn)在倒過頭來，嘗試從特殊到一般的方法，即把證明兩個“數”相等，轉化為證明兩個“函數”相等，原因是，證明兩個函數相等，有一個非常得力的工具——導數。

注意到，公式（5）中包含了兩種運算，求導運算和積分運算。對一個函數先積分后求導，結果變成函數本身，這說明積分與微分是互為逆運算的。我們知道，積分和導數的本質是完全不同的，導數是個局部概念，它刻畫的是函數在一點附近的變化率，其實際意義是求瞬時速度等，而定積分卻是這個整體概念，它的實際意義是求路程等，從這個角度來說，兩者是對立的，但是兩者卻又和諧地統(tǒng)一在一個表達式里，這說明兩者是統(tǒng)一的，故而導數和積分是對立統(tǒng)一的。打個比方，對立統(tǒng)一就像是男女之間的愛情，只要有對立統(tǒng)一就會產生美，就會產生力量，這里微分和積分的對立統(tǒng)一，就把一個看起來幾乎無法解決的高等數學的問題，轉化為一個小學生也能解決的算術問題，對立統(tǒng)一的力量正在于此，也正是由于這樣，這樣一個定理才被稱之為微積分基本定理，而在這個定理之上建立的牛頓-萊布尼茨公式，才被稱之為微積分基本公式。

到此，可以看到在發(fā)現(xiàn)及證明N-L公式的過程中，充分體現(xiàn)了辯證法最核心的規(guī)律，對立統(tǒng)一。N-L公式一方面使得微分和積分變?yōu)橐粋€有機整體，另一方面使得定積分的計算變得簡潔，也就是從這時開始，許多物理、天文等方面的實際問題才真正得以解決，從而推動了整個近代科學的發(fā)展，正因為這樣，恩格斯才對微積分有如此高的評價，稱其為“人類精神的最高勝利”。

參考文獻

[1]東南大學高等數學教研室.高等數學：上冊[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學：上冊[M].5版.北京：高等教育出版社，2002.